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专题20 空间向量与立体几何（八大题型+模拟精练）
目录：
01 空间向量的线性运算
02 空间向量的数量积
03 空间向量的基本定理
04 空间向量的坐标表示
05 利用空间向量判断位置关系
06 利用空间向量求角度
07 利用空间向量求距离
08 空间向量与立体几何 解答题
01 空间向量的线性运算
1．（2024 高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形
中，
，
分别是
，
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱
中，
，P 为
的中点，
1
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则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
3．（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若
是空间任意四点，则有
B．若表示向量
的有向线段所在的直线为异面直线，则向量
一定不共面
C．若
共线，则表示向量
与
的有向线段所在直线平行
D．对空间任意一点
与不共线的三点
、
、
，若
（其中
、
、
），
则
、
、
、
四点共面
4．（23-24 高一下·安徽合肥·期末）如图，三棱柱
中，
分别为
中点，过
作
三棱柱的截面交
于
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
02 空间向量的数量积
2
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5．（23-24 高二下·湖北·期末）空间向量
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高二下·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱
中，
，
，
，则
（ ）
A．48
B．32
C．
D．
7．（23-24 高二下·福建漳州·期末）正方体
的棱长为，
是正方体外接球的直径，
为正方体表面上的动点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·河南新乡·二模）已知圆锥
的底面半径为
，高为1，其中
为底面圆心，
是底面圆的
一条直径，若点
在圆锥
的侧面上运动，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
03 空间向量的基本定理
9．（24-25 高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC 中，
，
，
，
若
，且
∥平面ABC，则实数
（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
10．（22-23 高二上·江西南昌·期末）已知点
在
确定的平面内，
是平面
外任意一点，实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
11．（23-24 高二下·江苏淮安·阶段练习）以等腰直角三角形斜边
上高
为折痕，把
和
折成
的二面角.若
，
，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
04 空间向量的坐标表示
12．（2023·河南·模拟预测）已知空间向量
，若
共面，则实数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
13．（23-24 高二下·福建莆田·期末）在三棱锥
中，
，
，
两两垂直，且
.若
为该三棱锥外接球上的一点，则
的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
14．（23-24 高二下·福建·期中）在棱长为2 的正方体
中，若点P 是棱上一点(含顶点)，则
4
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满足
的点P 的个数为（ ）
A．8
B．12
C．18
D．24
05 利用空间向量判断位置关系
15．（23-24 高二下·甘肃·期中）已知平面
外的直线l 的方向向量为
，平面
的一个法向量为
，则（ ）
A．l 与
斜交
B．
C．
D．
16．（23-24 高三下·湖南衡阳·阶段练习）空间四边形
中
分别为
的点（不
含端点）.四边形
为平面四边形且其法向量为
.下列论述错误项为（ ）
A．
，则
//平面
B．
，则
平面
C．
，则四边形
为矩形.
D．
，则四边形
为矩形.
17．（23-24 高二下·江苏扬州·阶段练习）正方体
的棱长为1，动点
在线段
上，动点
在平面
上，且
平面
，线段
长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在正方体
中，点
为线段
上的动点，直线
为平面
与平面
的交线，现有如下说法
①不存在点
，使得
平面
5
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②存在点
，使得
平面
③当点
不是
的中点时，都有
平面
④当点
不是
的中点时，都有
平面
其中正确的说法有（ ）
A．①③
B．③④
C．②③
D．①④
06 利用空间向量求角度
19．（23-24 高二下·福建厦门·期末）在四面体
中，
，
，
，
，则
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体
中，已知
，
，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线
与BD 所成的角为90°
6
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B．线段
的长度为
C．直线
与
所成的角为90°
D．直线
与平面ABCD 所成角的正弦值为
21．（23-24 高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形
，现将
沿
折起，当二面角
的大小在
时，直线
和
所成角为
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
07 利用空间向量求距离
22．（23-24 高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）平行六面体
中，
，点
为
的中点，则点
到直线
的距离为
．
7
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23．（23-24 高二下·安徽·期末）在棱长为2 的正方体
中，E，F 分别为正方形
和正
方形
的中心，则点
到平面
的距离为 .
24．（23-24 高二下·江苏淮安·阶段练习）将边长为2 的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠使得△ACD 垂直于
底面ABC，则异面直线AD 与BC 的距离为 ．
25．（24-25 高二上·上海·单元测试）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
点
为
的中点，则
与平面
的位置是 ．
26．（19-20 高二·全国·课后作业）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F 分别为A1D1，A1B1，
C1D1，B1C1的中点，则平面AMN 与平面EFBD 的距离为 .
08 空间向量与立体几何解答题
27．（24-25 高三上·湖南·开学考试）如图，在直三棱柱
中，
是侧棱
的中点，
.
8
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(1)证明：平面
平面
；
(2)求锐二面角
的余弦值.
28．（23-24 高二下·上海·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
底面
，
为线段
的中点，
，
为线段
上的动点.
(1)证明：
；
(2)当
为线段
的中点时，求点
到面
的距离.
29．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
平面
为等边三角
形，
，点
为棱
上的动点．
(1)证明：
平面
；
(2)当二面角
的大小为
时，求线段
的长度．
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30．（2024·吉林·模拟预测）如图所示，半圆柱
与四棱锥
拼接而成的组合体中，
是半圆弧
上（不含
）的动点，
为圆柱的一条母线，点
在半圆柱下底面所在平面内，
.
(1)求证：
；
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求点
到直线
距离的最大值.
一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱
中，
，
，
，则
异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设
，
，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．3
D．
3．（2024·山西·三模）正方体
的棱长为2，
分别为
的中点，
为底面
10
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的中心，则三棱锥
的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC 中，
，
，
，点D，E，F 满足
，
，
，则直线CE 与DF 所成的角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·山东日照·二模）已知棱长为1 的正方体
，以正方体中心为球心的球
与正方
体的各条棱相切，若点
在球
的正方体外部（含正方体表面）运动，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形
，
，将
沿对角线
折起，使以
四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·河南·三模）在四面体
中，
是边长为2 的等边三角形，
是
内一点，四面
体
的体积为
，则对
，
的最小值是（ ）
11
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A．
B．
C．
D．6
8．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，已知
，
，
分别是棱
，
，
的中点，
为平面
上的动点，且直线
与直线
的夹角为
，则点
的轨迹长
度为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2024·河北承德·二模）如图，在正四棱柱
中，
是棱
的中点，
为线段
上的点（异于端点），且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是平面
的一个法向量
B．
12
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C．点
到平面
的距离为
D．二面角
的正弦值为
10．（2024·山东滨州·二模）图，在边长为4 的正方形
中，
为
的中点，
为
的中点．若分
别沿
，
把这个正方形折成一个四面体，使
、
两点重合，重合后的点记为
，则在四面体
中，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
到直线
的距离为
C．三棱锥
外接球的半径为
D．直线
与
所成角的余弦值为
11．（2024·江西宜春·三模）如图，正方体
的棱长为2，设P 是棱
的中点，Q 是线段
上的动点（含端点），M 是正方形
内（含边界）的动点，且
平面
，则下列结论正
确的是（ ）
13
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A．存在满足条件的点M，使
B．当点Q 在线段
上移动时，必存在点M，使
C．三棱锥
的体积存在最大值和最小值
D．直线
与平面
所成角的余弦值的取值范围是
三、填空题
12．（2024·山东济南·一模）在三棱柱
中，
，
，且
平面
，
则
的值为 .
13．（2024·河南·一模）三棱锥
中，
，
，
，
，点M，
N 分别在线段
，
上运动.若二面角
的大小为
，则
的最小值为 .
14．（2024·山东青岛·一模）已知球O 的表面积为
，正四面体ABCD 的顶点B，C，D 均在球O 的表面
上，球心O 为
的外心，棱AB 与球面交于点P．若
平面
，
平面
，
平面
，
平
面
，
且
与
之间的距离为同一定值，棱AC，AD 分别与
交于点Q，
R，则
的周长为 .
四、解答题
15．（2024·广东·模拟预测）如图，在直四棱柱
中，
.
14
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(1)证明：
平面
；
(2)求
与平面
所成的角的正弦值.
16．（2024·青海·模拟预测）如图，在斜三棱柱
中，
，M 为AC 的中点，
．
(1)证明：
．
(2)若
，
，
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
17．（2024·山东烟台·三模）如图，在直三棱柱
中，
，M，N 分别为
，
中点，且
．
(1)证明：
；
15
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(2)若D 为棱
上的动点，当
与平面
所成角最大时，求二面角
的余弦值.
18．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形
中，
，
，将
沿矩形的对角
线
进行翻折，得到如图2 所示的三棱锥
，且
.
(1)求翻折后线段
的长；
(2)点
满足
，求
与平面
所成角的正弦值.
19．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在多面体
中，侧面
为菱形，侧面
为直角梯
形，
，
，
为
的中点，点
为线段
上一动点，且
，
，
.
(1)若点
为线段
的中点，证明：
平面
；
(2)若平面
平面
，且
，在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角
的余弦值为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
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