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教考衔接十七 教材命题点探源
基础卷（一）
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.（2025·全国二卷）样本数据2，8，14，16，20 的平均数为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【解析】由样本平均数的定义易算得样本平均数为x＝(2＋8＋14＋16＋20)＝12.故选C.
2．（2026·安徽合肥1 月质量监测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，故
.故选A
3．（2026·福建福州模拟）已知复数z 满足
，则
( )
A.1
B.2
C.3
D.
【答案】D
【解析】
，所以
.故选D.
4.冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1 所示，若将山楂看成是大小相同的
圆，竹签看成一条线段，如图2 所示，且山楂的半径(图2 中圆的半径)为2，竹签所在的直线方程为
，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为( )
1
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为竹签所在的直线方程为
，设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为
，由两平行直线间的距离公式，可得
，解得
，所以与该串冰糖葫
芦的山楂都相切的直线方程为
.故选：D.
5．（2026·河北沧州模拟）已知双曲线
的焦点与椭圆
的焦点重合，则该双曲
线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A.
B.5
C.3
D.
【答案】D
【解析】由题意得
，
，
，因此该双曲线的一条渐近线方程为
，即
.又双曲线的焦点为
和
，所以双曲线的焦点到其渐近线的距离
.故选D.
6．（2026·山东淄博检测）若函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调
递减，则
( )
A.3
B.2
C.
D.
【答案】C
2
【解析】因为当
时，函数
单调递增，当
时，函数
单调递减，即当
时，函数
单调递增，当
时，函数
单调递减，所以
，所以
.故选C.
7. （2026·全国卷预测）某新能源科技公司研发了一套动力电池容量衰减智能监测系统，通过内置算法精
准追踪电池剩余可用容量。研究表明，在特定工况下，电池容量衰减过程可以用指数型函数
（
，
为常数）来描述，其中
（单位：安时）代表 分钟末电池的剩余容量.工程师将一块初始容量
为 7 安时的电池进行老化测试，系统在第 5 分钟末测得剩余容量为 3.5 安时。则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意，当
时，
，当
时，
，则
，
则
，即
.故选.A.
8．（2026·吉林1 月检测）已知函数
的极大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，
，
则
，
令
，解得
或
，
当
时，
在
，
上满足
，
单调递增，
3
在
上满足
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，
，解得
，
当
时，
在
，
上满足
，
单调递增，
在
上满足
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，
，不符合题意，
当
时，
，
在R 上单调递增，无极值，不符合题意，
综上所述，
.故选D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2025·全国二卷）记Sn为等比数列{an}的前n 项和，q 为{an}的公比，q>0.若S3＝7，a3＝1，则
A．q＝ B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8
【答案】AD
【解析】根据已知可得方程＝，整理得6q2－q－1＝0，解得q＝－(舍去)，q＝.又a3＝1，故a1＝4.因此，
等比数列{an}的通项an＝23-n，Sn＝＝8－23-n.
由此可知A，D 两个选项是正确的．因为a5＝23-5＝≠，所以B 选项不正确．因为S5＝8－23-5＝≠8，所以
C 选项不正确．综上，正确结论是A，D.
10.（2026·湖北宜昌检测）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1 是一个正八边
形窗花，图2 是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.
图1
图2
已知正八边形
的边长为2，P 是正八边形
边上任意一点，则下列说法正确的
是( )
4
A.若函数
，则函数
的最小值为
B.
的最大值为
C.
在
方向上的投影向量为
D.
【答案】AB
【解析】如图所示：以
为y 轴，
为x 轴建立直角坐标系，
设
，
在
中，根据余弦定理可得，
，整理得到
，
，
，
，
，
，
，
，
，设
，
对选项A：
，
，
所以
，
，
所以
，
所以当
时，函数
有最小值为
，A 正确；
5
对选项B：取
的中点M，则
，
，则
，
，两式相减得：
，
由正八边形的对称性知，当点P 与点E 或F 重合时，
最大，
又
，
，所以
，所以
，所以
的最大值为
，B 正确；
对选项C：
，
，所以
，
即投影向量为
，C 错误；
对选项D：因为
，
，所以
，又
，
所以
，D 错误.故选AB
11．（2026·内蒙古通辽期末）设O 为坐标原点，直线
过抛物线
的焦点，
且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则( )
A.
B.
C.以MN 为直径的圆与l 相切
D.
为等腰三角形
【答案】AC
6
【解析】对于A，依题意，抛物线C 的焦点为
，直线
过点
，所以
，
解得
，故A 正确.
对于B，由A 可知抛物线
，将直线方程
与C 的方程联立、整理可得
.设
，
，则
.设抛物线C 的焦点为F，由抛物线的定义
可知，
，
，所以
，故B 错误.
对于C，由B 知
，所以以MN 为直径的圆的半径为
.设MN 的中点为P，因为
，
即点P 的横坐标为
，所以P 到C 的准线的距离为
，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 正确.
对于D，由于
，不妨设
，
，将
代入
，解得
，所以
，
，同理可得
，又
，所以
不是等腰三角形，故D 错误.故选AC.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（2026·安徽阜阳检测）设曲线
的图象在点
处的切线斜率为2，则实数a 的值
为_________.
【答案】3
【解析】函数
，可得
，所以切线的斜率为
，解得
.
13. （2026·广东广州1 月检测）记Sn为等差数列{an}的前n 项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝_________.
【答案】－15
【解析】解法一：根据等差数列性质，可知Sn＝na1＋d，其中d 是公差，a1为首项．由已知，可得解得a1
＝5，d＝－3.因此，所求S6＝6a1＋15d＝－15.
解法二：设等差数列{an}的公差为d，a1为首项．由已知得S3＝3a1＋3d＝6，故a2＝a1＋d＝2；同理，S5＝
5a1＋10d＝－5，故a3＝a1＋2d＝－1.解得d＝－3，a1＝5.又S6＝S5＋a6＝S5＋a1＋5d＝－5＋5＋5×(－3)＝－
15.
14．（2026·河北张家口1 月检测）袋子中有大小形状完全相同的2 个白球和4 个黑球，从中任取3 个球，1
7
个白球得2 分，1 个黑球得1 分.记X 为取出的3 个球的得分总和，则
_____________.
【答案】4
【解析】由题可知，X 的可能取值为3，4，5，则
，
，
，所以
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2026·江苏镇江阶段检测）（13 分）设正项数列
的前n 项和为
，且
，当
时，
（1）求数列
的通项公式；
（2）设数列
满足
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)当
时，
，则
，
因为
为正项数列
的前n 项和，且
，
则
，
，可得
，
所以数列
是以
为首项，公差为1 的等差数列，
所以
，则有
，
当
时，
，
又
也适合
，
故数列
的通项公式为
.
(2)由(1)可得
，
根据
的定义可知
，
8
则
，
所以
.
16．（2026·辽宁丹东模拟）（15 分）为调查居民购车倾向与性别的关系，对某地区随机抽查了200 名居民
进行调查，得到如下表格：
购买倾向
合计
新能源车
燃油车
男
64
36
100
女性
46
54
t
合计
s
90
200
（1）求s，t；
（2）根据小概率值
的独立性检验，能否认为居民的购车倾向与性别有关？
（3）从倾向燃油车的90 人中按性别分层抽样抽取5 人，再从这5 人中任选2 人，求选中男性的人数的分
布列和期望.
附：
，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)
，
(2)与性别有关
(3)分布列见解析，
【解析】(1)由表格数据可算得
，
；
(2)由
列联表中的数据，可得
，
根据小概率值
的独立性检验，
故可以认为居民的购车倾向与性别有关；
(3)从倾向燃油车的90 人中按性别分层抽样抽取5 人，则男性有
人，
女性有
人，设选中男性的人数为X，
则X 的取值分别为0，1，2，
9
所以
，
，
，
则X 的分布列为
X
0
1
2
P
期望
.
17．（2026·河北唐山模拟）（15 分）已知函数
.
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
在
处取得极值，求
的单调区间，并求其最大值与最小值.
【答案】（1）
（2）函数
的单调增区间为
和
，单调减区间为
；
，
【解析】（1）当
时，
，
，
，故
，
故曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）由题意得
，且
，
故
，解得
，故
，
，
则
，
令
，得
或
；令
，得
，
10
故函数
的单调增区间为
和
，单调减区间为
.
所以
的极大值为
，
的极小值为
.
又当
时，
，故
；
当
时，
，故
，
，
.
18．（2026·安徽马鞍山期末）已知椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若A，B 为椭圆C 上的两点，且满足
，求证：直线
过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为椭圆C 离心率为
，所以
，
又因为点
在椭圆C 上，所以
，解得
，
，
椭圆C 的标准方程为：
（2）①当
斜率不存在时，设
的方程为
，
则
，
，
，
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
11
所以
，解得
或
（舍）；
②当
斜率存在时，设
的方程为
，
联立
消去y 得
，
即
，
设
，
则
，
，
，
，
因为
，所以
，
即
，
代入化简得
，
即
，
当
时，
，此时
方程为
，过定点
，舍去；
当
时，
，此时
方程为
，过定点
．
综上，直线
过定点
．
12
19．（2026·贵州安顺检测训练）（17 分）在四棱台
中，底面
是边长为2 的菱形，
，
，
，过
的平面
分别交
，
于点
M，N，且
平面
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）若点E 在棱
上，求直线
与平面
所成角的正弦值取最大值时，
的值；
（3）求平面
与平面
夹角的余弦值
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】（1）
平面
，
平面
，平面
平面
，
，设
，
，连接
，
在四棱台
中，平面
平面
，
平面
平面
，平面
平面
，
，
又由题意知
，
四边形
是等腰梯形，
，同理
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
13
底面
是菱形，
，
平面
，
，
平面
，
平面
，
，则
；
菱形
的边长为2，
，
，
，
，四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
，
过
的平面
分别交
，
于点M，N，
平面
，
平面
，
平面
平面
.
（2）由（1）知
平面
，且
，以O 为原点，直线
，
，
分别为x，y，z
轴建立空间直角坐标系，如图，
，
，
，
，
，
，
由（1）知
且
平面
，
，
又在等腰梯形
中
，
，
，
平面
，
平面
，
14
平面
的一个法向量即为
，
，
设
，
，
，
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
当
时
取最大值
，此时
；
（3）设
，
，
设平面
的法向量为
，
，令
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
又
在
上，设
，即
，
，
，
，
，
15
设平面
的法向量为
，
，令
，
，
，
平面
与平面
夹角的余弦值
.
16
