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专题13 空间向量与立体几何（考点练+模拟练）
一、填空题
1．（23-24 高三上·上海·期中）已知向量
，
，若
，则
的值为 ．
2．（2023·上海松江·二模）已知空间向量
，
，
，若
，则
．
3．（21-22 高二上·上海黄浦·期末）已知向量
是直线l 的一个方向向量，向量
是
平面
的一个法向量，若直线
平面
，则实数m 的值为 ．
4．（23-24 高三上·上海杨浦·期中）在棱长为1 的正方体
中，平行平面
与
间的
距离为 .
5．（22-23 高二上·上海浦东新·期末）已知空间向量
，则下列说法正确的
有 个
①
；②
；③若
，则
；④与
方向相同的单位向量为
.
6．（2023·上海嘉定·一模）正四棱台
是
的中点，在直线
上各取一个点P、Q，使得M、P、Q 三点共线，则线段
的长度为 ．
7．（23-24 高三上·上海松江·期末）已知正四面体
的棱长为
，空间内任意点
满足
，则
的取值范围是 ．
8．（23-24 高三上·上海静安·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是矩形，
1
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，
，
是
上的点，直线
与平面
所成的角是
，则
的长为
.
9．（2023·上海普陀·一模）体积为
的正四面体内有一个球
，球
与该正四面体的各面均有且只有
一个公共点，
，
是球
的表面上的两动点，点
在该正四面体的表面上运动，当
最大时，
的最大值是 .
10．（2023·上海浦东新·模拟预测）已知
，对任意
都有
，则实数
的最小值为 .
11．（23-24 高三上·上海宝山·期中）已知
、
、
为空间中三个单位向量，且
、
、
与
夹角为
，点P 为空间一点，满足
且
，则
最大值
为 ．
12．（2024·上海·晋元高级中学秋季模拟）现要将一边长为101 的正方体
，分割成两部分，
要求如下：（1）分割截面交正方体各棱
，
，
，
于点P，Q，R，S（可与顶点重合）；
（2）线段
，
，
，
的长度均为非负整数，且线段
，
，
，
的每一组取值对应一种
分割方式，则有 种不同的分割方式.（用数字作答）
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二、单选题
13．（23-24 高三下·上海浦东新·阶段练习）空间向量
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2022·上海·模拟预测）如图，点
､
､
分别在空间直角坐标系
的三条坐标轴上，
，
，
，设二面角
的大小为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（23-24 高三下·上海浦东新·开学考试）如图，三棱柱
满足棱长都相等，且
平面
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，
是棱
的中点，
是棱
上的动点，设
，随着
增大，平面
与底面
所成钝
二面角的平面角是（ ）
A．减小
B．先减小再增大
C．先增大再减小
D．增大
16．（2024·上海·高考真题）定义一个集合
，集合中的元素是空间内的点集，任取
，存在不
全为0 的实数
，使得
．已知
，则
的充分条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（23-24 高三下·上海黄浦·开学考试）如图，已知正方体
的棱长为1，点M 为棱AB 的
中点，点P 在侧面
及其边界上运动，则下列选项中不正确的是（ ）
A．存在点P 满足
B．存在点P 满足
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C．满足
的点P 的轨迹长度为
D．满足
的点P 的轨迹长度为
三、解答题
18．（23-24 高三上·上海黄浦·开学考试）如图，四棱锥
中，底面ABCD 为矩形，
底面
ABCD，
，
，E、F 分别为棱PD、PA 的中点．
(1)求证：
平面PBC；
(2)求异面直线PB 与AE 所成的角．
19．（22-23 高三下·上海·阶段练习）已知四棱锥
的底面ABCD 为矩形，
底面ABCD，且
，设E、F、G 分别为PC、BC、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图．
(1)求证：
平面PBD；
(2)求直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值．
20．（23-24 高二下·上海黄浦·期中）四棱锥
中，
平面
，底面
是正方形，
，点
是棱
上一点．
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(1)求证: 平面
平面
；
(2)当
为
中点时， 求二面角
的正弦值．
21．（23-24 高三上·上海杨浦·开学考试）如图，在四棱锥
中，
为直角梯形，
，
，平面
平面
．
是以
为斜边的等腰直角三角形，
为
上一点，且
．
(1)证明：直线
平面
；
(2)求二面角
的大小．
22．（23-24 高三上·上海嘉定·期中）如图，在正四棱柱
中，
，
，点
、
、
、
分别在棱
、
、
、
上，
，
，
．
(1)求证：
；
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(2)求三棱锥
的体积；
(3)点
在棱
上，当二面角
大小为
时，求线段
的长．
23．（23-24 高二上·上海·期末）已知正方体
的棱长为1，P 是对角面
（包含边
界）内一点，且
.
(1)求
的长度；
(2)是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出点
的位置；若不存在，说明理由；
(3)过点
作平面
与直线
垂直，求平面
与平面
所成锐二面角的最小值，并求此时平面
截正
方体
所得截面图形的周长.
一、填空题
1．（2024·上海·三模）已知空间向量
，
，
共面，则实数
2．（2024·上海·三模）已知点C 在以AB 为直径的球面上，若
，则
．
3．（2024·上海黄浦·二模）在四面体
中，
，
，
，设
四面体
与四面体
的体积分别为
、
，则
的值为 .
4．（2023·上海长宁·一模）若
，则三棱锥O—ABC 的体积为
.
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5．（2023·上海奉贤·一模）已知正方体
的棱长为1，
，则
的最大值是 ．
6．（2023·上海普陀·一模）体积为
的正四面体内有一个球
，球
与该正四面体的各面均有且只有
一个公共点，
，
是球
的表面上的两动点，点
在该正四面体的表面上运动，当
最大时，
的最大值是 .
二、单选题
7．（2022·上海嘉定·模拟预测）在正方体
中，
、
分别是线段
、
上的动点，且
直线
与
所成的角为
，则下列直线中与
所成的角必为
的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．（2024·上海·模拟预测）设
是空间中给定的
个不同的点，则使
成立的点
的
个数为（ ）
A．1
B．
C．无穷多个
D．前面的说法都有可能
9．（2023·上海宝山·二模）在空间直角坐标系
中,已知定点
,
和动点
.若
的面积为,以
为顶点的锥体的体积为
,则
的最大值为( )
A．
B．
C．
D．
10．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知梯形
如图（1）所示，其中
，
为线段
的
中点，四边形
为正方形，现沿
进行折叠，使得平面
平面
，得到如图（2）所示的
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几何体．已知当
上一点
满足
时，平面
平面
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解答题
11．（2024·上海徐汇·二模）如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面圆的圆心，
为圆
的直径，且
，
是底面圆
的内接正三角形，
为线段
上一点，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
12．（2024·上海·三模）如图，在三棱锥
中，
，
，点O 是
AC 的中点．
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(1)证明：
平面ABC；
(2)点M 在棱BC 上，且
，求二面角
的大小．
13．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体
是由一个正四棱锥
与一个三棱锥
拼接而成，正四棱锥
的所有棱长均为
，且
．
(1)在棱
上找一点
，使得平面
平面
，并给出证明；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
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