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微专题09 利用洛必达法则解决导数问题讲义
微专题教学内容
洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
注意：
1. 将上面公式中的
换成
洛必达法则也成立。
2. 洛必达法则可处理
型。
3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足
,
型定式, 否则滥用洛必
达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用,
应从另外途径求极限。
4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。
1
, 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。
典例精讲
【典例1】
两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年
提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法
､
，
如
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】利用洛必达法则直接求解即可.
【详解】
.
故选：B.
会一题通一类
1.们把分子、分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法
则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
2
【答案】D
【分析】利用洛必达法则直接求解即可
【详解】
，
故选：D
2.①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数
，
的导函数分别为
，
，且
，则
.
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数
为区间
上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)证明：
，
.
【答案】(1)
不是区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数
为区间
上的k 阶无穷递降函数的定义即可判断；
（2）通过构造
，再结合
即可得到结果；
3
（3）通过换元令令
，则原不等式等价于
，再通过构造函数
，根据题干中函数
为区间
上的k 阶无穷递降函数的定义证出
，即可证明结论.
【详解】（1）设
，
由于
，
所以
不成立，
故
不是区间
上的2 阶无穷递降函数.
（2）设
，则
，
设
，
则
，
所以
，得
.
（3）令
，则原不等式等价于
，
即证
，
记
，则
，
4
所以
，
即有对任意
，均有
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，证毕!
【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关
限制条件的转化.
【典例2】
已知
恒成立, 求
的取值范围
解:
记
,
则
则
5
所以,
在
单调递增, 且
所以
时,
时,
即
在
上单调递减, 在
上单调递增
所以
所以
分析
上式中求
用了洛必达法则 当
时, 分子
, 分母
, 符合
不定形式, 所以
会一题通一类
1.若不等式
对于
恒成立，求的取值范围.
【答案】
【分析】由题设有
在
上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性、洛必达法则求右
侧的极限，即可得参数范围.
【详解】当
时，原不等式等价于
.
6
记
，则
.
记
，则
.
因为
，
，
所以
在
上单调递减，且
，
所以
在
上单调递减，且
.
因此
在
上单调递减，且
，
故
，因此
在
上单调递减.
由洛必达法则有
，
即
趋向于0 时，
趋向
，即有
.
故
时，不等式
对于
恒成立.
2.已知
.
（1）求
的单调区间；
（2）若对任意
，不等式
恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）增区间为
，无减区间；（2）
.
【分析】（1）由解析式知
定义域为
，
，令
，应用导
数研究
的单调性，进而判断
的单调区间；
7
（2）法一：将问题转化为
在
上恒成立，令
，应用导数
并结合分类讨论的方法研究
的单调性，进而求
的范围；法二：将问题转化为
在
上恒成立，令
，应用导数及函数与方程思想，结合分类讨论的方法研究
的单调性，求
的范围；法三：分离常量法得
在
上恒成立，令
应用
导数研究
的单调性，求
的范围；
【详解】（1）由解析式知：
的定义域为
且
，
令
，则
∴当
时，
；当
时，
，
∴
在
单调递减，在
单调递增，即
，
∴
在
上单调递增，即
的增区间为
，无减区间.
（2）解法1：直接求导，分类讨论.
对任意
，不等式
恒成立等价于对任意
，不等式
恒成立.
令
，则
，
令
，则
，由
知：
，
①当
，即
时， 即
，即
在
上单调递减，又
，
∴
时，
，即
在
上单调递减，又
，
∴
时，
，符合题意.
②若
，即
，
当
时，
，
8
∴
在
单调递增，即
时，
，
故
不恒成立，不合题意.
③若
，则
恒成立，所以
在
单调递增.
∴
时，
，即
在
单调递增，
又
时，
，即
恒成立，不合题意.
综上所述，
的取值范围是
.
解法2：
对任意
，不等式
恒成立等价于对任意
，
恒成立.
令
，则
，记
，
①当
时，
，此时
，
在
单调递减，又
，
所以
时，
，即对任意
，
恒成立.
②当
时，
，
在
上单调递增，又
，
所以
时，
，即对任意
，
恒成立，不符合题意.
③
时，不等式化为
，显然不成立.
④当
且
时，方程
的二根为
，
，
若
，
，
，则
在
单调递增，又
，所以
时，
，即不
等式
不恒成立；
9
若
，
，则
在
单调递增，又
，所以
时，
，即不等
式
不恒成立.
综上所述，
的取值范围是
.
解法3：参数分离
当
，
对任意
，不等式
恒成立等价于对任意
，
恒成立.
记
，则
，
记
，
则
，
所以
在
单调递减，又
，所以，
时，
，即
，
所以
在
单调递减.所以
，
综上所述，
的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：
（1）由解析式确定函数定义域，应用导数研究函数的单调区间；
（2）利用导数研究在某区间内不等式恒成立，综合应用分类讨论、函数与方程等思想，以及分离常量法
结合极限思想，求参数范围.
学后测评
一、单选题
10
1．（25-26 高三上·安徽蚌埠·月考）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的定义域可排除AC，再利用洛必达法则即可排除D.
【详解】因为当
时，该函数无意义，故排除AC 选项，
根据洛必达法则知
，故D 错误
故选：B.
二、填空题
2．（21-22 高二下·四川成都·期中）1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算
法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求
导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，按此方法则有
．
【答案】2
【分析】根据题中所给方法也就是洛必达法则，直接计算可求得答案.
【详解】由题意可得：
,
故答案为：2.
11
3．（2025 高三·全国·专题练习）
．
【答案】1
【分析】根据极限定义化简代入计算求值.
【详解】
．
故答案为：1.
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
.若当
时，
恒成
立，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】按
分段讨论，在
时分离参数构造函数
，利用导数探讨单调性，再利
用洛必达法则求解即得.
【详解】当
时，
，不等式
成立；
当
时，
，令
，依题意，
，
求导得
，令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，则
，即
，
函数
在
上单调递增，由洛必达法则知
，
因此
恒成立，则
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
三、解答题
5．（2024 高三·全国·专题练习）
恒成立,求
的取值范围
12
【答案】
【分析】常数分离得
，判断
的单调性并用罗比塔法则求其最小值.
【详解】
，
记
，
，
则
，
记
，
则
，
而
，
所以,
在
单调递增,所以
，
所以,
在
单调递增,所以
，
即在
上
,所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
.
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
.若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
【答案】
【分析】由题意可得
，分
、
、
三种情况，结合洛必达法则求解即
可.
【详解】因为对任意
，不等式
恒成立，
13
即
在
内恒成立，
即
在
内恒成立，
①当
时，
，不等式成立；
②当
时，
，不等式成立；
③当
时，即
，
令
，
则
，
所以
在
内单调递增，
由洛必达法则得
，
所以
，故
的取值范围是
.
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，
满足
，
满足
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)试比较
与
的大小，并说明理由．
(3)
是否能小于等于一个常数
？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．
14
【答案】(1)
(2)
，当且仅当
时取等号，理由见解析
(3)能，
【分析】（1）对条件中的递推关系取倒数，得到
是等差数列，从而得到通项，再得到
的通项；
（2）构造函数
，求导可得
，即
，累加即可得证；
（3）由题意可知
，不妨设
，令
，得
，求导结合洛
必达法则求解即可.
【详解】（1）依题意得：
，
所以
是等差数列，
首项
，公差
，
所以
，从而
；
（2）由（1）得
，
构造函数
，则
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递增，
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减，
所以
，
即
，当且仅当
时取等号，
所以
，当且仅当
时取等号，即
，
15
累加即得
，当且仅当
时取等号；
（3）
，
，
不妨设
，令
，
则
，
，
令
，由
，得
，
在
上单调递增，
由洛必达法则得
，从而
，所以
．
8．（2023 高三·全国·专题练习）设函数
，
(1)若
，
（
为常数），求
的解析式；
(2)在（1）条件下，若当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
，
求解；
（2）由（1）知
时，
，此时，
，将问题转化为
对
恒成立求解．
【详解】（1）解：因为
，
，
所以
，
，
解得
，
所以
；
（2）由（1）可知，
时，
，此时，
；
16
故
时，
成立
时，
成立，
对
恒成立，
即
对
恒成立；
记
，则
，
记
，则
，
记
，则
，
∴当
0 时，
，
在
上单调递增；
，
所以
在
上单调递增；
；
∴
时，
0，即
在
上单调递增；
记
，
，
当
时，
，
符合洛必达法则条件，
∴
，
∴
时，
，
∴
．
【点睛】方法点睛：不等式
恒成立问题，往往通过
求解或转化为
或
求解.
9．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）记函数
；
(1)求函数
的极值点个数；
17
(2)记函数
的极值点为
，证明：
①
；
②数列
单调递减．
(提示：
时，
)
【答案】(1)存在唯一极小值点
，无极大值点；
(2)①证明见解析；②证明见解析.
【分析】（1）首先得到
，在
时，通过二次求导并结合零点存在性定理即可得到
其极值点个数；
（2）①等价转化为证明
，设
，转化为证明
，
，再设
新函数并求导，再结合零点存在性定理和洛必达法则求证即可；
②转化为证明
，首先求得
，再代入计算
，通过因式分解
即可证明.
【详解】（1）由提示知，
，显然
不是其极值点，
故
，
，
令
,
，
，
当
时，
，当
时，
，
18
故
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，且代入
，此时
，
故存在
，有
，
且
时，
，且
时，
(不恒为零），
从而
在
上单调递减，
上单调递增，
故
存在唯一极小值点
，无极大值点.
（2）①由（1）可知，
为
唯一的极值点，且为极小值点，
由
单调性和正负性可知，
等价于
，
又
，只需证
，
即证
，令
，
只用证
，
，
令
，
易知
在
单调递减，且
，
则存在
，有
，且
时，
，
时，
，
故
在
单调递增，在
单调递减，又
，
19
且由洛必达法则，
，
故
时，
，即
，
，证毕；
②由（1）可知，
，故
单调递减只需证
，
即证：
，
由
，则有
，
代入
有：
，
因为
，则
，若
，
只需：
，
关注到因式分解，有：
，
只需
，
由前可知，
，证毕．
10．（23-24 高三上·重庆·开学考试）设函数
，
，
，且
有唯一零点.
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：
存在三个零点；
(3)记
的零点为p，
最小的零点为q，证明：
，其中e 是自然对数的底数.
20
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）分
和
讨论即可；
（2）
，再次求导证明导函数的单调性，最后利用零点存在定理即可证明；
（3）由题意得
，设
，
，利用导数证明其在
上单调性，将原不
等式转化为证明
，再通过设新函数结合导数即可证明.
【详解】（1）当
时，
，
令
，得
，而
，故
，
当
时，令
得
，
，
令
，
，令
，
，
则
，因为
，则
，
则
，则
，则
在
单调递减，
则
，即
，即
在
上恒成立，
则
时，
，
而
时，
，
时，
，则
，
故
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，而
，
，
故
，解得
21
（2）
，设
，
，
，
则
，令
，解得
，此时
单调递减，即
单调递减，
令
，解得
，此时
单调递增，即
单调递增，
而
，
，
当
，且
时，
，当
，
，
故存在
满足
，使得
，
且当
时，
，此时
单调递增，
时，
，此时
单调递减，
时，
，此时
单调递增，而
，
则
，则
，
而当
时，
；
，且
时，
，
则根据零点存在定理知
在
和
上各有一根，加上
，
则
存在三个零点.
（3）
，则
；
，即
，且
，则
，
因为
，所以
，
令
，
，则
，
设
，其中
，
22
则
，则
在
上单调递增，
故
，则
在
恒成立，
则
，则
，
则
在
上恒成立，
则
在
上单调递增，设
，
且
，
，在点1 的某去心邻域内两者皆可导，且
，
且
，
则
，作出如下图象，
因为
，则
，
要证
，即证
，
只需证
，
即证
，即证
，
设
，
则
，
令
，
则
，
23
令
则
，
令
，
故
，
则
，则
在
上单调递增，
则
，得证，
故
，故
.
【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是通过转化得
，设
，通过导数证明
其在
上单调性，将原不等式转化为证明
，即
，再转化为
，最后再通过设立新函
数并多次求导即可证明.
24
25
