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培优专题 01 立体几何与空间向量
题型01 立体几何中证明平行或垂直关系
抓关键 · 破难点
在立体几何中证明平行关系有以下方法：
1、遇到中点，看能不能构造中位线，证明线线平行
2、从题目中的平行线出发，看能不能构造平行四边形。
3、过直线构造一个平面，找到两平面的交线，证明直线与交线平行。
4、从面面平行从而得到线面平行，所以构造两条与已知平面平行的直线。
立体几何证明垂直的常用方法：
①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直
线。
②利用三垂线定理及其逆定理三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。
③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
面。
④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。
⑤利用空间向量：若两条直线的方向向量的数量积为零，则这两条直线垂直（适用于相交、平行、异面
直线）。
刷经典 · 通方法
1．（2026高三·上海·专题练习）如图，在三棱锥 中， ，
的中点分别为 ，点 在 上， ．求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【分析】利用向量的线性运算表示 ，根据垂直，利用数量积求得 为 的中点，再由中位线定理
和平行传递性结合线面平行的判定求证.
【详解】
连接 ，设 ，
则 ， ，
由 可知， ，
又因为 ， ，则 ，
解得 ，则 为 的中点，
因为 分别为 的中点，
所以 且 ，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
2．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体 中，
(1)若 ，求证： 平面 ．
(2)求证：平面 平面 ．
(3)试问：线段 被两个平行平面 与平面 所截得的线段长是否相等？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)相等，理由见解析
【分析】(1) 过点 作 交 于 ，过点 作 交 于 ，进而根据相似比的关系
证明四边形MNFE是平行四边形，即可根据判定定理证明结论；
（2）根据正方体的性质证明 平面 ， 平面 ，进而结合判定定理即可证明；（3）作出 点，根据面面平行性质定理，中位线等证明即可.
【详解】（1）证明：过点 作 交 于 ，则 ①
过点 作 交 于 ，则 ②
连接EF． ， ，
，即： ，
四边形MNFE是平行四边形，
平面 ， 平面
平面
（2）证明： 正方形 中， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 平面 ， 平面平面
同理 平面
， 平面 ， 平面 ，
平面 平面
（3）解：线段 被两个平行平面 与平面 所截得的线段长相等．
理由如下：
如图，连接 交 于点 ，连接 与 交于点E.
又因为 平面 ,所以点E也在平面 内,
所以点E就是 与平面 的交点;
连接 交 于点O，连接 与 交于点F,
则点F就是 与平面 的交点.
下面证明： :
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 平面 ,
所以 .
在 中, 是 的中点,
所以E是 的中点，即 ；
同理可证 ，
所以F是 的中点，即 ,
所以 .
所以， 被两个平行平面 与平面 所截得的线段长相等.
3．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，一个圆锥的顶点是 ， 是底面的圆心， 是底面的一条直径，
.(1)若 和圆锥底面所成角大小是 ，求该圆锥的表面积；
(2)若 是 中点， ､ 是底面圆上两点，劣弧 的长为 ， ， 是线段 上一点，求证：
平面 平面 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面角的定义结合圆锥的表面积公式求解即可；
（2）根据弧长公式可得 ，利用平行四边形的性质证明线线平行，再根据面面平行的判定定理证
明即可.
【详解】（1）连接 ，由题可得 ，因为 ，
所以 ，
所以圆锥的表面积为 .
（2）
因为 分别为 的中点，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
劣弧 的长为 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 为等边三角形，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
4．（2026高三·上海·专题练习）如图所示，在四棱锥 中，底面 是 且边长为
的菱形，侧面 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ，若 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
(3)若点 ， 分别为 ， 的中点，求证:平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由菱形的性质可得 ，再由面面垂直的性质定理即可证明.
（2）连接 ，由线线垂直可得线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可证明.
（3）连接 ， ， ，可证平面 平面 ，再由面面垂直可得 平面 ，由面面垂
直的判定定理证明即可.
【详解】（1）在菱形 中， , 为 的中点，
所以 ，又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 ， 平面 ，所以
平面 .
（2）如图，连接因为 为正三角形, 为线段 的中点，
所以 ，由（1）知 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .
（3）如图，连接 ， ， ，
在 中， ，在菱形 中， ，
而 平面 ， 平面 ， ， 平面 ，
平面 ， ，所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
因为 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，所以平面 平面 .
5．（25-26高三上·上海浦东新·期末）如图，该几何体由一个棱长为4的正方体 与一个半
圆柱拼接而成，圆心 、 分别为线段 、 的中点，动点 在弧 上滑动.
(1)若点 为弧 的中点，求直线 与平面 所成角的大小；
(2)若弧 的长度为 ，求证：平面 平面 .
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得 与平面 的法向量，通过向量夹角公式求线面角；
（2）由弧长可求得 点坐标，进而求得平面 和平面 的法向量，计算即可得到结果.
【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系：
则： ， ， ， ， ，
若点 为弧 的中点，则
所以
平面 的一个法向量为
所以
所以直线 与平面 所成角的大小
（2）若弧 的长度为 ，由弧长得 ，则
，
设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为令
所以
所以平面 平面
题型02 立体几何中求线线角
抓关键 · 破难点
1、定义：异面直线所成角是 空间中两条不共面直线 的夹角，通过“空间问题平面化”转化为 两条相交直
π
线的夹角 ，其取值范围为(0, ]（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。
2
2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的 平行直线 ，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。
随后在由平行线构成的三角形中，利用 边角关系 （如余弦定理、正弦定理）求解角度。
刷经典 · 通方法
1．（25-26高二上·上海徐汇·期末）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面
， 是棱 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成的角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，证明 即可；（2）以点 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解两异面直线所成角.
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为正方形，所以 为 的中点，
又因为E是棱PA的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
故 ，
则 ，
所以异面直线 与 所成的角为 .
2．（25-26高二上·上海·月考）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)试在棱PB上确定一点E，使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积之比为 ；并求出此时异面直线CE与PD所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2) 为 的中点；
【分析】（1）要证明线面垂直，则需要通过证明线线垂直得到线面垂直，即证明 .
（2）先求出梯形 的面积，然后根据已知条件求出四棱锥 和三棱锥 的体积，进而
可确定点 的位置，然后作辅助线，确定异面直线 与 的夹角即为直线 与 的夹角 ，根
据几何图形和三角函数求出结果.
【详解】（1）因为 底面 ， 平面 ，所以 .
又 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 ，所以 ，过点 作 ，则 ，
又 ，所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为 ，所以 ，点 为 中点，
所以 ，所以梯形 的面积为 .
四棱锥 的体积为 .
由已知 与 的体积比为 ，所以三棱锥 的体积为 .
过点 作 ，且 是三棱锥 的高，
因为 ，所以有 .
因为 ，所以 .
所以三棱锥 的体积为 .
所以 ，所以点 为 的中点.则 .取 的中点 ，连接 ，则 .
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以异面直线 与 的夹角即为直线 与 的夹角 .
在等腰直角三角形 中， ，在直角三角形 中，因为 ，
所以根据勾股定理得 ，所以 .
所以 .
所以 .
所以异面直线 与 的夹角为 .
3．（25-26高二上·上海·期中）已知圆柱的底面半径和高均为 ，上底面圆心为 ，正六边形 内
接于下底面圆 ．
(1)试用 表示圆柱的侧面积 ；
(2)求异面直线 与 所成的角的大小．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式直接求得结果；
（2）通过平移直线法先确定所成的角为 或其补角，然后利用余弦定理求解出角的大小，则结果可
知.
【详解】（1）设圆柱的高为 ，因为 ，
所以 .
（2）连接 ，由正六边形 的性质可知 ，
所以异面直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，即为 或其补角，
因为 为正三角形，所以 ，
在 中， ，
所以 ，所以 ，
所以异面直线 与 所成的角的大小为 .
4．（25-26高二上·上海闵行·期中）如图，圆锥的顶点为 ，底面圆为 ，底面的一条直径为 ， 为半
圆弧 的中点， 为劣弧 的中点，已知 ，(1)求三棱锥 的体积；
(2)求异面直线 和 所成角的大小
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知三角形 为直角三角形，由此可根据三角形面积公式、棱锥体积公式求得三
棱锥的体积；
（2）可以通过平行线说明 的大小即为异面直线 与 所成的角或其补角的大小，结合勾股定理
以及余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为 为半圆弧 的中点，所以 ，则 ，
所以 .
（2）因为 为劣弧 的中点，所以 ，则 ，
所以 的大小即为异面直线 与 所成角或其补角的大小，
易知 ， ，
在 中，由余弦定理可得： ，
所以异面直线 与 所成角为 .
5．（25-26高二上·上海·月考）如图，在四面体 中， ， ， ､ 分别为 ､ 的
中点(1)求证：直线 和 为异面直线.
(2)求直线 和 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）根据异面直线的定义判断证明；
（2）取 中点 ，连接 、 ，根据已知及异面直线所成角的定义找到其平面角，进而确定其大小.
【详解】（1）由 平面 ，故 平面 ，而 平面 ， ，
又 平面 ，故 平面 ，故直线 和 为异面直线；
（2）取 中点 ，连接 、 ，由于 、 分别为 、 的中点，
所以 ，且 ，
故直线 和 所成角，即 或其补角，
因为 ，故 ，因为 ，故 ，故 ，
所以直线 和 所成角为 .
题型03 立体几何中求线面角
抓关键 · 破难点
求线面角的方法
（1）定义法：能直接找到P点在α平面的射影B点，能计算出|PB|或者|AB|，则线面角的正弦或余弦可求。
（2）体积法：如果没法直接找到P点在α平面的射影B点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信
息，通过体积求出P点到α平面的高度h，则线面角的正弦可求。
（3）向量法：
设直线 的方向向量为⃗n，平面 的法向量为⃗n，直线与平面所成的角为 ， 与 的角为 ，则有
|⃗a⋅⃗n|
sinθ=|cosϕ|= ．
|⃗a||⃗n|
注意：线面角的范围为[0°,90°
]
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海奉贤·一模）如图，将直角三角形 绕直角边 所在直线旋转一周形成圆锥 ．已
知圆锥 的底面半径为3cm，圆锥的侧面积 ．设 、 是底面圆周上的两点，线段 不经过点
．
(1)求圆锥 的体积；
(2)求证：直线 与直线 是异面直线；
(3)二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的大小．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由侧面积公式求得母线长，进而得到圆锥高，结合体积公式即可求解；
（2）由异面直线判定定理即可求解；
（3）过点 作 于 ，连接 ，确定 为直线 与平面 所成角，进而可求解.
【详解】（1）设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，由题意可得： ，
所以 ，
所以圆锥 的体积
（2）因为 平面 ， 平面 ，
所以直线 与直线 是异面直线；
（3）因为二面角 的大小为 ，
由圆锥的结构可知： ，
所以 即为二面角 的平面角，
所以 ，又 ，
所以 ，
过点 作 于 ，连接 ，
因为 ， 为平面 两条相交直线，
所以 平面
所以 即为直线 与平面 所成角，
又 ，
又 平面 ， 在平面 内，
所以 ，
所以 ，所以 ，
即直线 与平面 所成角大小为 .
2．（2025·上海宝山·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为矩形， 为线
段 的中点， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 交 于点 ，应用中位线得出 ，再应用线面平行判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，先求出平面 的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解.
【详解】（1）连接 交 于点 ，
∵ 是 的中点， 是 中点， ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ，
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，∴ ，
令 ，则 ， ，
∴ 是平面 的一个法向量， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为
3．（2025·上海静安·一模）已知正四棱柱 的底面边长为1，点 、 分别在边 、
上，且 ， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 2，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得 ，进而可证线面平行；（2）方法一：建系标点，求平面 的法向量，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点
到平面 的距离，进而求线面夹角.
【详解】（1）因为 ， ，则 ，可得 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）方法一：以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标
系，如图所示：
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，可得 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值是 ．
方法二：由题意可知： ， ， ，则 ，
，
设点 到平面 的距离为 ，
因为三棱锥 的体积即为三棱锥 - 的体积，
则 ，解得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值 ．
4．（2025·上海·模拟预测）如图所示，圆锥的底面半径为4，高为4，线段 为圆锥底面 的直径，点
在线段 上，且 ，点 是以 为直径的圆上一动点.
(1)当 时，证明:平面 平面 ；
(2)当三棱锥 的体积最大时，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 垂直于圆锥的底面，所以 ，再由 ，得到 ，利用线面垂直的
判定定理，证得 平面 ，进而证得平面 平面 .
（2）当三棱锥 的体积最大时，得到 为弧 的中点，以 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面 的一个法向量 和向量 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）因为 垂直于圆锥的底面，所以 ，
当 时， ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）当三棱锥 的体积最大时，只需 的面积最大，此时 为弧 的中点，如图所示，以
为原点，建立空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，得 ，所以 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角正弦值为 .
5．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
， ， 平面 .(1)求证:直线 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明 平面 ，再利用线面垂直的性质定理即可证明；
（2）先证明 平明 ，从而得到 为直线 与平面 所成角，再在 中求解
即可.
【详解】（1）由题意知 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ；
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ，又 在平面 内，
所以直线 ；
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平明 ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成角，
在 中，因为 ，
所以
所以直线 与平面 所成角的大小为 .
题型04 立体几何中求二面角抓关键 · 破难点
二面角的求法
（1）定义法：如果能直接过棱l上一点，找到与棱l垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱l
垂直的两条线
（2）三垂线法：当无法直接找到与棱l垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面α
找一点P点，过P点作平面β的垂线PA（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面β垂直的平面，在平
面上作垂线），然后过A或者P作棱的垂线交于B点，连接成直角三角形PAB，即可求二面角的平面角。
（3）垂面法: 若题目条件中能找到棱l垂直的平面，则找出该平面与α，β的交线即可。若题目中有与棱l
垂直的直线，如图如果AP与棱l垂直，则可以构造出与棱l垂直的平面，即可求出二面角的平面角。
（4）射影面积法：已知平面β内的△ABP在平面α的投影为△A'B'P'，则平面α和平面β所成的二面角
S
的平面角大小为θ，则cos θ= △A'B'P'
S
△ABP
（5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的
交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行
线。
⃗a⋅⃗b
（6）向量法：若⃗a,⃗b分别为面α，β的法向量，cos⟨⃗a,b⟩= 则二面角的平面角为⃗a,⃗b的夹角或它
|⃗a|⋅ |⃗b|
们的补角。
注意：二面角的范围为[0°,180°
]
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， ， 是底面半径，
， 为劣弧 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若圆锥底面半径为1，高 为2，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线平行，可证明线面平行，所以需要证明 与平面 内的一条直线即可.（2）首先建立空间直角坐标系，然后将点 的坐标表示出来，进而可将向量 的坐标表
示出来，设出平面 和平面 的法向量，利用坐标关系求出法向量的坐标，最后利用数量积求出两
平面夹角的余弦值.
【详解】（1）连接 ，如图所示.
因为点 是劣弧 的中点， ，
所以 .
因为 ，所以 为等边三角形.
所以 ，根据内错角相等，两直线平行，
所以 ，因为 平面 ，而 不在平面 上，
所以 平面 .
（2）过点 作 交 于点 ，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在直线
为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则 、 、 、 ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ， ，则 ，
所以， ，
因此，当四边形 面积最大时，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
2．（2025·上海金山·模拟预测）如图所示，平面 平面 ，且四边形 为矩形，在四边形
中， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）先根据已知边的关系和角度，用勾股定理逆定理证 ，再结合面面垂直性质定理，
因平面 与平面 垂直且交线为 ，得 ⊥平面 ，最后由面面垂直判定定理得证.
（2）先确定直线 与平面 所成角为 ，设 ，用勾股定理表示相关线段长度，根据正弦
值列方程求出 .接着建立空间直角坐标系，根据向量关系求出 坐标，进而得到相关向量坐标.最后借助向
量夹角余弦公式计算即可.
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，
又∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ．
（2）由（1）可知 ，
则 为直线 与平面 所成的角，
令 ，则 ， ， ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
以点C为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
由 ，得 ，
∴ ， ， ，
令平面 的法向量为 ，则 ，则 ，则 ，
令 ，则 ， ，则 ，
令平面 的法向量为 ，
则 ，则 ，则 ，
令 ，则 ， ，则 ，
由已知可知二面角 为锐二面角，令其大小为θ，
则 ，
故二面角 的余弦值为 ．
3．（2025·上海浦东新·三模）如图，点 是以 为直径的半圆上的动点，已知 ，且 平
面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点 满足 ，当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面 所成的锐二面
角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) .【分析】（1）要证明面面垂直，即需要证明线面垂直，那么过这条线的平面就会垂直于另一平面.
（2）首先根据三棱锥体积取得最大这个条件得出 的结论，然后找出平面 与平面 的二面
角，最后根据线段关系和相似三角形求出该二面角的余弦值，或者建立平面直角坐标系，利用向量法进行
求解.
【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 为半圆的直径，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）方法1：
，当且仅当 时等号成立.
设圆心为 ，连接 ，在平面 上过 作 ，
连接 ，在平面 上过 作 ，如图所示.
因为 ， ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 平面ABC， 平面 ，
则 ， ， 平面 ，所以 平面 ，而 平面 ，
于是 ，所以 为平面 与平面 的夹角，
在平面 上， ，有 ，得 ， ，
，有 ，得 ，
则 ， ，
平面 与平面 所成锐角的余弦值为 .
方法2：据（1）知， 面 ， ，
当 时， 达到最大：
过点 作 于 ，建立以 为原点， 为 轴， 为 轴，
过 点垂直于平面 的方向为z轴.设平面 与平面 的法向量分别为 ， .
则点 ， ， ， ， .
， ；则 ；
令 ，可得 ；因为平面 的法向量为 .
则平面 与平面 夹角的余弦值 .
4．（2025·上海闵行·一模）如图，三棱锥 中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角
三角形， 为AC中点．
(1)求证：
(2)若 ，求二面角 的大小．【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得出 平面POB，再根据线面垂直的性质定理求证；
（2）取 边中点H，求证 为二面角 的平面角，在 中计算即可.
【详解】（1）因为侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点，
所以 ，
因为 平面 ，所以 平面POB，
因 平面 ，所以 ；
（2）取 边中点H，
因为侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点，
所以 ，
设 ，则 ，
因 ，则 ，所以 ，
所以 ，则 为二面角 的平面角，
因 平面 ，则 平面 ，
因 平面 ，则 ，
又 ，则 ，则 ，
所以二面角 的大小为 .
5．（2025·上海普陀·一模）如图所示，过圆柱的轴 的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形 是该圆柱底面圆周上异于 两点的点．
(1)设平面 平面 ，求证： ；
(2)当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）由 平面 ，结合线面平行的性质定理即可求解；
（2）由线面垂直得到 是二面角 的平面角，进而可求解.
【详解】（1）由已知得 ，又 平面 ， 在平面 外，
则 平面 ，
又平面 平面 平面
则 .
（2）设 的边 上的高为 ，则 ，当三棱锥 的体积最大时， ，即 为 的中点，
又 平面 在平面 上，所以
又 ， 为平面 内两条相交直线，
所以 平面 ，又 在平面 内，
所以 ，
则 是二面角 的平面角，
在直角三角形 中， ，则 ，
即所求的二面角 的余弦值为 .
题型05 立体几何中求距离
抓关键 · 破难点
求点到平面的距离的方法：
（1）体积法：可根据体积、底面积可求出点到平面的距离，使用的时候通常可涉及到体积的转换。
（2）向量法：A为平面α外一点， ⃗n为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH．
⃗|AB⋅⃗n| |⃗AB⋅⃗n|
|⃗AH|=|⃗AB|⋅sinθ=|⃗AB|⋅|cos<⃗AB,⃗n>|=|⃗AB| ⇒d=
|⃗AB|⋅|⃗n| |⃗n|
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥 的底面是边长为2的菱形，点 为 中点.(1)若点 是线段 上的动点，求证：直线 与直线 不相交；
(2)若 平面 ， ， ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）先证明 平面 ，然后分析直线 与直线 交点情况即可证明；
（2）利用等体积法求解即可.
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
如图所示：
因为四边形 为菱形，所以 为 的中点，
所以在 中有，由 分别是 的中点，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以直线 与直线 没有公共点，
即直线 与直线 不相交.（2）因为 平面 ，点 为 中点，
所以 平面 即 平面 ，
所以 为三棱锥 的高，且 ，
因为四边形 为菱形，且 ，
所以菱形 为边长是2正方形，
所以 ，
且 ，即 ，
又 ，
在 中， ，
即为 的高，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
由等体积法得： ，
即 ，
解得： ，
所以点 到平面 的距离为 .
2．（2025·上海金山·二模）如图，在四棱锥 中， 平面
， .(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得 ，从而可证明 平面 ，再根据面面垂直的判定定
理即可得证；
（2）以点 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
在 中， ，则 ，
如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，令 ，则 ，所以 ，
所以点 到平面 的距离为 .3．（2025·上海杨浦·三模）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD， ， ，点
E，F，G分别为PD，AB，AC的中点.
(1)求证：平面 平面PBC；
(2)若 ，
（i）求点F到平面AEG的距离.
（ii）画出四边形ABCD的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i） ；（ii）直观图见解析，面积为 .
【分析】（1）延长 交 于点 ，利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证.
（2）（i）在三棱锥 中由等体积法求得点F到平面AEG的距离；（ii）用斜二测画法作图，并进
行计算.
【详解】（1）由 分别为 的中点，得 ，而 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，延长 交 于点 ，连结 ，由 ，得 ，
由 是 的中点，得 是 的中点，又 是 的中点，
则 ，而 平面 ， 平面 ，
因此 平面 ，又 平面 ，且 ，
所以平面 平面 .（2）（i）设点 到平面 的距离为 ，取 的中点 ，连结 ，
则 ，且 ，
由 平面 ，得 平面 ，由 ，
得 ，
在△ 中, ，则 ，
又 ，于是 ，解得 ，
所以点F到平面AEG的距离 .
（ii）取直角梯形底边 的中点 ，以点 为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，
作坐标系 ，使 ，在 上取点 ，使 ，且 为 的中点，
在 轴上取点 ，使 ，过 作 轴，且使 ，
连接 ，则梯形 是直角梯形 的斜二测直观图，如图，
梯形 的面积 .
4．（2025·上海杨浦·二模）坐落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图， 分
别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知 .
(1)求证： ；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合图中几何关系由线面垂直的判定定理证明 平面 即可；
（2）结合图中几何关系由等体积法即 求解即可.
【详解】（1）
连接 ，
因为底面为正八边形，所以 ，
又正八棱柱侧棱 底面 ， 底面 ，所以 ，
平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2）
连接 ，
因为 ，
由正八边形 的性质可得 ， ， 为 到底面 的距离，
，
所以 ，
由勾股定理可得， ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，即 ，即 ，
解得 ，所以点 到平面 的距离为 .
5．（2025·上海长宁·二模）如图，在直三棱柱 中， ，点D
是棱 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离以及三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见详解
(2) ；
【分析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明；
(2)利用等体积法求解即可.
【详解】（1）
连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，
， ，在直三棱柱 中，平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
分别为 ， 的中点， 且 ，
点D是棱 的中点， 且 ，
且 ， 四边形 是平行四边形，
， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ；
（2） ， ， ，
点D是棱 的中点， ，
， ，
由(1)知 平面 ， ，
，
， ，
设点 到平面 的距离为 ，
，
， ，
点 到平面 的距离为 ，三棱锥 的体积为 .
题型06 立体几何中求体积
抓关键 · 破难点
核心思路：上海卷求体积问题注重几何直观与代数运算的结合，强调空间想象能力和非建系方法的运
用。
常规拆分法：将不规则多面体拆分为棱柱、棱锥等基本几何体，分别计算体积后求和或作差；关键在于找准分割截面，将复杂图形转化为规则几何体。
等体积法：利用三棱锥顶点可轮换的特性，通过等体积关系反求高或底面积，适用于点到平面距离或体
积比问题；常结合比例关系简化计算。
补形法：将不规则几何体补全为柱体或锥体，用整体体积减去补上部分的体积；特别适用于有对称性的
多面体或旋转体。
祖暅原理与微积分法：建立截面面积关于高度的函数，通过积分求体积；上海卷偶有涉及，需较强的函
数建模能力。
体积比法：利用相似比（体积比等于相似比立方）或等高（底）关系，由已知体积快速求未知体积，无
需具体计算。
方法选择：图形规则时优先用直接公式法；图形可分割时用拆分法；涉及距离或高时用等体积法；上海
卷近年更强调非建系方法，需加强几何构造能力
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海杨浦·一模）如图，在长方体 中， 为 上一动点，已知 ，
.
(1)求直线 与平面 所成角的大小；（用反三角表示）
(2)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先找出 即为直线 与平面 所成角，再求 的大小即可；
（2）根据 ，再利用三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）连接 ，由题意得 平面 ，
则 即为直线 与平面 所成角，
又 ，
在直角 中， ， ，
，则 ，
所以直线 与平面 所成角的大小为 .
（2）由题意得， 平面 ，
则 .
所以三棱锥 的体积为 .
2．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，已知四棱锥 的底面为菱形， .(1)求证： 平面BDS；
(2)若 ，求四棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）由菱形与等腰三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直判定，可得答案；
（2）由菱形的性质与勾股定理，根据（1）可分割三棱锥的底与高，结合体积公式，可得答案.
【详解】（1）设AC与BD相交于点 ，
因为底面ABCD为菱形，所以 ，且 为 中点.
又因为 ，所以 平面BDS，
所以 平面BDS.
（2）因为底面ABCD是菱形， ，所以 是等边三角形，则 .
在 中， ，满足 ，
根据勾股定理逆定理可知 ，即 .
由（1）知 平面BDS，所以 ，
.
则 .
3．（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体 中，设棱 ，其余5条棱长都为2.(1)当 时，求直线 与平面 所成角的大小；
(2)当四面体 的表面积最大时，求 的值及其体积.
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）过 作 平面 ，垂足为 ， 为直线 与平面 所成的角，在
中求解即可；
（2）当四面体表面积最大时， 和 都是直角，此时 ，故四面体 的体积
.
【详解】（1）当 时， 为正四面体.
过 作 平面 ，垂足为 ，则点 为正 的中心，
进而 为直线 与平面 所成的角.
在 中， ， ，
从而 ，故 .因此直线 与平面 所成角的大小为 .
（2）当四面体表面积最大时， 和 都是直角，此时 .
取 的中点 ，连接 、 ，故 ， ，
平面 ，从而 平面 .
由题意， ，
进而可得 的面积为 .
故四面体 的体积 .
4．（2025·上海徐汇·二模）如图， 是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为
cm和 cm，高 cm．
(1)求正四棱台 的侧面 与底面 所成二面角的大小；
(2)现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四
棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）结合正四棱台的结构特征，利用几何法求出二面角的平面角.
（2）利用圆台、棱台的体积公式计算得解.
【详解】（1）设正方形 ， 的中心分别为 ，连接 ，则 平面 ，
分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，则 ， ，
由 ， 分别为等腰梯形 底边 ， 的中点，得 ，
由 ，得四边形 是一个直角梯形，
，又 ， 为侧面 与底面 所成二面角的平面角，
由条件知 ，则 ，
所以侧面 与底面 所成二面角的大小为 .
（2）依题意，圆台 上底面半径 cm，下底面半径 cm，高 cm，
则圆台 的体积为 ，
又正四棱台的体积 ，
所以削去部分的体积 ，
所以削去部分与正四棱台的体积之比为 .
5．（25-26高二上·上海·期中）如图在四面体 中， 是边长为2的等边三角形， 为直角
三角形，其中 为直角顶点， ， 、 、 、 分别是线段 、 、 、 上的动点，
且四边形 为平行四边形．(1)求证： 平面 ；
(2)试探究当二面角 的大小从 增加到 的过程中，线段 在平面 上的投影所扫过的平
面区域的面积；
(3)设 ，且 是以 为底的等腰三角形，当 为何值时，多面体 的体积恰
好为 ？
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先通过线面平行的判定定理，证得 平面 ，通过线面平行的性质定理，证得
，由此证得 平面 ；
（2）画出 为 ， 时 的投影，由此判断出线段 在平面 上的投影所扫过的平面区域，
进而求得区域的面积；
（3）先求得三棱锥 的面积为 ，通过分割的方法，得到 ，分别求
得 与 的关系式，再由 列方程，解方程求得 的值.
【详解】（1）∵四边形 为平行四边形，
∴ ．而 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．而 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，而 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；（2）∵ ，
∴ 在平面 上的投影点 ，满足 ，即 在线段 的中垂线上．
如图所示，将 补成边长为 的正 ，
当二面角 为 角时，即点 在平面 上，此时 为 ，
当二面角 为 角时，此时 为 中点 ，
故 在平面 上的投影所扫过的平面区域为 ，而 ，
故线段 在平面 上的投影所扫过的平面区域的面积为 ；
（3）∵ ， ，且 为等腰三角形，∴ ．
取 中点 ，易得： ， ， ，
满足： ，根据勾股定理可知 ．
∴ 平面 ．∴ ．
而多面体 的体积恰好为 ，即多面体 的体积恰为四面体 体积的一半．
连接 ．
，
∴ ．
，∴ ．
∴ ，
∴ ，整理： ，即 ，
解得： （ 舍去）．
题型07 立体几何中存在性探索
抓关键 · 破难点
先判断动点的运动轨迹。根据运动轨迹选择合适的方法：
几何法：利用几何性质直接作图判断（如中垂线、角平分线、阿氏圆、定弦定角等确定轨迹）。假设点
存在，逆向推理它应该在哪些轨迹的交点上。
建系法：建立坐标系，设动点 P(x,y,z)，将运动轨迹写成方程，将题目条件转化为方程或不等式。
向量法（适合向量已知的几何条件）将长度、垂直、共线等用向量表示。
刷经典 · 通方法
1．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，
， ， ， 为棱 的中点．
(1)证明： 平面 ；(2)求二面角 的余弦值；
(3)棱 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ?若存在，求出 的长；若不存在，说明
理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在点 ，
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论；
（2）以 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 平面 的法向量，即可求得二面角的余弦值；
（3）假设存在点 到平面 的距离是 ，设 可得 ，利用点到平面距离的向
量求法计算可得 ，即可求出 .
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，如下图：
因为 为棱 的中点，所以 ，
又 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；（2）由题意知 平面 ，且 ，可知 两两垂直，
以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
易知
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ，可得 ；
又 ，
设平面 的一个法向量为 ，
可得 ，令 ，可得 ，即 ，
所以 ，
由图可知二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ；
（3）假设在棱 上存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ，设 ， ，即 ，可得 ,
所以 ，
则点 到平面 的距离是 ，又 ，可得 ,
所以 ， ，
即存在点 到平面 的距离是 , .
2．（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体 中， ， ，点 在棱
上运动.
(1)证明： ；
(2)设 为棱 的中点，在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，求 的值，若不
存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点 使得 平面 ，
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线 和直线 的方向向量，证明 ，由此可得结
论.（2）求平面 的法向量 ，由条件可得 ，由方程求得 .
【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，
，
设 ，则 ，
，所以 .
（2）若 是 的中点，则 ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
设 ，则 ， ，
故 为平面 的一个法向量.
设 ， ，
若 平面 ， 平面 ，
则 ，所以 是 的中点，所以 .
3．（2025·上海浦东新·二模）如图，四边形 为长方形， 平面 ， ， ．(1)若 分别是 的中点，求证： ∥平面 ；
(2)边 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的大小为 ？若存在，求 长；若不存
在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）法一：几何法：取 中点 ，连接 、 ，通过 ，即可求证；法二：向量法：
求得平面法向量取平面 的法向量 由 ，即可求证；
（2）法一：几何法：作 ，垂足为 ，连接 ，确定直线 与平面 所成的角为 ，
进而可求解；法二：向量法：由线面夹角公式求解即可.
【详解】（1）
法一：取 中点 ，连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∵ 平面 ， 在平面 外，
∴ 平面
法二：如图建立空间直角坐标，
则 ， ， ，
， ， ，
∴ ，
易知平面 的一个法向量
∵ ，
且 在平面 外
∴ 平面
（2）
法一：作 ，垂足为 ，连接 ，
∵ 平面 ， 在平面 内，
∴ ，又 为平面 内两条相交直线，
∴ 平面 ，
∴直线 与平面 所成的角为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴边 上存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ， .
法二：设 ，则 ，
∴ ，
易知平面 的一个法向量 ，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
解得： ，
∴边 上存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ， .
4．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，等腰直角三角形 中， ， 为 中点，
分别为 边上的动点，且 ，将三角形 沿 折起，使点 折至点 的位置，二面角
大小为 ，连接 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若点 为 中点，求异面直线 与 所成的角的大小；
(3)试判断直线 与平面 所成的角的大小是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)存在， ．
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证.
（2）连接 ，由二面角的定义可得 ，再利用异面直线所成角的定义求解.
（3）作 于点 ，由线面平行的性质求出点 到平面 的距离，再利用线面角的意义列式求出
最大值即可.
【详解】（1）由 ，得 ，则 ，
因此 ，而 平面 ，
所以 平面 .
（2）连接 ，由点 为 中点， ，得 是 的中点，而 为 中点，
则 ， 是异面直线 与 所成的角或其补角，
由（1）得 是二面角 的平面角， ，令 ，
则 是正三角形， ，由（1）得 ，于是 ，
而 ，在等腰 中， ，则 ，
所以异面直线 与 所成的角的大小为 .
（3）作 于点 ，由 平面 ， 平面 ，得 ，
而 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ， 平面 ，于是 平面 ，
点 到平面 距离等于点 到平面 距离 ，
设 ，直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
而 ，因此 ，令 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
因此 ， ，又 为锐角，则 ，
所以直线 与平面 所成的角的大小存在最大值，最大值为 .
5．（25-26高三上·上海杨浦·期中）如图，已知平面四边形 中， 为 的中点， ，
，且 ．将此平面四边形 沿 折成直二面角 ，连接 、 ，
设 中点为 ．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）证明空间中三线两两垂直，建立空间直角坐标系，由线段长写出点坐标，然后利用空间向
量的数量即求出平面法向量，由直线方向向量和平面法向量的数量积求得线面角的正弦值；
（2）点 存在，设 ，即得到点 坐标，然后由线面垂直得到空间向量的数量积，解得 即为的值.
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，即 ， ，
又∵二面角 为直角，∴ ，
∴如图建立空间直角坐标系 ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，令 ，则 ，
，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
（2）存在这样的点 ，
设 ，
∵ 中点为 ，∴ ，
则 ，当 平面 时， ，解得 ，
即 .
