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重难点培优01 直线和圆中常见的最值范围问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 斜率的几何意义应用（★★★★）................................................................................................3
题型二 两点间的距离公式几何意义应用（★★★★）............................................................................6
题型三 点到线的距离（★★★★★）........................................................................................................9
题型四 两平行线间的距离（★★★★）..................................................................................................13
题型五 将军饮马问题（★★★★★）......................................................................................................15
题型六 点与圆的位置关系（★★★★★）..............................................................................................21
题型七 直线与圆的位置关系（★★★★★）..........................................................................................23
题型八 圆与圆的位置关系（★★★★）..................................................................................................27
题型九 圆的参数方程（★★★）..............................................................................................................30
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................32
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................32
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................47
一、常用距离公式
1、点到点的距离公式：平面内两点
，
间的距离公式为：
．
2、点到直线的距离公式：点
到直线
的距离
．
3、直线到直线的距离公式：两条平行直线
，
，它们之间的
距离为：
．
二、三点共线最值问题
1、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则(AP+ BP)min= AB'(当点A、P、B'共线时取到)，点B'是点
B关于直线l的对称点.
2、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max= AB(当点A、P、B共线时取到).
3、点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max= AB'(当点A、P、B共线时取到)，点B'是点
B关于直线l的对称点.
三、点与圆的位置关系最值（范围）问题
1、若点M在圆内，则M Nmin= M N1=r−OM，M Nmax= M N2=r+OM；
2、若点M在圆外，则M Nmin= M N1=OM−r，M Nmax= M N2=r+OM；
3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值
若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r
为圆半径，则PEmin= P1F =d−r，PEmax= P2F =d+r.
四、代数式的几何意义最值（范围）问题
1、形如y= y−b
x−a ，可以转化为过点(x , y)和点(a,b)的动直线斜率；
2、形如z=( x−a)2+( y−b)2，可以转化为点(x , y)和点(a,b)的距离的平方；
3、形如z=ax +by ，可以转化为动直线纵截距
五：直线与圆的位置关系最值（范围）问题
设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直
的弦弦长为
六、：圆的参数方程（供了解）
圆的标准方程(x−a)2+ (y−b)2=r
2，圆心为(a , b)，半径为r，
它对应的圆的参数方程：{x=rcosθ+a
y=rsinθ+ b (θ是参数).
题型一 斜率的几何意义应用
【技巧通法·提分快招】
斜率的几何意义的应用
斜率的公式有明显的代数和几何特征，所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中.
1．已知实数x、y 满足方程
，当
时，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将
的范围转化为线段
上的点与
构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可.
【详解】
方程
，令
，则
，令
，则
，
设点
，
，
所以
可以表示线段
上的点与
构成的直线的斜率，
，
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
2．（2025 高三下·天津·专题练习）已知实数
满足
，则点
的轨迹为 ，
的取
值范围为
【答案】 圆
【分析】利用圆的性质，求得切线的斜率，利用数形结合思想，结合斜率的变化规律求得范围.
【详解】由题意，点
为圆
上的点，故其轨迹为圆，设
，且
，可得
表示点
与点
连线的斜率，其中点
为圆
上的点，如图所示:
在直角
中，可得
，
可得直线
的斜率为
；
在直角
中，可得
，
可得直线
的斜率为
，
所以
的范围为
.
故答案为：圆；
.
3．（24-25 高三下·河北沧州·月考）在平面直角坐标系
中，动点
到
两点的距离
的平方和为10，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意计算化简得出点
的轨迹是以原点
为圆心，半径
的圆，将所求
变
形成
，将
看作是点
与点
连线的斜率
，利用直线与圆的位置关系求得
的取值
范围，即可得解.
【详解】因为动点
到
两点的距离的平方和为10，所以
，
化简上述等式得到动点
的轨迹方程为
，故点
的轨迹是以原点
为圆心，半径
的
圆．
因为
，其中
可看作是点
与点
连线的斜率
，
设直线
，即
，则圆心
到直线的距离
，
因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离
，整理得
，解得
或
，
所以
的取值范围为
．
故答案为：
.
4．点
在函数
的图象上，当
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】把
转化为
与点
所成直线的斜率，作出函数
在
部分图象上的动
点，结合斜率公式，即可求解.
【详解】由
表示
与点
所成直线的斜率
，
又由
是
在
部分图象上的动点，
如图所示：可得
，则
，
所以
，即
的取值范围为
.
故答案为：
.
题型二 两点间的距离公式几何意义应用
【技巧通法·提分快招】
点到点的距离公式：平面内两点
，
间的距离公式为：
．
1．函数
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
，则
可以看作是x 轴上的动点
分别与
两点
，
的距离之和，结合图形分析即可求解.
【详解】由题可得
的定义域为
，又
，所以
可以
看作是x 轴上的动点
分别与两点
，
的距离之和，如图，点
关于x 轴对称的点为
，
则当
与
，
三点共线时，距离之和最小，则
．
故选：B
2．（25-26 高三上·辽宁·月考）已知
、
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】记点
、
、
、
，
，可得出
，数形结合可得出所求
代数式的最小值.
【详解】记点
、
、
、
，
，如下图所示：
易知四边形
是边长为的正方形，
所以
，
，
，
，
所以
，
当且仅当点
在线段
上时，等号成立，
，
当且仅当点
在线段
上时，等号成立，
所以
，
当且仅当点
为线段
、
的交点时，等号成立，
故
的最小值为
.
故选：C.
3．函数
的最大值为 .
【答案】
【分析】
可表示为点
与点
的距离减去点
与点
的距离，然后可得答案.
【详解】
，
表示为点
与点
的距离减去点
与点
的距离，
所以
，
又
，当
共线，且P 在B 的外侧时取等号，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
4．（2025·陕西西安·一模）已知
，
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】把问题转化为两点之间线段最短，再求两点之间的距离即可.
【详解】因为
，
所以
.
所以
表示圆
上的点
到
与到
的距离和.
如图：
所以
（当
为线段
与圆
的交点时取等号）.
故答案为：
题型三 点到线的距离
【技巧通法·提分快招】
点到直线的距离公式：点
到直线
的距离
．
1．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1 的圆经过原点，其圆心到直线
的距离为
，则
的
最大值为（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】先判定该圆圆心的轨迹，再转化为圆上的点到直线的距离的最值问题进行求解.
【详解】因为半径为1 的圆经过原点，所以其圆心的轨迹是以原点
为圆心，1 为半径的圆，
而原点
到直线
的距离为
，
所以圆心到直线
的距离
的最大值为
.
故选：D.
2．（2025·山东·一模）实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】B
【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解.
【详解】
，
其中
为两点
与
距离的平方，
所以其最小值即为
到直线
距离的平方，即
，
所以
的最小值为1，
故选：B
3．若函数
与
的图像有交点，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】将问题转化为方程
有解，即
有解，设
，
则
，将关于的方程看成关于
的直线方程，则
可视为直线上的点
到原点的距离的平方，进而求解即可
【详解】由题，令
，所以
，即
，
所以方程
有解，
设
，则
，
将关于的方程看成关于
的直线方程
，
则
可视为直线上的点
到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
又
，所以当
时能取得最小值，此时
，
所以
的最小值为
.
故选：C．
4．（2025·重庆·模拟预测）已知点
在直线
上，过点
的两条直线与圆
分别相切于
两点，则圆心
到直线
的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】利用两圆方程相减求出相交弦，再用点到直线的距离公式求出距离，再利用函数思想求最大值即
可.
【详解】
由图可知，
所以
四点共圆，
设
，则该圆心为
，半径为
，
所以该圆方程为
，
整理得：
，由它与圆的方程
相减，得两圆相交弦
的方程：
，
所以圆心
到直线
的距离为：
，
又因为点
在直线
上，则
，
代入消元得：
，当
时取等号.
故选：C.
5．已知
为圆
上一动点，则
的最大值为 ．
【答案】8
【分析】设
，由题意直线
与圆
有公共点，通过圆心到直线的距
离与半径的关系可以求解.
【详解】设
，则
在直线
上，
又因为
在圆
上，
所以直线
与圆
有公共点，
所以圆心
到直线
的距离
，解得
.
所以
的最大值为.
故答案为：.
6．设点A 在直线
上，点B 在函数
的图象上，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】设切点为
，由切线与
平行即可求出切点，最后由点到直线的距离公式即可
求解.
【详解】设切点为
，则切线与
平行，
即有
，所以
，所以切点为
，
当
点为切点时，点
到直线
距离最小，
由点到直线的距离公式有
，
故答案为：
.
7．在以点
为圆心，2 为半径的圆上取任意一点
，若
的取值与
无关，
则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先将
转化为点
到两直线距离之和的5 倍，根据
取值与
无关得出距离和与
位置无关，再
由圆心到直线距离判断圆与直线相离，最后根据直线
与圆相切求出
的值并确定
的取值范围.
【详解】由已知可得
所在的圆的方程为
，
设
，
故
可看作点
到直线
与直线
距离之和的5 倍，
因为
的取值与
无关，
所以这个距离之和与
点在圆上的位置无关，
圆心
到直线的距离为
，
所以圆与直线相离，如图所示，可知直线
平移时，
点与直线
的距离之和均为直线
之间的距离，此时可得圆在两直线之间，
当直线
与圆
相切时，
，解得
（舍去），或
，所以
.
故答案为：
题型四 两平行线间的距离
【技巧通法·提分快招】
直线到直线的距离公式：两条平行直线
，
，它们之间的距离
为：
．
1．直线
与直线
上各有一动点
、
，那么
最小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两直线方程得出两直线的斜率相等，从而得出两直线平行，则
的最小值即为两直线间的
距离，再利用两平行直线间的距离公式计算求解．
【详解】
直线
，
，
直线
，即
，
，
，显然两直线不重合，
，即
最小值即为两直线间的距离，
由两平行直线间的距离公式可得
，即
最小值为1．
故选：B．
2．已知
是椭圆
上的动点，则
点到直线
的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，利用平行的距离公式求距离最大值.
【详解】要使
点到直线
的距离最大，只需找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，
令与平行、椭圆相切的直线为
，联立椭圆，消去x，
则
，
，可得
，
对于直线
，与直线
距离为
；
对于直线
，与直线
距离为
；
所以
点到直线
的距离的最大值为
.
故选：A
3．已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意确定点
在直线
上，点
在直线
上，将
的
最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案.
【详解】由题意知实数
满足
，
则
，
故点
在直线
上，点
在直线
上，
而
表示点
和点
之间的距离的平方，
故
的最小值为两平行线
和
间距离的平方，
最小值为
，
故选：B
4．两平行直线、
分别过点
，
，它们分别绕旋转
，
，但始终保持平行，则、
之
间的距离的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意分析可知
，即可得结果.
【详解】设、
之间的距离为
，
若平行直线、
分别过点
，
，则
，
当且仅当、
与直线
垂直时，等号成立，
所以、
之间的距离的取值范围是
.
故答案为：
.
题型五 将军饮马问题
【技巧通法·提分快招】
对称问题的解决方法
（1）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a-x，2b-y).
（2）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l 的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，
y0)，
则l 关于点P 的对称直线方程为A(2x0-x)+B·(2y0-y)+C=0.
（3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P 关于l
的对称点Q 可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ 的中点在l 上来求得.
（4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.
1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一
个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再
回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将军从山
脚下的点
处出发，河岸线所在直线的方程为
，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作点
关于直线
的对称点为
，则最短路程为
.根据点关于
直线的对称问题，列方程组，可求得
，再应用两点间的距离公式求
即可.
【详解】如图，作点
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，
所以
.
则“将军饮马”的最短总路程为
.
故选：C.
2．在平面直角坐标系
中，记动点P 为
，若点P 在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】过点
作点
关于直线
的对称点
，则
的最小值即为
到
轴的距离，故
可求得最小值.
【详解】如图，过点
作点
关于直线
的对称点
，则
.
设
，则有
，解得
，所以
.
设第一象限内的点
，则
，所以
，
而
，
，所以点
到
轴的距离为
，
所以
可视为线段
上的点
到
轴的距离和到
的距离之和.
过
作
轴，显然有
，
当且仅当
三点共线时，和有最小值.
过点
作
轴，则
即为
的最小值，此时
与
重合.
又
，所以
的最小值为
.
故选：B.
3．已知点
，点
分别是x 轴和直线
上的两个动点，则
的最小值等于
．
【答案】
【分析】作
关于
轴的对称点
，由此将问题转化为“求
的最小值”，然后判断出最小值即
为
到
的距离，代入公式可求结果.
【详解】如图，作点
关于
轴的对称点
，则
，
此时最小值即为
到直线
的距离，即
，
所以
的最小值为
，
故答案为：
.
4．已知直线：
及点
，点Q 在l 上，当
的值最大时，点的坐标为
，
的最大值为 .
【答案】
.
【分析】由图，求出B 关于l 的对称点为
的坐标，当A，
，Q 三点共线时，可求
的最大值
及相应Q 坐标.
【详解】如图，设B 关于l 的对称点为
，因
，
则
，即
.
连接
，则
所在的直线方程为
.
由
得
与l 的交点为
，记此点为Q，又在直线任取一点M，
连接BM，
，由对称性，
，则
当A，
，M 三点共线时，即M 与Q 重合时，
此时
的值最大且为
.
故答案为：
；
5．已知圆
，直线
，
为直线上一动点，
为圆
上一动点，定点
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】求出圆心
关于直线的对称点
的坐标，可知
，根据圆的几何性质可得出
，再利用当且仅当
、
、
三点共线，且
为线段
与圆
的交点时，
取最小值，即可得解.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
圆心
到直线的距离为
，则直线与圆
相离，
设点
关于的对称点为
，则
，解得
，
即
，由对称性可知，
，
,
因为
为圆
上一点，则
，
所以
.
当且仅当
、
、
三点共线，且
为线段
与圆
的交点时，
上述两个等号同时成立，故
的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】结论点睛：若点
与点
关于直线
对称，由方程组
可得到点
关于直线的对称点
的坐标
（其中
，
）.
6．三角形
中，顶点
，点B 在直线
上，点C 在x 轴上，则三角形
周长的最小
值为 .
【答案】
【分析】利用轴对称求得对称点，结合图象，可得答案.
【详解】由
，则其关于
轴的对称点为
，
设
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，即
，
作图如下：
的周长
.
故答案为：
.
7．已知圆
，圆
，
分别为圆
和圆
上的动点，
为
直线
上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求得圆
关于直线
对称的圆为圆
，将原问题转化为
到圆
和圆
上的动点距
离之和最小值问题求解.
【详解】圆
，即
，
圆心为
，半径
圆
，即
，
圆心为
，半径
，
设点
关于直线
对称的点为
，
则
，解得：
，
圆
关于直线
对称的圆为圆
，
其圆心为
，半径
，
则其方程为
，
设圆
上的点
与圆
上点
对称，则有
，
原问题可以转化为
到圆
和圆
上的动点距离之和最小值问题，
如图所示：
连接
，与直线交于点
，
此时点
是满足
最小的点，
此时
，
即
的最小值为
，
故答案为：
题型六 点与圆的位置关系
【技巧通法·提分快招】
圆上的点到直线的最大、最小距离
设圆心到直线的距离为
，圆的半径为
（1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为
和
；
（2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为
和
，此时
；
（3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为
和0．
1．已知圆
上一点
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】记原点为
，易知原点
在圆
上，结合距离的几何意义与圆的几何性质可求得
的最大值.
【详解】记原点为
，易知原点
在圆
上，则
，
故
的最大值为圆
的直径，故
的最大值为
.
故答案为：
.
2．（2025·陕西汉中·二模）设
为坐标原点，
为圆
上的动点，则
的最大值
为 ．
【答案】
【分析】求出
的值，即可得出
的最大值.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
因为
，所以
的最大值为
．
故答案为：
.
3．已知实数
满足关系：
，则
的最小值 ．
【答案】
【分析】转化为圆上的点
到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，
数形结合可得答案.
【详解】把圆的方程化为标准方程得：
，
则圆心
坐标为
，圆的半径
，
设圆上一点的坐标为
，
为圆上的点
到原点的距离；
如图
，
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
4．已知
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意由圆中几何意义求解表达式范围即可.
【详解】由题知
，
设
为圆
上一动点，
设
，
因为
，所以
在圆
外，
则
，其中
表示圆上点P 与点Q 距离的平方，
因为
，圆
半径
，
所以
，即
所以
.
故选：D
题型七 直线与圆的位置关系
【技巧通法·提分快招】
1、设直线l 的方程为ax+by+c=0，圆O 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种
（1）
几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点，如图所示.在Rt
OCB
△
中，|BC|
2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2❑√r
2-d
2.
2、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数.
（1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率
为-1
k ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0 或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0.
（2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解：
设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方
程.但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0.
1．（25-26 高三上·广东·开学考试）
是圆
上的动点，
是直线
上的动点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解.
【详解】由题意得，圆
的圆心为
，半径
．
因为
到直线
的距离
，
当且仅当
时等号成立，所以直线与该圆相离，
所以
的最小值为
．
故选：C．
2．已知点M，N 为圆
上两点，且
，点P 在直线
上，点Q 为线
段
中点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据题意可得Q 在以
为圆心，1 为半径的圆上，求
的最小值，转化为求
的最小值
即可.
【详解】由题意，圆
可化为
，
∴圆C 是以
为圆心，半径
的圆，
∵
，点Q 为线段
中点，
∴
，
即Q 在以
为圆心，1 为半径的圆上，
∴求
的最小值，转化为求
的最小值，
∵圆心
到直线
距离
，
∴
，∴
.
故选：B.
3．直线
被圆
截得的最短的弦长为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】C
【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时
圆心到直线的距离最大即可求解.
【详解】原圆方程配方得
，
所以圆心为
，半径
，
因为直线
，
所以直线过定点
，因为定点和圆心的距离
，
所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为
，
所以弦长最短为
.
故选：C.
4．（2025·江西·一模）已知点
、
在圆
上，点
在直线
上，点
为
中点，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出圆的圆心为
，半径为
，利用勾股定理求出
的值，利用圆的几何性质可求得
的最小值.
【详解】圆
的标准方程为
，
所以，圆心为
，半径为
，
由中垂线的性质可得
，则
，
所以，点
在以点
为圆心，半径为
的圆上，
点
到直线
的距离为
，
所以，
.
故选：C.
5．过直线
上任一点P 向圆
作两条切线，切点为
．则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设点
，求出设点
，由点到直线的距离求出圆心
到直线
的距离
，再由
结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】设点
，则直线
的方程为
，
（注：由圆
外一点
向该圆引两条切线，切点分别为
，则直线
的方程是
），
化简可得：
，
所以圆心
到直线
的距离为：
所以
，
当
时，
的最小值为
.
故选：C.
6．已知直线
，圆
，若直线与圆
交于M，N 两点，则
的取值范
围为 ．
【答案】
【分析】判断直线
过定点
，根据
点在圆
内，即可判断
取到最大以及最小值
时的情况，即可求答案.
【详解】依题意，圆
，圆心
，半径为
，
直线
过定点
，
，故
点在圆
内，
当直线过圆心时，弦长最大，为直径
，
当直线与
垂直时，弦长最小，
此时
的最小值为
，故
的取值范围为
．
故答案为：
．
7．已知直线
和圆
.若
是直线上的动点，过
作圆
的一条切线，
切点为
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得
，
再根据圆的切线性质可得
，结合二次函数性质即可求得其最小值.
【详解】由圆
，得
，
故圆心
，半径
，
又已知直线
，点
在直线上，设点
，
则
，
由圆的切线性质可得，
，
当且仅当
时，
取得最小值，最小值为
.
故答案为：
题型八 圆与圆的位置关系
【技巧通法·提分快招】
判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两
圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d<|r1-r2|时，两圆内
含，|r1-r2|<d<r1+r2时，两圆相交.
1．（24-25 高三上·江西宜春·月考）已知
是圆
上一动点，若直线
上存
在两点
，使得
能成立，则线段
的长度的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定信息，结合几何图形得当以
为直径的圆与圆
外切，且圆心连线与垂直时，线段
长度最小，然后求
即可.
【详解】圆
的圆心
，半径
，
由直线
上存在两点
，使得
成立，
得以
为直径的圆与圆
有公共点，当
长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图，
圆心
到直线
的距离
，
所以
.
故选：A
2．（2025·江西·三模）已知
分别为圆
与圆
上一点，则
的最小值
为 .
【答案】2
【分析】首先根据两个圆的方程判断两个圆的位置关系，从而确定点
之间距离的最小值.
【详解】因为圆
，圆
，
所以圆心
，圆
的半径为1；圆心
，圆
的半径为1.
两圆心之间的距离为
，所以两圆相离.
所以
的最小值为
.
故答案为：2.
3．已知圆
与圆
的公共弦所在直线恒过定点
.若直线过
点
，则原点到直线的距离的最大值为 .
【答案】
【分析】两圆方程相减得到公共弦方程，求出定点
的坐标，当
时，原点到直线的距离的最大值，
最大值为
.
【详解】圆
与圆
相减可得公共弦所在直线为
，
令
，解得
，即
，
又直线过点
，所以当
时，原点到直线的距离的最大值，最大值为
.
故答案为：
4．（2024·河北保定·二模）已知点
为
的中点，动点
分别满足
，则
的最大值为 .
【答案】
/
【分析】由条件计算
的轨迹方程，根据圆与圆的位置关系可求出
的最大值.
【详解】由题意可知：点
的坐标为
，
，
由
得：点
在以
为直径的圆
上，则圆
方程为
，
设
，由
，得
，
整理得
，即
，
设
，则点
在以
为圆心，半径为
的圆上，
所以
的最大值为
.
故答案为：
5．（24-25 高三下·上海·月考）已知圆
，设其与
轴、
轴正半轴分别交于
两
点．已知另一圆
的半径为
，且与圆
相外切，则
的最大值为 ．
【答案】20
【分析】分析可知
，
，点
的轨迹方程为
，整理可得
，利用基本不等式运算求解即可.
【详解】
由
整理得：
，可得圆心
，半径为
，
取
可得
，解得
或
，则
；
取
，可得
，解得
或
，则
.
因圆
与圆
相外切，且半径为
，则
，
可知点
的轨迹为以
为圆心，半径为
的圆，如图所示.
则点
的轨迹方程为
，
，
于是
，当且仅当
时，等号成立，
故
的最大值为20.
故答案为：20.
题型九 圆的参数方程
【技巧通法·提分快招】
圆的标准方程(x−a)2+ (y−b)2=r
2，圆心为(a , b)，半径为r，
它对应的圆的参数方程：{x=rcosθ+a
y=rsinθ+ b (θ是参数).
1．已知实数
，
满足
，则
的最大值是 ．
【答案】
【分析】利用圆的参数方程思想，引入参数
来表示
、
，代入
后得到关于
的三角函数来求最值.
【详解】由
得：
，
所以可设
，
,
则
,
因为
，
所以
的最大值是
，
故答案为：
.
2．已知实数
满足
．则
的最大值是 ．
【答案】
【分析】配方已知等式，利用三角换元法，结合三角函数知识可得答案.
【详解】因为
，所以
，
令
得
，其中
，
因为
，所以
，所以
的最大值是
.
故答案为：
3．（23-24 高三下·浙江·开学考试）
是圆
上一动点，
为
的中点，
为坐
标原点，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】写出圆
的参数方程，进而可得点
坐标，结合两点间距离公式转化为求三角函数的最值即可.
【详解】如图所示，
因为圆
：
的参数方程为
，
所以设点
，则
的中点
，
所以
，
当
时，
取得最大值为
.
故答案为：
.
4．（2024·河南·模拟预测）已知点
是圆 C
上的任意一点，则
的最大值为（ ）
A．25
B．24
C．23
D．22
【答案】A
【分析】设
代入算式中由倍角公式化简，利用基本不等式求积的最大值.
【详解】点
是圆 C
上的任意一点，设
则
，
当且仅当
时，等号成立.
的最大值为25.
故选：A
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．圆
上的点到直线
的距离的最大值为（ ）．
A．3
B．5
C．
D．
【答案】B
【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案
【详解】圆
的圆心为
，半径
，则
圆心
到直线
的距离为
，
所以圆
上的点到直线
的距离的最大值为
，
故选：B
2．若
为圆
上任意一点，点
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解.
【详解】将圆
化为标准方程为
，
故圆
的圆心为
，半径
，
因为
，故点
在圆的内部，
且
，
所以
的取值范围为：
.
故选：C
3．已知圆
，点
在圆上，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先拆分所求式
为
，利用
表示的几何意义，将最大值问题转化为直线与圆
的相切问题解决.
【详解】由
，
由于点
为圆
上任意一点，
如图，可将
看作圆
上任意一点
与点
所在直线的斜率，
由图知，当直线
与圆相切于第一象限时，直线
的斜率最大，
此时，易得
，
，
因
轴，故直线
的斜率
，
故
的最大值为
.
故选：C．
4．记
表示点
到曲线
上任意一点距离的最小值．已知圆
，圆
，若点
为圆
上的一点，则
的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．8
D．3
【答案】A
【分析】由圆心距与半径的关系可得两圆相离，再由题意与圆的相关知识即可求得.
【详解】由圆
，得圆心
，半径
，
由圆
，得圆心
，半径
，
因为
，所以两圆外离，
因为点
为圆
上的动点，所以
，
所以
的最大值为
.
故选：A.
5．已知实数
满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，把问题转化为直线与圆的位置关系问题，进而利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】因为实数
满足
，所以点
在圆
上，
圆心
，半径
.
设
，则点
在直线
上，所以直线与圆
有公共点.
如下图所示：
所以圆心
到直线的距离
，即
，解得
，
则
的取值范围为
.
故选：A
6．已知圆
与圆
相切，则
的最小值为（ ）
A．5
B．3
C．2
D．
【答案】C
【分析】求出圆心和半径，按两圆外切和内切分类讨论求出最小值.
【详解】圆
的圆心为
，半径为3，圆
的圆心为
，半径为1，
若圆
与圆
外切，则
，即
，
则
，当且仅当
时取等号；
若圆
与圆
内切，则
，即
，
则
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为2.
故选：C
7．（25-26 高三上·山西长治·月考）从点
向圆
引切线，则切线长的最小
值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】可知点
在直线
上，根据题意利用勾股定理求切线长，结合圆的性质求最小
值.
【详解】圆
的圆心为
，半径
，
点
在直线
上，
则圆心
到直线
的距离
，
可知直线
与圆
相离，
设其中一个切点为A，
则切线长
，
所以切线长的最小值为
.
故选：C.
8．已知圆
，直线
，若直线被圆
截得的弦长的最大值为
，最
小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出直线过定点
，再根据点在圆内结合直线与圆的位置关系求出最长弦长和最短弦长
即可得解.
【详解】由题意直线可化为
，则直线过定点
，
点
代入圆
可得
，所以点
在圆
内，
又圆
半径
，圆心
，
所以当
时，直线被圆
截得弦长最短，即
，
当过圆心
时，直线被圆
截得弦长最长，即
，
所以
，
故选：A
9．（2025·河南信阳·模拟预测）
是圆
上的动点，
是直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得
的最小值为圆心到直线的距离减去半径.
【详解】由题意得，圆
的圆心为
，半径
.
因为
到直线
的距离
，
当且仅当
时，等号成立，
所以直线与该圆相离，
所以
的最小值为
.
故选：C.
10．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化
为几何问题加以解决，如：
可以转化为平面上点
与点
的距离．结合上述
观点，可得
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】将
转化成
到点
的距离与到点
的距离之差，再结合
和两点间的距离公式进行求解．
【详解】由所求的式子的形式想到距离之差，
，
可转化成
轴上一点
到点
的距离与到点
的距离之差，
则
（当且仅当
三点共线时取等号），
所以
的最大值为
．
故选：B.
11．已知圆
，圆
，点
为
轴上的动点，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出两圆圆心坐标，作圆心
关于
轴的对称点
，由对称性可知，
，可
得出
，利用当
、
、
三点共线时，
取最小值，求解即可.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
圆
的标准方程为
，圆心为
，半径为
，
如下图所示：
作圆心
关于
轴的对称点
，由对称性可知，
，
所以，
，
当且仅当
、
、
三点共线时，
取最小值
.
故选：B.
12．已知点
，圆
，则圆
上的点到
的距离最大值为 .
【答案】
【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，由圆的几何性质可知最大值为
.
【详解】由圆
方程知：圆心
，半径
，
圆
上的点到
的距离最大值为
.
故答案为：
.
13．已知
在直线
上，则
的最小值为 ．
【答案】3
【分析】根据
，即表示直线
上的点
到原点距离，由点到直线的距离公式计算，
即可得结果.
【详解】因为
表示点
到原点
的距离，而点
在直线
上，
所以
的最小值即为原点
到直线
的距离，
.
所以
的最小值为3.
故答案为：.
14．设
，已知直线
，过点
作直线
，且
，则直线与
之间距
离的最大值是 .
【答案】5
【分析】求出直线恒过点
，从而得到两平行线的最大距离为点
与点
的距离，得到答案.
【详解】由于直线
，整理得：
，
故
，解得
，
即直线恒过点
，则过点
作直线
，
且
，则最大距离为点
与点
的距离，
即
.
故答案为：5
15．用
表示点
与曲线
上任意一点距离的最小值．已知
及
，
设
为
上的动点，则
的最大值为 ．
【答案】3
【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解．
【详解】如图所示，
得到圆心
；
得到圆心
；
由于
，所以两圆相离，因为
为
上的动点，
，
所以要使
取得最大值，只需
最大即可，
因为
，则
的最大值为.
故答案为：3.
16．已知点
，动点P 在直线
上，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】先判断 A，B 在直线
的同侧，作B 关于直线的对称点
，当A，P，
三点共线
时，
最小.
【详解】解：由题意知点A，B 在直线
的同侧，
设点B 关于直线
的对称点为
，
则
解得
即
，
所以
故答案为：
17．已知
满足
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】将问题转化为圆上动点到定点的距离的平方，从而得解.
【详解】
表示圆
上的动点
与原点
的距离
的平方，
因为圆
的圆心
，半径
，则
，
因为
，所以
，
则
，即
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
18．已知函数
，则
的最小值为 ．
【答案】5
【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案.
【详解】
，
转化为x 轴上的动点
到两定点
，
的距离之和最小，
由图可知
，距离之和的最小值为5．
故答案为：.
19．
，
，函数
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据两点间的距离及点到直线的距离公式构造点到点，点到直线的距离，由图可得解.
【详解】设点
，
和直线
，
，
到的距离分别为
，
，易知
，
如图，
显然
.
故答案为：
20．（24-25 高三上·江西宜春·月考）若
分别为圆
，与圆
上的动点，
为直线
上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】9
【分析】根据给定条件，求出点
与直线
上的点
距离和的最小值，再减去两圆半径和即
可.
【详解】圆
的圆心
，半径
，
圆
的圆心
，半径
，
设点
关于直线
的对称点为
，连接
，如图：
则
，解得
，即
，
，则
，当且仅当
是
与直线
的交点，
且
分别是线段
与圆
的交点时取等号，
所以
的最小值为9.
故答案为：9
21．已知实数x，y 满足方程
，则
的最大值为 ，
的取值范围是
．
【答案】
【分析】
可化为
，此方程表示圆心为
，半径为1 的圆，
表
示该圆上的点与原点的连线的斜率，
表示圆上的点
到直线
的距离，从而由
直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】方法一
可化为
，此方程表示圆心为
，半径为1 的圆．
设
，则直线
与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键），
所以
，解得
，所以
的最大值为
．
表示圆上的点
到直线
的距离，
因为圆心
到直线
的距离为
，
所以
，即
．
方法二
可化为
，此方程表示圆心为
，半径为1 的圆，
所以
可以看作是圆
：
上一点
与原点连线的斜率，
如图所示，OA，OB 与圆
分别相切于A，B，所以
，连接MA，OM，
所以
，所以
，
所以圆
上一点与原点连线的斜率的最大值为
．设
所以
且
，
所以
．
故答案为：
，
.
22．已知
、
是圆
上的两个不同的动点，且
，则
的
最大值为 ．
【答案】15
【分析】根据题意，写出圆的参数方程，然后将
两点坐标表示成参数方程形式，并根据
的
关系，找到两个点参数形式的角度关系，然后带入求解的式子，利用三角函数的性质即可求解最大值.
【详解】由已知，圆
的参数方程为：
（
为参数），
因为
、
是圆
上的两个不同的动点，
可令
，
；
，
，且
，
所以
、
，
由
可得：
，
又因为
，所以
，
所以
，
其中，
，
所以，当
时，
取得最大值15.
故答案为：15.
23．设
．
(1)求曲线
在点
的切线方程．
(2)设点
在曲线
上，点
在直线
上，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数求得曲线
在点
的切线方程．
（2）通过平移的方法，结合导数以及点到直线的距离公式求得
的最小值.
【详解】（1）因为
，则
，所以，
，
所以，曲线
在点
的切线方程为
，即
.
（2）根据题意，将直线
往靠近曲线
的方向平移，
当平移到直线与曲线相切时，切点
与直线间的距离最近，
设切线方程为
，
由（1）可知，当切线斜率为时，切点坐标为
，此时切线方程为
，
此时
，从
点向直线
作垂线，垂足为
，此时
取最小值，
即
，所以
的最小值为
.
24．若
，求下列各式的取值范围
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）
，由几何意义得表示圆弧上的点
到
距离的平方减1，
利用图象求最值即可求解；
（2）令
，易得与圆弧边界相交时取得最小值，相切时取得最大值，利用圆心到直线的距离等于
半径求解即可；
（3）由
得几何意义，表示圆弧上的点与点
的斜率，结合图象求解即可；
（4）由
，而
表示圆弧上的点与点
的斜率，结合图象得到
的范围即
可求解.
【详解】（1）根据题意，
表示以
为圆心，半径为1 的圆弧，
，表示圆弧上的点
到
距离的平方减1，
又
，
，
所以
的最大值为
，最小值为
，
故
的取值范围为
.
（2）令
，
当直线
与圆弧交于点
时取得最小值
；
当直线
与圆弧相切，即圆心到直线距离
，
解得
或
（舍），此时
，
所以
的取值范围为
.
（3）
表示圆弧上的点与点
的斜率，
根据图像可知斜率最小为
，最大为
，
所以
的取值范围为
.
（4）
，
而
表示圆弧上的点与点
的斜率，
根据图像可知斜率最小值为
，
当直线
与圆弧相切时取得最大值，设
，
圆心到直线的距离
，解得
或
（舍），
所以
的取值范围为
.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（25-26 高三上·河北·开学考试）若圆
：
与圆
：
有且仅有2
条公切线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题可知圆
与圆
相交，故
，所以点
在以原点
为圆心，半
径分别为2 和4 的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得
代表点
到直线
的距离的5 倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解.
【详解】由题可知圆
，半径
，圆
，半径
.
∵圆
与圆
有且仅有2 条公切线，∴圆
与圆
相交，∴
，
∴点
在以原点
为圆心，半径分别为2 和4 的圆所夹的圆环内部（不含边界）.
又
，∴
代表点
到直线
的距离的5 倍.
∵圆心
到直线
的距离为1，
∴圆环内的点
到直线
的距离
，
∴
的取值范围为
.
故选：C.
2．已知曲线E:
+
=1，
是曲线E 上任意一点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分类讨论可得曲线
轨迹，利用
可看成是点
到直线
的距离的两倍，
当点
在椭圆上时距离最大，利用三角代换可求最大值.
【详解】由
，当
时，方程为
，
当
时，方程为
，当
时，方程为
，
如图，曲线在第二、四象限是双曲线的一部分，在第一象限是椭圆
的一部分，
可看成是点
到直线
的距离的两倍.
由图可知，点
在椭圆上时，距离最大.
设
，
则
，其中
，则
.
故选：C.
3．已知
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】D
【分析】根据条件可将
转化为函数
图象的点到直线
上的点的距离
，数形结合，求解最小值为两直线平行时的距离，即可得到
的最小
值，由此一一判断各选项，即得答案.
【详解】解：由题意可知
在
的图象上，
在
的图象上，
由
，得
，
所以
可转化为函数
图象的点到直线
上的点的距
离，
对于
，
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
；当
时，由于
增加的速度小于x 增加的速度，故
；
由此可作出
和
的图象，如图：
结合图象可知
有最小值，无最大值，AB 错误；
又因为与直线
平行的直线的斜率为
，
令
，解得
，
则
的与
平行的切线的切点坐标为
，
所以
到直线
的距离为
，
所以
的最小值为
，此时
，所以D 正确，C 错误，
故选：D
4．（2025·四川凉山·三模）（多选题）已知
，则（ ）
A．
的最小值是
B．
的最小值是
C．
的最小值是
D．
的最大值是
【答案】ACD
【分析】A 选项表示圆上一点
到点
的距离，即最小值为
；圆上一点
到直线
的距离为
，
，
即为
到直线
的距离减半径，求
出
，即可得判断B；
表示圆上一点
到点
距离之和，由此求解
可判断C；化简D 选项可知D 表示圆上一点
到点
距离之差的2 倍，由此求解可判断
D.
【详解】方程
的圆心为
，
对于A，
表示圆上一点
到点
的距离，
，
所以
的最小值是
，故A 正确；
对于B，圆上一点
到直线
的距离为
，
，所以求
的最小值，即求
，
所以
即为
到直线
的距离减半径，
所以
到直线
的距离为
，
所以
，所以
的最小值为
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
表示圆上一点
到点
距离之和，
所以
，当
三点在一条直线上时取等，
故
的最小值是
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
，
表示圆上一点
到点
距离之差的2 倍，
所以
，当
三点在一条直线上时取等，
的最大值是
，故D 正确.
故选：ACD.
5．在平面直角坐标系中，动点P，Q 关于直线
对称（
在
上方），且
，
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意分析可知
等于点
到点
的距离，且点
在直线
，结合将
军饮马问题分析求解即可.
【详解】设为
，则
，
则
，
可知
等于点
到点
的距离，
由题意可知：点
在与直线
平行的直线上，且两平行线间距离为
，
设直线
，
则
，解得
，
即点
在直线
，
设
关于直线
对称的点为
，
则
，解得
，即
，
则
，
当且仅当
三点共线时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
6．
为等边
内一动点，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】延长
至
，使得
，以点
为圆心，
为半径作圆弧
，由条件确定点
在弧
上，建立平面直角坐标系，求点
所在圆的方程，利用参数方程表示
，结合三角恒等变换求其
最小值，由此可得
的最小值.
【详解】如图所示，
不妨设等边
的边长为2，
为
的中点，
延长
至
，使得
，以点
为圆心，
为半径作圆弧
，
为
内一动点，
，
点
在弦
所对的弧
上，
由图可知：当点
取与
轴的交点时，
，
以
为原点，
为
轴，建立平面直角坐标系，
可得：
，
，
，
．
点
所在圆的方程为：
．
设参数方程为：
，
，
令
，化为：
，
设
，
，
则
，
解得
，
，故
的最小值为
．
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用坐标法实现问题的解决，问题解决过程中也需具备一定的平面几
何基础..
7．已知实数
满足
，则
的最大值为
．
【答案】
【分析】数形结合，把问题转化成圆上的点到直线的距离的最大值问题求解.
【详解】设
，
，
因为
，
，所以
、
为圆
上的两点.如图：
则
.
又
，所以
，
取
中点
，则
.
作直线：
，作
，
，
，
，垂足分别为
，
，
，
.
所以
又
，所以
.
即
.
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，根据点到直线的距离公式
求解.
8．已知
，
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】可将目标函数看成
，
两点的距离，而
可看作
，
两点的
距离，再结合图象，结合抛物线的定义，转化为抛物线
上
到定点
与
上的
的距离
之和最小，再结合函数的图象，以及利用导数求最小值.
【详解】条件转化为
，
记
，
，
，
，
，
则
，
即原问题转化为抛物线
上
到定点
与
上的
的距离之和最小，
，当且仅当
共线时，等号成立，
令
，
，
，
由于
单调增，则
是
的唯一零点，即有
在
上单调递增，则
，即
的最小值为
，
则
.
故答案为：
9．已知
，
，则
的最小值为
.
【答案】
【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解.
【详解】
.
记点
、点
、点
和点
，
因为
，
，
所以
的几何意义为：表示正方形
内的点
到点
、点
、点
和点
四点的距离之和.
因为
的几何意义为：正方形
内
的点
到点
和点
的距离之和.
所以当点
在线段
（不包含点
和点
）上时，点
到点
和点
的距离之和最小，即
取得最小值，为
.
因为
的几何意义为：正方形
内的点
到
点
和点
的距离之和.
所以当点
在线段
（不包含点
和点
）上时，点
到点
和点
的距离之和最小，即
取得最小值，为
.
综上可得：当点
是线段
与
的交点时，
和
同时取得最小值，均为
.
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
