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专题13 空间向量与立体几何（练习）
一、填空题
1．已知空间向量
，
，则向量
在向量
上的投影是 .（用坐标表示）
【答案】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答.
【解析】空间向量
，
，
所以
，
，
所以向量
在向量
上的投影向量是
，
所以向量
在向量
上的投影向量的坐标是
.
故答案为：
.
2．已知点
，
，
，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】先求出平面ABC 与平面xOy 的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可.
【解析】因为
，
，
，
所以
，
设平面
的法向量为
，则
1
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，令
，则
，
平面xOy 的一个法向量为
，
所以
，
所以平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为
.
故答案为：
3．在四面体
中，若底面
的一个法向量为
，且
，则顶点
到底面
的距离为 ．
【答案】
【分析】根据点面距的向量表示公式进行计算即可.
【解析】根据题意知，
点
到底面
的距离为
.
故答案为：
.
4．已知向量
，
，若
与
的夹角为钝角，则实数的取值范围为 .
2
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【答案】
【分析】两个向量的夹角为钝角等价于
且
与
不共线.
【解析】由
；
由
.
综上：
且
.
故答案为：
.
5．已知三棱锥
，空间内一点
满足
，则三棱锥
与
的体积
之比为 ．
【答案】
【分析】根据题意，化简得到
，结合空间向量的基本定理，得到在平面
内存
在一点
，使得
，得到
，即可求解.
【解析】由空间内一点
满足
，
可得
，
因为
，根据空间向量的基本定理，可得在平面
内存在一点
，
使得
，所以
，即点
为
的中点，
可得
，所以三棱锥
和
的体积比值为.
故答案为：.
3
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6．四棱锥
中，
，
，
则这个四棱锥的高是 .
【答案】
【分析】计算出点
到平面
的距离即可，借助空间向量中点到面的距离公式即可得.
【解析】设平面
的法向量为
，则有
，即
，
令
，则
，则
，
则
.
故答案为：
.
7．如图在长方体
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点.则
.
【答案】
【分析】以
为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可求得结果.
4
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【解析】以
为坐标原点，
正方向为
轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：
.
8．已知
是棱长为1 的正四面体.若点
满足
，其中
，则
的最
小值为 .
【答案】
/
【分析】根据给定条件，可得点
在平面
内，再求出正四面体的高即可.
【解析】由点
满足
，其中
，得点
在平面
内，
因此
的最小值即为正四面体
的底面
上的高，令点
在底面
上的射影为
，
则
为正
的中心，
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
5
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9．如图，在正方体
中，
、
分别是棱
、
的中点，
是棱
上靠近
的四等
分点，过
、
、
三点的平面
交棱
于
，设
，则
.
【答案】
/
【分析】设
，
，
，用基底
表示向量
、
、
，设
，
可出关于
、
、
的方程组，即可得解.
【解析】设
，
，
，则
，
，
，
由题意可知，
、
、
共面，设
，
即
，
6
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所以，
，解得
.
故答案为：
.
10．若
、
、
是空间中的三个向量，
，
，
，且
，则
的最小值为
．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求得
点的轨迹，结合圆的知识求得
的最小值.
【解析】设
，
，
，∴
，求
的最值，
、
、
、
在同一平面时，
有最值，
如图建系，不妨设
，
，
，
中点
，
可知
，
，
，
，由
可知
，
消参可得
，即
点轨迹为
，
点的轨迹是
为圆心，半径为
的圆.
所以
，即
．
故答案为：
7
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11．在正方体
中，点M 和N 分别是矩形ABCD 和
的中心，若点P 满足
，其中
，且
，则点P 可以是正方体表面上的点 .
【答案】
（或C 或
边上的任意一点）
【分析】因为点P 满足
，其中
，且
，所以点
三
点共面，只需要找到平面
与正方体表面的交线即可.
【解析】解：因为点P 满足
，其中
，且
，
所以点
三点共面，
因为点M 和N 分别是矩形ABCD 和
的中心，
所以
,
连接
，则
,所以
即为经过
三点的平面与正方体的截面，
8
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故点P 可以是正方体表面上的点
（或C 或
边上的任意一点）
故答案为：
（或C 或
边上的任意一点）
【点睛】此题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，属
于中档题.
12．如图,已知正方体
的棱长为4,点E、F 分别是线段
上的动点,点P 是上底面
内一动点,且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面
的距离,则当点P 运动时,PE 的最小值是
.
【答案】
【分析】通过题意可知当E,F 分别是AB,
上的中点，P 为正方形
中心时，PE 取最小值，利用
两点间距离计算即可求出.
【解析】如图建立空间直角坐标系：
9
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设
，
则
，
点P 到F 的距离等于点P 到平面
的距离，
，整理得P 点轨迹方程：
，
所以P 到平面
的距离
，
,
所以
，此时P 与F 共线垂直
,
又
当E,F 分别是AB,
上的中点，P 为正方形
中心时，PE 取最小值，
此时
，
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用空间向量求两点间的距离，及结合图形研究最值问题，属于难题.
二、单选题
13．已知
，若
三向量共面，则实数
等于（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】利用向量共面定理，设
，列出方程组，解出即可.
10
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【解析】因为
三向量共面，设
，
所以
，即
，解得
，
故选：C.
14．如图，在四面体
中，
，
，
.点
在
上，且
，
为
的中
点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.
【解析】由题意可知，
，
，
所以
.
故选：D.
15．如图，四个棱长为1 的正方体排成一个正四棱柱，
是一条侧棱，
是上底面上其余的
八个点，则集合
中的元素个数（ ）．
11
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A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】A
【分析】根据空间平面向量的运算性质，结合空间向量垂直的性质、空间向量数量积的运算性质进行求解
即可.
【解析】由图像可知，
，
则
．
因为棱长为1，
，所以
，
所以
，
故集合
中的元素个数为1．
故选：A.
16．如图，在正方体
中，E 为棱
的中点.动点P 沿着棱
从点D 向点C 移动，对于下
列四个结论中正确的个数是（ ）
（1）存在点P，使得
；
（2）存在点P，使得
平面
；
12
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（3）
的面积越来越小；
（4）四面体
的体积不变.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】设正方体棱长为
，求出
，由
解得
，确定（1）正确，考
虑到
到平面
的距离不变，从而易判断（4），以
为
轴建立空间直角坐标系，可证
明
不可能与
垂直，故（2）不正确；设
，
，由空间向量法求得
到
的距离，
由距离的变化规律判断（3）正确.
【解析】设正方体棱长为
，
由
平面
平面
得
，同理
，
所以
，
由
得
，存在
使得
，（1）正确，
正方体中，
平面
，所以
到平面
的距离不变，
即
到平面
的距离不变，而
面积不变，因此三棱锥
，即四面体
的体积不变，
（4）正确;
以
为
轴建立空间直角坐标系，如下图，
13
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正方体棱长为2，则
，
，
，所以
不可能与
垂直，故
平面
也不可能成立，故
（2）错误；
设
，
所以
设
到直线
的距离为
，则
由二次函数性质知
时，
递减，所以
递减，又
不变，
所以
的面积为
递减，（3）正确，
综上：（1）（3）（4）正确
故选：D.
【点睛】方法点睛：立体几何中存在性或探究性问题涉及到的点具有运动性和不确定性属于动态几何问题,
用纯几何的方法来解决对空间想像能力、作图能力和逻辑推理能力的要求很高，若用向量方法处理，尤其
是通过建立空间直角坐标系求解问题则思路简洁明了，本题中用向量法解决点
到直线
的距离问题避
免了抽象复杂找距离过程，而且将距离的变化情况转化为函数的单调性问题解决更简单明了.
14
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三、解答题
17．已知长方体
，
，
.
(1)求二面角
的大小；
(2)求直线
与平面
所成角的大小.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再求法向量的夹角表示二面角的大小；
（2）用直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值表示线面角的正弦值，进而表示线面角的大小.
【解析】（1）以D 为原点，
分别为x，y，z 轴建系如图，
15
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，
，
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，则
，即
取
，则
，
即
显然平面
的一个法向量为
则
所以二面角
的大小为
.
（2）
则
记直线
与平面
所成角为
则
所以
.
18．如图所示，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
是
的中
点．
16
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(1)求异面直线
与
所成的角的大小；
(2)若
为
的中点，求二面角
的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以点
为原点建立空间直角坐标系，利用公式
，即可求解；
（2）首先分别求平面
和平面
的法向量，再利用二面角的向量法，即可求解.
【解析】（1）
以点
为原点，以向量
分别为
轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设
，
A (0,0,0)，
，
，
，
17
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，
，
设异面直线
与
所成的角为
，
则
,所以
,
异面直线
与
所成的角为
；
（2）A (0,0,0)，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
，令
，则
，
，
所以平面
的法向量为
，
平面
的法向量为
，
设平面二面角
的平面角为
，由图可知
为锐角，
则
，
，
，
二面角
的正切值是
．
19．如图，在直三棱柱
中，
是以BC 为斜边的等腰直角三角形，
，D、E
分别为BC、
上的点，且
．
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(1)若
，求证：
∥平面
；
(2)若平面
与平面ACD 的夹角为
，求实数t 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）当
时可得点D、E 分别为BC、
的中点，连接DE，可证得四边形
是平行四
边形，则
，然后由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以
为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系
，利用空间向量求解即可.
【解析】（1）证明：当
时，
，
即点D、E 分别为BC、
的中点.
在直三棱柱
中，
，
，
所以四边形
为平行四边形，
如图，连接DE.
19
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则
，
，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以
.
又因为
平面
，
平面
，
所以
∥平面
.
（2）解：
平面ABC，又
，
以
为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系
.
则点A1(0,0,3)，
，
，A (0,0,0)，C1(0,3,3)，
所以
，
，
，
，
所以
.
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
.
20
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又平面ADC 的法向量为
，
因为平面
与平面ACD 的夹角为
，
所以
即
，得
，
解得
或
.
又因为
，所以
.
20．如图，点O 为正四棱锥
的底面中心，四边形
为矩形，且
，
.
(1)求正四棱锥
的体积；
(2)设E 为侧棱PA 上的点，且
，求直线BE 与平面PQC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接求棱锥的体积即可；
（2）以O 为原点，分别以
、
、
的方向为x、y 与z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平
面PQC 的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案.
【解析】（1）由已知可得
，
，
21
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故底面正方形ABCD 的边长
，所以正四棱锥
的
体积为
；
（2）以O 为原点，分别以
、
、
的方向为x、y 与z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
易得
、
、
、
、
.
设平面PQC 的一个法向量为
，
则
，所以
.
又
，
，
即
，解得
，
可取
，依题意可得
，
设
，则
，则有
，
故
，故
，从而
，
设直线BE 和平面PQC 所成角为
，
则
，
因为
，所以
，
22
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故直线BE 和平面PQC 所成角的大小为
.
21．如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
为棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
.
（ⅰ）求平面
与平面
夹角的余弦值；
（ⅱ）在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离是
？若存在，求出
的值；若不存
在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）存在，
【分析】（1）取
中点
，可证四边形
是平行四边形，可得
，从而得证；
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点
到平面
的距离为
，利用
23
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点到面的距离公式法求解即可.
【解析】（1）取PD 的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M 为棱PC 的中点，
∴
，∵
，∴
，
∴四边形ABMN 是平行四边形，∴
，
又
平面PAD，
平面PAD，∴
平面PAD．
（2）∵
，∴
，∴
，
∵平面
平面ABCD，平面
平面
，
平面PDC，
∴
平面ABCD，
又AD，
平面ABCD，∴
，而
，
，
∴以点D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
如图：则
，
∵M 为棱PC 的中点，
∴
（i）
，
设平面BDM 的一个法向量为⃗n=(x , y , z)，
则
，令
，则
，∴
，
24
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平面PDM 的一个法向量为
，
∴
，
所以平面
面
夹角的余弦值为
.
（ii）假设在线段PA 上存在点Q，使得点Q 到平面BDM 的距离是
，
设
，
则
，
由（2）知平面BDM 的一个法向量为
，
，
∴点Q 到平面BDM 的距离是
，
∴
，∴
．
25
