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重难11 磁场及带电粒子在磁场中的运动 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难技巧突破 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 重难保分练 稳扎稳打 必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值 重难抢分练 突破瓶颈 争夺高分： 聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” Ⅰ:基础内容： 1.电荷的匀强磁场中只受洛伦兹力时的运动形式 ①当 时，所受洛仑兹力为零，做匀速直线运动 ②当 时，所受洛仑兹力提供向心力，做匀速圆周运动 ③当 与 成 角 时，所受洛仑兹力提供向心力，做匀速速率螺旋式前进； 2、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力 Ⅱ:带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解方法 在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，着重把握“一找圆心，二求半径，三定时间”的方法。 1.圆心的确定方法：两线定一“心” 类型一：（两速模型）已知两个速度的方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是 圆心。 依据：圆心一定在垂直于速度的直线上。方法：由两个半径的交点确定圆心。 (2) 类型二：（两点一速模型）已知入射速度方向和出射点位置，做入射点和出射点连线的中垂线，与其 一速度的垂线的交点为圆心。 依据：圆心一定在弦的中垂线上。方法：由半径和弦的中垂线的交点确定圆心 （3）类型三：（一速一 模型）见速画垂直，利用已知半径确定新轨迹的半径，从而画出运行轨迹，从 而求圆心角. Ⅲ：1、求半径：主要由三角形几何关系求出 （一般是三角形的边角关系、或者勾股定理确定）。 1. 若已知 与 ，则由边角关系知 2、若已知 与 ( 未知)，则由勾股定理知 . 2、求半径（两种方法） 几何关系细节如下图： ①粒子速度的偏向角( )等于圆心角( )，并等于 弦与切线的夹角 (弦切角 )的2 倍(如图所示)，即 同弧所对的圆心角等于弦切角的2 倍. ②直角三角形的应用(勾股定理)。 找到 的中点 ，连接 ，则 都是直角三角形。 Ⅳ：运动的时间的确定 ①粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α 时，其运动时间由下式表 示： ， . ②当 一定时，粒子在磁场中运动的时间 ，为带电粒子通过的弧长。 注意：由 得，在磁场内运动方向的偏转角越小，运动时间越短。 图象如下： 入射角为 时， . 入射角为 时， . 入射角为 时， . 入射角为 时， . （建议用时：30 分钟） 1．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，带电粒子仅在磁场力作用下绕磁感线做螺旋运动，则带电粒子从 P 点向Q 点运动的过程中，下列说法正确的是（ ） A．粒子的动能越来越大，旋转半径越来越小 B．粒子的动能越来越大，旋转半径越来越大 C．粒子的动能不变，旋转半径越来越小 D．粒子的动能不变，旋转半径越来越大 【答案】C 【详解】AB．洛伦兹力不做功，因此粒子的动能不变，故AB 错误； CD．根据公式 解得 随着磁感应强度大小 增大，不变，故旋转半径 会减小，故C 正确，D 错误。 故选C。 2．（2024·吉林·一模）空间中存在垂直于 平面的磁场， 两侧的匀强磁场方向相反， 区域的 磁感应强度大小为 区域的2 倍。不同带电粒子以速率 由原点沿 平面射入该磁场，则粒子的轨迹 可能为下图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因x＞a 区域的磁感应强度大小为x＜a 区域的2 倍，根据 解得 可知x＜a 区域的圆周运动的半径为x＞a 区域的圆周运动的半径的2 倍。 A．由图可知粒子运动的轨道半径为 即粒子已经超过两磁场的分界线，轨迹不可能是同一圆周，故A 错误； B．该图中粒子在x＜a 中运动时的轨迹半径为 则在x＞a 区域运动的半径应该为 则轨迹与y 轴交点的纵坐标应该是 故B 正确； C．该图中粒子在x＜a 区域的轨道半径小于在x＞a 区域的轨道半径，故C 错误； D．该图中粒子在x＜a 区域的轨道半径为r=a，则在x＞a 区域的轨道半径为 则轨迹与y 轴交点 故D 错误。 故选B。 3．（2023·黑龙江·模拟预测）如图所示，在无限长直边界CD 的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感 应强度大小为B，无限大挡板EF 平行于CD 放置，与CD 相距为d，带电粒子达到挡板时能够被挡板吸收， 在A 处有一粒子源能够在纸面内持续发射速度大小相等的电子。当电子在纸面内沿AO 方向垂直匀强磁场 边界射入时，恰好未被EF 吸收。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用。 若磁感应强度大小变为原来的一半，电子速度方向缓慢从AO 沿顺时针旋转到AD 时，在挡板上能够吸收 到电子的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】ABCD．电子垂直边界射入，恰好未被EF 吸收，其运动轨迹如图甲所示，由几何关系可知电子做 圆周运动的半径为d，根据 可知，当磁感应强度变为原来的一半时，电子在磁场中做圆周运动的半径变为2d，速度方向改变时，电子 能够打到挡板上，临界的运动轨迹如图乙所示，能够吸收到电子的区域为GH，由几何关系可得 B 正确，ACD 错误。 故选B。 4．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，在直角三角形 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感 应强度为B。一个电子从A 点沿 边进入磁场，从 边离开磁场，速度方向偏转了 。已知 ， ，元电荷为e，电子的质量为m，不计重力，则电子的速率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】电子从 边离开磁场，速度方向偏转了 ，作出轨迹如图所示 根据几何关系有 解得 根据 解得 故选C。 5．（2024·内蒙古包头·三模）四个粒子氕核（ ）、氘核（ ）、氦核（ ）和反质子（ ）先后以 相同的速度从坐标原点沿x 轴正方向射入一匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。不计重力，下列描绘这 四个粒子运动轨迹的图像中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 四个粒子中有三个带正电的粒子，一个带负电的粒子，根据左手定则可知，三个正粒子向y 轴正向偏转， 负粒子向y 轴负向发生偏转，所以反质子的偏转方向沿y 轴负方向，因为氘核和氦核的比荷相同，根据公 式可知半径相等，由题意可得氘核的轨迹半径等于反质子的轨迹半径，并小于氚核和氦核的轨迹半径，即 有两个运动轨迹在y 轴正方向，有一个运动轨迹在y 轴负方向。 故选A。 6．（2025·内蒙古·模拟预测）如图（a），在光滑绝缘水平桌面内建立直角坐标系Oxy，空间内存在与桌 面垂直的匀强磁场。一质量为m、带电量为q 的小球在桌面内做圆周运动。平行光沿x 轴正方向照射，垂 直光照方向放置的接收器记录小球不同时刻的投影位置。投影坐标y 随时间t 的变化曲线如图（b）所示， 则（ ） A．磁感应强度大小为 B．投影的速度最大值为 C． 时间内，投影做匀速直线运动D． 时间内，投影的位移大小为 【答案】D 【详解】设小球做匀速圆周运动的速度为，角速度为 ，轨迹圆心在接收器上的投影坐标为 ，则在0 时刻小球与轨迹圆心的连线与 轴夹角为 ，则经过时间，小球在接收器上的投影坐标为 由图（b）可得 ， ， 解得小球在接收器上的投影坐标与时间的关系式为 A .由上面分析可得，小球运动周期为 小球在水平面上只受洛伦兹力，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得 又 解得磁场磁感应强度 故A 错误； B . 小球投影坐标对时间求导，可得 则投影的最大速度 故B 错误； C . 小球投影做简谐运动，故C 错误； D. 小球投影在 、 时刻的坐标分别为 时间内，投影的位移大小为 故D 正确； 故选D。 7．（2025·内蒙古赤峰·三模）如图是一种测量石墨晶体层数的装置。一带电粒子无初速度的从 极板中 点的小孔进入加速电场，沿 经电磁场射出，垂直第1 层从 点进入石墨晶体，每经过一层石墨层只与 一个碳原子结合形成新整体，该过程视为质量守恒、动量守恒。当加速电压为 时，粒子恰好能穿过该石 墨晶体的第 层（ 未知）。已知带电粒子与碳原子的质量均为 ，带电粒子的电荷量为 间电场强度为 。图中相邻石墨层间距均为 、 大小已知且方向均垂直纸面向里。不计粒子间相互 作用力，仅考虑图中电场与磁场对粒子的作用，各层间电场与磁场均视为匀强场，不考虑边缘效应、相对 论效应。求∶ (1)粒子从加速电场中射出来的速度 和极板 、 间的磁感应强度 的大小； (2)粒子在第1 层和第2 层之间的运动轨迹在垂直纸面上的投影半径和周期； (3)粒子穿越石墨晶体时垂直纸面的位移的大小以及计算 值的关系式。 【答案】(1) (2) (3) ， 【详解】（1）粒子在加速电场中，由动能定理有 解得 粒子进入MNPQ 板区域做匀速直线运动，有 联立解得 （2）穿过石墨层时动量守恒，穿过第1 层时 粒子在平行石墨层平面上，只受到电场力，在垂直石墨层平面上，只受到洛伦兹力，则在垂直石墨层平面 上在石墨层之间做匀速圆周运动，在第1 层和第2 层石墨层之 间，根据洛伦兹力提供向心力有 联立以上，解得做圆周运动投影的轨迹半径为 因为 联立解得，在第一二层之间 （3）由第（2）问，同理可得，粒子在石墨层之间做匀速圆周运动的周期都均为 粒子打在第n+1 层时恰好偏转 ，则运动时间 在平行石墨层方向上，粒子在第n 和第n+1 层之间，由牛顿第二定律有 解得 则粒子在平行石墨层方向上做匀加速直线运动，则粒子粒子打在第n+1 层时垂直纸 面的位移大小 令 由动量守恒有 半径的变化规律有 即有 如图1 假设新粒子从P 点进入第n 层，画出第n 层与第n+1 层中的轨迹圆，圆心为 ，半径为 ，设其转过的角 为 ，与n+1 层交于点C，过C，点做石墨层的垂线，交在第n 层于M。由P 点延长半径至 ，过 做 的平行线 ，再在 做半径为 的圆弧，连接 并延长，由几何关系可知， 必然共线。 过 点做石墨层的垂线，交第n 层于 。 由几何关系可知 解得 在第n 层与第n+1 层中的运动，因θ 角相同，可等效于以 ，在两层间的运动转过θ 角，可认为此两层的 宽度为 ，如图3 则从第1 层和第2 层间开始在两层之间的宽度为： 第1 层和第2 层间 第2 层和第3 层间 第3 层和第4 层间 第4 层和第5 层间 以此类推，第n 层和第n+1 层间有 ，符合等差数列 当刚好从第n+1 层穿越，则此处粒子的轨迹与第n+1 石墨层相切，则将整个运动过程等效为以 为半径在 石墨层中转过四分之一圆周运动，则有 即 联立解得 8．（2025·辽宁葫芦岛·二模）在高能粒子物理实验室中，科学家正在进行一项名为“磁场制导”的关键实 验。实验目标是通过精确调控磁场，使电子经加速后从枪口射出，沿预设路径击中远端的靶点。如图所示， 电子在电子枪内经电压 从静止加速后从枪口 沿直线 方向射出，立即进入垂直纸面向里的匀强磁场中， 然后精准打击距枪口 距离为 的靶点 ， 与 之间夹角为 （弧度制）。已知电子电荷量为，质 量为 ，重力可忽略不计，电子在枪内运动不受磁场影响。求： (1)电子离开枪口 时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)电子从离开枪口 第一次到靶点 所经历的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在电子枪中被加速 解得电子离开枪口 时的速度大小 （2）电子进入垂直纸面向里的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力 由几何关系 解得磁感应强度 （3）设电子从离开枪口 第一次到靶点 所需的时间为，对应的圆心角为 对应的时间 电子做匀速圆周运动的周期 联立解得 （建议用时：30 分钟） 9．（2024·辽宁大连·三模）正电子发射计算机断层扫描是核医学领域较先进的临床检查影像技术，使用 作为原料产生正电子，其反应方程式为 。真空中存在垂直于纸面的匀强磁场，某个静止 的 原子核在其中发生衰变，生成的硼核及正电子运动轨迹及方向如图所示，则（ ） A．正电子动量大于硼核动量 B．正电子动量小于硼核动量 C．半径较大的轨迹是正电子轨迹 D．半径较大的轨迹是硼核轨迹 【答案】C 【详解】原子核的衰变过程满足动量守恒，可得两带电粒子动量大小相等，方向相反，由左手定则可知匀 强磁场的方向一定是垂直于纸面向里；由带电粒子在匀强磁场中圆周运动的半径公式 可知半径r 与 电荷量q 成反比，则半径较大的轨迹是电荷量小的正电子的轨迹。 故选C。 10．（2024·辽宁·三模）地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球且厚度为地 球半径的 的匀强磁场，方向垂直该剖面，图中给出的速度在图示平面内，从O 点沿平行于垂直地面两个 不同方向入射的a、b、c 三种比荷相同的带电粒子（不计重力）在地磁场中的三条运动轨迹，其中，a、c 粒子入射速度大小分别为va、vc，方向与地面平行，b 粒子入射速度方向与地面垂直，且它们都恰不能到达 地面。则下列相关说法中正确的是（ ） A．三个粒子在磁场中圆周运动的周期 B．a 粒子带负电，b、c 粒子带正电 C． D． 【答案】C 【详解】A．根据洛伦兹力为其做圆周运动提供向心力及周期公式 解得 三种粒子的比荷相同，故周期相同，A 错误； B．根据左手定则可知，a、c 粒子带负电，b 粒子带正电，B 错误； CD．根据洛伦兹力提供向心力 解得 设地球半径为R，则 所以 C 正确，D 错误。 故选C。 11．（2025·吉林松原·模拟预测）如图所示，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场1，其磁感应强度大 小可近似认为处处相等；垂直圆环平面同时加有匀强磁场2 和匀强电场（图中均未画出），磁场2 的磁感 应强度大小是磁场1 的二倍。已知电子电荷量为e、质量为m，若电子恰好可以在圆环平面内沿顺时针方 向做半径为R、速率为v 的匀速圆周运动。则以下说法错误的是（ ） A．电场方向垂直圆环平面向里 B．电子运动周期为 C．匀强磁场2 的磁感应强度大小为 D．电场强度大小为 【答案】D 【详解】A．根据左手定则可知电子在磁场1 中受到的洛伦兹力 的方向垂直圆环平面向里，由于电子在 垂直圆环平面上受力平衡，即电子所受电场力与电子在磁场1 中受到的洛伦兹力 等大反向，故电场力方 向垂直圆环平面向外，则电场方向垂直圆环平面向里，故A 正确； B．电子在圆环平面内沿顺时针方向做半径为R、速率为v 的匀速圆周运动，则电子运动周期为 故B 正确； C．电子受到磁场2 的洛伦兹力提供电子做匀速圆周运动的向心力，有 解得 故C 正确； D．磁场1 的磁感应强度大小 电子在垂直圆环平面上受力平衡，则有 解得 故D 错误。 故选D。 12．（2025·吉林长春·模拟预测）如图所示，有一个弹性绝缘材料制成的圆筒，沿一条直径开有正对的两 孔C 和D，筒内有匀强磁场，有一不计重力的带正电的粒子从D 孔以大小为v 的速度正对圆心入射，与筒 壁发生一次弹性碰撞后从C 孔飞出圆筒，粒子与筒壁碰撞时垂直于筒壁方向的速度等大反向，沿筒壁方向 的速度不变。现改变粒子从D 孔入射的方向，使入射的方向与CD 成30°角，为使粒子与筒壁发生两次弹 性碰撞后仍能从C 孔飞出，则粒子的速度的大小为（ ） A． B． C． D．v 【答案】D 【详解】当带正电的粒子从D 孔以大小为v 的速度正对圆心入射，与筒壁发生一次弹性碰撞后从C 孔飞出 圆筒，其运动轨迹如图所示 设圆筒的半径为R，由几何知识可知，子圆周运动的轨道半径也为R，洛伦兹力提供圆周运动的向心力， 则有 改变粒子从D 孔入射的方向，使入射的方向与CD 成30°角，为使粒子与筒壁发生两次弹性碰撞后仍能从C 孔飞出，其运动轨迹如下图所示 则D 点和第一次碰撞点对于的圆筒的圆心角为 ，设粒子的速度为 ， 与CD 成 角，故四边形 为菱形，所以粒子圆周运动的轨道半径为R，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 联立可得 故选D。 13．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，置于坐标原点O 的光电效应发生器（图中未画出），可产生大量 在xOy 平面内运动的光电子，沿不同方向进入到x 轴上方区域。空间中存在垂直平面向里的匀强磁场、磁 感应强度大小为B。x 轴上有一足够长的金属板M，左端点为C，另有一平行y 轴足够长的金属板N，上端 为D，OC=2CD。两金属板交点处绝缘，电子可经导线、微安表A1、A2流入大地。已知光电效应截止频率 ，普朗克常量h，电子质量m、电荷量-e（e>0）。当入射光频率增至 时，A1开始有示数。忽略电子 重力、相互作用力、碰撞及电流的磁效应，未打到板的电子被屏蔽。 (1)求C 点所处位置的坐标。 (2)入射光频率超过 时，A2开始出现示数，求临界频率 的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）光电效应发生器中金属逸出功为 入射光频率为 时，逸出光电子的最大初动能 对应电子速度为v0，满足 速度为v0、沿y 轴正方向射出的电子经磁场偏转后恰好打在C 点，A1开始有示数。由洛伦兹力提供向心力 有 由几何关系可知 解得 C 点坐标为 （2）恰有电子打到N 板时，光电效应产生的电子中，速度最大、半径最大的电子轨迹过C 点且与N 板相 切。设该电子射入磁场时与速度与x 轴正方向夹角为θ，圆周运动半径为r1，由几何条件可知 ， 可知 由洛伦兹力提供向心力，有 由 解得 14．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，真空室中y 轴右侧存在n 个连续排列的圆形边界匀强磁场，圆心 均位于x 轴上，相邻两个圆相切，半径均为R，磁感应强度大小均为B。其中第1、3、5…个磁场的磁感应 强度方向垂直于纸面向里，第2、4、6…个磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向外。第1 个磁场左侧与y 轴相切，第n 个磁场右侧与一接收屏相切，接收屏与x 轴垂直，第n 个磁场方向图中未画出。在磁场上方 存在一无限大的矩形匀强电场，电场强度大小为E、沿y 轴负方向，磁场下方亦存在一无限大的矩形匀强 电场，电场强度大小为2E、沿y 轴正方向，两电场边界均与磁场圆形边界相切。某种带正电的粒子比荷为 ，以下列所述情况在电、磁场中运动，不计粒子重力，不考虑粒子间相互作用。 (1)若将粒子从上方电场某处由静止释放，恰好在 处进入磁场并从 处射出，求粒子在电场中释 放位置的坐标； (2)若在坐标原点O 处放置一粒子源，能向第一、四象限各个方向发射（不考虑平行于y 轴方向发射的粒 子）上述粒子，射出的速度大小均为 ，求粒子通过第一个磁场空间的最大偏转角； (3)若（2）问中粒子源发射粒子的速度大小均变为 ，其余条件不变，求在所有粒子中，粒子从被发 射至到达接收屏所用的最短时间。 【答案】(1) (2)60° (3)当 为偶数时， ，当 为奇数时， 【详解】（1）由题意知，粒子沿 方向进入第一个磁场，轨迹如图甲所示，恰为 圆周，则粒子做圆周 运动的轨道半径 ，由洛伦兹力提供向心力，有 又比荷 解得 带电粒子由静止释放后，由动能定理有 解得 故该粒子释放的位置坐标为 （2）由洛伦兹力提供向心力得 其中 解得轨道半径 粒子运动轨迹均为劣弧，弦越长，弧越长，弧所对应的圆心角越大，则运动时间越长，故当粒子的轨迹圆 弦长等于圆形磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，对应的轨迹如图乙所示，则有 解得 （3）根据磁发散和磁聚焦原理与左手定则，所有粒子都将以垂直于 轴的方向离开磁场向上运动，经过真 空后进入电场，在电场中做类竖直上抛运动，然后以相同速率，向下再次进入磁场，进入磁场后将会汇聚 到 轴与圆的另一个交点，然后进入下一个圆形边界磁场，在垂直于纸面向外的磁场中运动时，偏转方向 与垂直于纸面向里的磁场相反，但依然会做类似的运动，如图丙所示为某一粒子的轨迹。 粒子在电场中做类竖直上抛运动，每经过一个磁场就会进入一次电场，每次进入上方电场时加速度 运动时间 每次进入下方电场时加速度 运动时间 粒子在每个磁场中运动时转过的圆心角之和均为180°，则每个磁场中的运动时间 由以上分析可知，当粒子沿 方向进入第一个磁场时，不经过电场与磁场间的真空区域，用时最短，轨 迹如图丁所示 故①当 为偶数时 解得 ②当 为奇数时 解得 15．（2023·黑龙江大庆·一模）如下图，半径为R 的圆心区域中充满了垂直于纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场，一不计重力的带电粒子从图中A 点以速度 垂直磁场射入，速度方向与半径方向成 角， 当该粒子离开磁场时，速度方向恰好改变了 ，下列说法正确的是（ ） A．该粒子带正电 B．该粒子的比荷为 C．该粒子出磁场时速度方向的反向延长线通过O 点 D．该粒子在磁场中的运动时间为 【答案】D 【详解】A．有题意知该粒子离开磁场时，速度方向恰好改变了 ，粒子一定向下偏转，由左手定则可 知粒子带负电，A 错误； B．粒子的运动轨迹如图所示 有几何关系可知粒子的轨道半径为 结合 解得 B 错误； C．由运动轨迹可知，该粒子出磁场时速度方向的反向延长线不通过O 点，C 错误； D．该粒子在磁场中的运动时间为 D 正确。 故选D。 16．（2024·吉林·三模）如图，某放射性元素的原子核静止在匀强磁场中的 点，该原子核发生 衰变后， 放出一个 粒子和一个新核，它们速度方向与磁场方向垂直，轨迹的半径之比为 ，重力、阻力和库仑 力均不计，说法正确的是（ ） A． 粒子和新核的动量比为 B．放射性元素原子核的电荷数是90 C．可能的核反应方程为 D．衰变前原子核的比结合能大于衰变后新核的比结合能 【答案】C 【详解】A．由于放出粒子和新核的过程中，系统的动量守恒，则氦核和新核动量大小之比是1:1，故A 错 误； BC．由于放出的粒子和新核在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 则它们的轨道半径与它们所带的电荷数成反比，所以有 则新核所带的电荷数为90，粒子的电荷数为2，为氦核（ ），由于核反应过程电荷数守恒、质量数守 恒，则放射性元素原子核的电荷数是92，所以可能的核反应方程为 故B 错误，C 正确； D．衰变过程是原子核从不稳定到稳定的转变，又比结合能越大越稳定，所以衰变前原子核的比结合能小 于衰变后新核的比结合能，故D 错误。 故选C。 （建议用时：40 分钟） 17．（2023·吉林·二模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所 示， ， ，一束 粒子，在纸面内从a 点垂直于ab 射入磁场，这些粒子具有各种速 率。不计粒子之间的相互作用。已知 粒子的质量为3m，电荷量为2q。在磁场中运动时间最长的粒子， 其运动速率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设粒子的运动轨迹过bcde 上的某一点g，O 为粒子做圆周运动轨迹的圆心，当 最大时，粒 子运动轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长，由几何关系可知当c 点与g 点重合时，粒子运动时间 最长，如图所示 设运动半径为R，则有 解得 已知 粒子的质量为3m，电荷量为2q，其在磁场中做匀速圆周运动，有 解得 故选D。 18．（2025·吉林长春·三模）如图，在空间直角坐标系 中存在磁感应强度大小为 的匀强磁场，磁 场沿 轴正方向，在 处有一垂直 轴足够大的接收屏。原点 处有一粒子源，仅在 平面内向各个 方向发射速度大小为 、质量为 、电荷量为 的正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用和接收屏 累积电荷产生的影响。 (1)求粒子运动的半径和周期 。 (2)若在磁场区再加一个沿 轴正方向电场强度大小为 的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上 坐标最大值和最小值两点的空间坐标。 (3)若粒子源只向 轴负方向发射该种粒子，粒子在磁场中运动时始终受到与速度大小成正比、方向相反的 阻力，比例系数为 。粒子速度第一次沿 轴正方向时的位置设为 点（未画出），已知 点的 坐标为 ，求 点的空间坐标和粒子在 点的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) ， 【详解】（1）由牛顿第二定律 解得 根据周期公式 解得 （2）粒子沿 轴方向做初速度为零、加速度大小为 的匀加速直线运动，由牛顿第二定律 解得 粒子在垂直 轴的平面上做半径为 的匀速圆周运动如图初速度方向沿 轴负方向的粒子打在接收屏上前 运动的时间最长 对应 坐标有最大值 由几何知识可得该点 坐标为 ，其对应的坐标为 初速度沿 轴正方向偏向 轴负方向 角方向的粒子打在接收屏前运动的时间最短 由几何知识可得该点 坐标为0，对应 坐标有最小值 其对应的坐标为 （3）粒子从 点至 点过程，沿 轴方向由动量定理有 即 解得 所以 点坐标为 沿 轴方向由动量定理有 即 解得 19．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）空间直角坐标系 如图所示，在 ，z>0 的空间内存在沿y 轴正方向的匀强磁场（图中未画出）；在 ，z>0 的空间内存在沿x 轴正方向的匀强电场（图中未画 出）。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，由空间中A 点 处以大小为 的初速 度射出，速度方向平行于 平面、与y 轴正方向的夹角 。 时刻，粒子恰好从P 点 穿过 平面射入电场区域，经过P 点时沿z 轴方向的速度分量为0， 时粒子再次穿过 平面，不计粒子重力。求： (1)粒子由A 运动至P 所用的时间； (2)匀强磁场磁感应强度的大小； (3)电场强度的大小及 时粒子的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3) ， 【详解】（1）粒子沿y 轴正方向做匀速直线运动，速度大小为 沿y 轴正方向有 解得 （2）粒子在平行于 的平面内做匀速圆周运动，线速度大小为 运动的轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）设粒子在电场中的加速度大小为a，则有 粒子在P 点的速度可分解为沿y 轴正方向的速度 ，和沿x 轴负方向的速度 ，沿x 轴方向，根据速度公 式有 解得 时，粒子在y 轴上的坐标为 解得 粒子在x 轴上的坐标为 解得 粒子在z 轴上的坐标为 故 时，粒子的位置坐标为 20．（2024·辽宁大连·三模）如图所示，匀强磁场分布在平面直角坐标系的整个第I 象限内，磁感应强度为 B、方向垂直于纸面向里，一质量为m、电荷量绝对值为q、不计重力的粒子，以某速度从O 点沿着与y 轴 夹角为30°的方向进入磁场，运动到A 点时，粒子速度沿x 轴正方向，下列判断正确的是（ ） A．粒子带正电 B．粒子由O 到A 经历的时间为 C．若已知A 到x 轴的距离为d，则粒子速度大小为 D．离开第I 象限时，粒子的速度方向与x 轴正方向的夹角为30° 【答案】C 【详解】A．根据题意作出粒子运动的轨迹如图所示 根据左手定则判断知，此粒子带负电，故A 错误； B．粒子由O 运动到A 时速度方向改变了60°角，所以粒子轨迹对应的圆心角为θ=60° 则粒子由O 到A 运动的时间为 故B 错误； C．根据图中几何关系有： 解得： 根据 得： 故C 正确； D．根据圆的对称性可知，离开第一象限时，粒子的速度方向与x 轴正方向的夹角为60°，故D 错误。 故选C。 21．（2025·辽宁大连·三模）如图所示，以O 为坐标原点建立O−xyz 坐标系，x 轴正方向水平向右，y 轴正 方向竖直向上，z 轴正方向垂直纸面向外（图中未画出），沿x 轴正方向从左到右依次存在四个区域，区 域之间的边界均平行于yOz 平面。I 区存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小E1=15N/C；Ⅱ区存在 沿x 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小 ；Ⅲ区存在沿z 轴正方向的匀强磁场，磁感应强 度大小 ；Ⅳ区存在沿y 轴负方向的匀强电场和沿z 轴负方向的匀强磁场，电场强度大小 E2=200N/C，磁感应强度大小B3=0.01T，Ⅳ区足够宽。I 区右边界与x 轴的交点为O1，y 轴上的A 点到O 点 的距离h=0.1m。一个比荷 的带电粒子从A 点以速度v0=1×104m/s、沿x 轴正方向射入I 区， 经O1点进入Ⅱ区时第一次穿过xOz 平面，进入Ⅲ区时恰好第二次穿过xOz 平面，进入Ⅳ区时恰好第三次穿 过xOz 平面，之后在Ⅳ区内继续运动。不计粒子所受重力。求： (1)带电粒子进入Ⅱ区时的速度； (2)带电粒子第二次穿过xOz 平面时的位置坐标（结果可含π）； (3)Ⅲ区的宽度d。 【答案】(1) ，方向与x 轴正方向成60°角 (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在Ⅰ区中做类平抛运动，根据动能定理有 代入题中数据，解得带电粒子进入Ⅱ区时的速度 设速度v 方向与x 轴正方向夹角为θ，则 可知 （2）粒子进入Ⅱ区后，粒子速度方向与磁场方向不垂直，所以粒子做螺旋线运动，一边沿x 轴正方向以速 度v0做匀速直线运动，一边在垂直于x 轴的平面内以速度vsinθ 做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力 有 解得 粒子进入Ⅱ区后转过半周第二次穿过 xOz 平面，所经历的时间为 粒子第二次穿过xOz 平面时的x 坐标为 y 坐标为0，z 坐标为 即粒子第二次穿过xOz 平面时的坐标为 （3）粒子进入Ⅲ区时速度大小仍为v，方向与xOy 平面平行、偏向y 轴正方向且与x 轴正方向成θ，粒子 在Ⅲ区匀速圆周运动过程有 解得 Ⅲ区的宽度 22．（2025·辽宁盘锦·三模）平面直角坐标系xOy 如图所示，第一、四象限内均存在沿y 轴负方向的匀强 电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B；第二象限内存在沿y 轴负方 向、电场强度大小为E 的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子由x 轴上的A 点沿与x 轴正方 向成θ=60°的夹角射入第二象限，粒子经y 轴上的P 点沿x 轴正方向射入第一象限，粒子恰好在第一象限内 沿直线运动。忽略粒子的重力。 (1)求P 点的纵坐标。 (2)若将一、四象限内磁场的磁感应强度大小变为 ，其余条件均不变，求粒子从P 点开始至其首次到达 轨迹最低点的过程中所受洛伦兹力的冲量大小。 (3)在第（2）问的条件下，粒子纵坐标 时，粒子横坐标的位置。 【答案】(1) (2) (3) 或者 【详解】（1）设粒子在P 点速度大小为v0，粒子在第一象限内沿直线运动，有 解得 粒子在A 点速度沿y 轴上的分量 粒子在第二象限内，由牛顿第二定律可知 由 联立解得 （2）粒子运动轨迹如图所示 设存在沿x 轴正方向、大小为v1的速度，满足 解得 将粒子在P 点的实际速度分解，配出速度v1，设存在沿x 轴负方向、大小为v2的速度，满足 解得 可知粒子沿x 轴正方向以大小为v1的速度做匀速直线运动，以大小为v2的速度做匀速圆周运动，粒子在最 低点速度大小为 粒子由P 点至首次到达最低点，动量的变化量 粒子做圆周运动的周期 粒子从P 点至首次到达最低点，运动的时间 电场力的冲量 则洛伦兹力的冲量 （3）设粒子做圆周运动的半径为r，有 解得 因为 设粒子做圆周运动的圆心角为α，则有 可知 或者 则粒子运动的时间 粒子的横坐标 或 解得 或者 23．（2025·黑龙江·模拟预测）如图所示，真空中足够长的铝板M 和金属板N 平行竖直放置，N 板中心有 一小孔 。N 板右侧有一相切于 点的半径为 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁场上方 有一水平放置的荧光屏。已知铝的逸出功为 ，普朗克常量为，电子的电量为，质量为 。用某单色 光照射铝板，当M、N 间电压为 时，刚好没有电子能从 孔飞出。保持M、N 间电压大小为 ，若仅 将M、N 间电场改为反向，从 点垂直N 板射入磁场且动能最大的电子，经过磁场后刚好可以垂直打到荧 光屏上。不计电子间的相互作用。求： (1)入射光的频率； (2)匀强磁场的磁感应强度； (3)电子能够打到荧光屏上的位置距 板的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据光电效应方程有 根据动能定理有 可得入射光频率 （2）电场反向后，根据动能定理得 洛伦兹力提供向心力，则有 根据几何关系有 可解得 （3）进入磁场中动能最大的电子速度大小相同，由圆形磁场磁扩散的特点可知，都可以垂直打到荧光屏 上从M 板射出的电子中，方向平行M 板向下且初动能最大的电子，经过电场偏转后若恰能从 点射出， 其进入磁场时的速度也最大，且与N 板间夹角最小，经磁场偏转后能垂直打到荧光屏上，该电子打到荧光 屏上的位置距N 板距离最远，如图所示 设电子从 板射出的最大初速度大小为 ，由已知条件有 设电子从 孔射出的最大速率为 ，根据动能定理有 可得 设粒子进入磁场时速度与 板间的最小夹角为 ，则有 可得 则打到荧光屏上粒子到 板的最远距离 解得 24．（2025·辽宁·三模）质谱仪是用来分离和检测同位素的科学仪器。某种质谱仪的原理如下图，加速电 场的电压为 ；速度选择器中磁感应强度为 ，两板电压为 ，两板间距离为 ；磁分析器在 坐标 系的第一、四象限中，其匀强磁场的磁感应强度为 ，各磁场方向如图中所示。一电荷量为 的粒子从容 器 右侧小孔进入加速电场，恰能沿直线运动通过速度选择器，从小孔 出来后，进入磁分析器中偏转， 轨迹如图中虚线所示，到达 轴上 点时纵坐标为，不计粒子重力，整个装置处于真空中，求∶ (1)粒子经过小孔 的速度； (2)粒子的质量 和刚进入加速电场时的初速度 ； (3)粒子沿直线通过速度选择器后，若由于磁分析器漏气，粒子在磁分析器中受到与速率大小成正比的阻力， 轨迹如实线所示，其运动到 点时速度方向刚好沿 轴正向，则粒子所受阻力与速率的比值 是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在速度选择器中，根据平衡条件，有 电场强度为 联立可得 （2）在磁分析器中，洛伦兹力提供向心力，有 由图可知l=2r 联立可得 在加速电场中，根据动能定理，有 解得 （3）在磁分析器中，从O 到Q，沿x 方向根据动量定理有 其中在x 方向，有 在y 方向，有 代入可得 解得
