培优冲刺05导数压轴大题（原卷版）_数学_二轮复习_2024年_2024年高考数学第三次模拟资源精选_资料_模块三查漏补缺

培优冲刺 05 导数压轴大题归类
目录
题型一：不等式证明：三角形不等式················································································································ 1
题型二：三角函数型数列不等式证明 ··················································································································2
题型三：混合型极值点偏移证明························································································································· 3
题型四：三个零点型偏移证明····························································································································· 3
题型五：非对称型偏移证明不等式···················································································································· 4
题型六：比大小型证明不等式 ································································································································4
题型七：三角函数型比大小证明不等式············································································································ 5
题型八：恒成立型求参············································································································································ 6
题型九：构造新函数求参 ··········································································································································6
题型十：借助三角函数构造证明不等式············································································································ 7
题型十一：帕德逼近型证明与求参 ·······················································································································8
题型十二：泰勒展开型证明与求参····················································································································· 9
题型十三：新结构19题：导数与数列············································································································ 11
题型十四：新结构19题：高观下导数新定义···································································································12
题型十五：新结构19题：导数与集合············································································································ 13
题型十六：新结构19题：函数性质定义型········································································································14
题型一：不等式证明：三角形不等式
利用导数证明具有正余弦型的三角函数型不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）借助正余弦函数的有界性，可以适当的放缩，转化为较容易的函数不等形式来证明
1．（2024·湖南·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2) 时；
（ⅰ）若 ，求 的取值范围；
（ⅱ）证明： ．
2．（2024·山西朔州·一模）已知函数 为 的导函数．
(1)若函数 在 处的切线的斜率为2，求 的值；
(2)求证： ．3．（2024·全国·模拟预测）设函数 ．
(1)讨论 的零点个数；
(2)若 ，求证： ．
题型二：三角函数型数列不等式证明
利用导数证明不等式有如下方法，
方法一，等价转化是证明不等式的常见方法，其中利用函数的对称性，构造对称差函数是解决极值点偏移
问题的基本处理策略；
方法二，比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不
等式即可，
方法三，利用不等式 的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立.
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数 ．
(1)判断函数 的单调性
(2)证明：①当 时， ；
② .
2．（2024·天津·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若在 的图象上有一点列 ，若直线
的斜率为 ，
（ⅰ）求证： ；
（ⅱ）求证： ．
3．（2024·全国·模拟预测）已知当 时， ， ， .
(1)证明： ；
(2)已知 ，证明： （ 可近似于3.14）.
题型三：混合型极值点偏移证明极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数 存在两个零点 且 ，求证： （ 为函数 的极值点）；
2.若函数 中存在 且 满足 ，求证： （ 为函数 的极值点）；
3.若函数 存在两个零点 且 ，令 ，求证： ；
4.若函数 中存在 且 满足 ，令 ，求证： .
1．（2023·陕西安康·二模）已知函数 ， （e为自然对数的底数）
(1)当 时，恰好存在一条过原点的直线与 ， 都相切，求b的值；
(2)若 ，方程 有两个根 ，（ ），求证： ．
2．（2023·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： .
3．（2021·陕西宝鸡·模拟预测）已知 ．
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，若关于x的方程 存在两个正实数根 ，证明： 且
．
题型四：三个零点型偏移证明
极值点偏移问题，解题关键为将双变量消元为单变量，常构造差函数或以两变量之差，之商构造函数以达
到消元目的.
对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系 ；
通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数，
利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立.
1．（2022·安徽淮南·二模）已知函数 ．
(1)若 ，证明：x(1,0)时， f(x)1；
(2)若函数 f(x)恰有三个零点x,x ,x ，证明：x x x 1．
1 2 3 1 2 3
2．（2022·河南·模拟预测）已知函数 f xe2x2e1ex2ex．(1)若函数gx f xa有三个零点，求a的取值范围．
(2)若 f x  f x  f x x x x ，证明：x x 0．
1 2 3 1 2 3 1 2
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 f xex ax2(a0)．
e2
(1)当a 时，判断
f
x在区间1,内的单调性；
4
(2)若 f x 有三个零点x,x ,x ，且x x x ．
1 2 3 1 2 3
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x x x 3.
1 2 3
题型五：非对称型偏移证明不等式
1．（22-23高三上·河南·）已知函数 f(x)lnxx(x3).
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)若存在x,x ,x (0,)，且x x x ，使得 f(x ) f(x ) f(x )，求证：2x x x .
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2．（2022·全国·模拟预测）设函数 f xlnxaxaR .
(1)若a3，求函数 f x 的最值；
(2)若函数gxxf xxa有两个不同的极值点，记作x,x
，且x x ，求证：lnx 2lnx 3.
1 2 1 2 1 2
a
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x1lnx aR ．
x
(1)求 f x 的单调区间；
(2)若 f x 有两个零点x，x，且x x ，求证：xx2 ea．
1 2 1 2 1 2
题型六：比大小型证明不等式
1 1
1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数 f xlnx,gx x .
2 x
(1)证明：当x1时， f x gx ；
(2)设a,b为正实数且a� b.
（i）若ab ba，证明： ab e；
（ii）若ab1，证明：abba  a b aa bb.2．（2022·河南·三模）已知函数 f xlnx1 ，gxex1.
(1)判断函数hx f xgx 的零点个数；
(2)比较ln  e2ln2  ，2 f ln2，g  e2ln21  的大小，并说明理由.
3．（23-24高三上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数 f xlnx, fx 是函数 f x 的导函数.
(1)求函数gx f xafxaR 的单调区问；
ba
ba
(2)设 ，试比较 与 的大小，并说明理由；
f b f a
ba0 2
题型七：三角函数型比大小证明不等式
1．（22-23高三天津南开·阶段练习）已知函数 f xexksinx.
 π
(1)当
k 1
，x

0,
2


时，求
f
x的单调区间；
 π
(2)若 f x在区间  0, 2   内存在极值点  .
①求实数k的取值范围；
②求证： f x 在区间 0,π 内存在唯一的，使 f 1，并比较与2的大小，说明理由.
x2 x2
2．（23-24高三·福建南平·）已知函数 f xln1x ,gxcosx .
2 2
(1)当x0, 时，比较 f x 与x的大小；
 a
(2)若 f e21gb(a0,b0)，比较 f  b2 1 与 ga1 的大小.
 
3．（22-23高三·北京大兴·）已知函数 f(x)exsinx．
(1)求曲线y f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)设g(x)xf(x) f(x)，讨论函数g(x)在区间(0,)上的单调性；
1 1
(3)对任意的 ，且 ，判断sf( )与tf( )的大小关系，并证明结论．
s，t(1,) st s t
题型八：恒成立型求参
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的
新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩
法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1．（2024·北京顺义·二模）设函数 f xex acosx，aR.曲线y f x 在点 0, f 0 处的切线方程为
yx2.
(1)求a的值；
(2)求证：方程 f x2仅有一个实根；
(3)对任意x0, ，有 f xksinx2，求正数k的取值范围.
2．（23-24高三·上海·）已知函数 f xex2ex a.
(1)若直线y=x+3是曲线y f x 的切线，求实数a的值；
(2)若 f xx2x1对任意实数x恒成立，求a的取值范围；
(3)若ex1 ex2 3，且 f x
1
 f x
2
3x
1
x
2
k ，求实数k的最大值.
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数
9 π π π
f(x)tanxsinx x， x ,g(x)sinnxxncosx,x(0, ),nN ．
2 2 2 2 
(1)求函数 f(x)的极值；
(2)若g(x)0恒成立，求n的最大值．
题型九：构造新函数求参
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 f xgx （或 f xgx ）转化为证明 f xgx0（或
f xgx0），进而构造辅助函数hx f xgx ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
1
1．（2024·辽宁·一模）已知函数 f xaex .
x
(1)讨论 f x 的零点个数;
(2)当a0时，| f x|1lnx，求a的取值范围.1lnx
2．（23-24高三·江西宜春模拟）已知函数 f(x)x2 a有两个零点 x,x x x ．
x 1 2 1 2
(1)求实数a的取值范围；
 1 
(2)求证： fx  f  ；
1 x 
2
(3)求证：x x  a24  x2x2．
2 1 2 1
3．（2024·山东临沂·一模）已知函数 f xx2lnxa,aR.
(1)若a1，求曲线y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)讨论 f x 的单调性；
1
(3)若存在 x,x 0,，且 x x ，使得 f x  f x ，求证： xx
e2a1
.
1 2 1 2 1 2 1 2
题型十：借助三角函数构造证明不等式
三角函数的放缩
（1） 的放缩：当 时， ；当 时， .
（2） 的放缩：当 时， .
1．（2024·广东湛江·二模）已知函数 f xexxlnx.
(1)求曲线y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)若a0，b0，且a2b2 1，证明： f a f be1.
2．（2024·山西吕梁·一模）已知函数 f xexcosx．
(1)求 f x在 π, f π 处的切线方程；
1
(2)若 f xax ax2对任意 恒成立，求正实数 的取值集合．
2 xR a3．（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）设函数 f xcosx1ax2x0 .
(1)若 f x 最小值为0，求a的范围；
(2)在（1）的条件下，令 gxsinx,gx 的图象上有一点列A i

 2
1
i ,g

 2
1
i

 

 

i1,2, 
,n,nN*
，若直线
7
A i A i1 的斜率为k i i1,2,  ,n1，证明：k 1 k 2   k n1 n 6 .
题型十一：帕德逼近型证明与求参
帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数 f(x)在x0处的[m,n]阶帕德近似定义为：
a ax a xm
R(x) 0 1  m ，
1bx b xn
1  n
且满足： f(0)R(0)， f(0)R(0)， f(0)R(0)，…， f(mn)(0)R(mn)(0)．（注： f(x)f(x)，
f(x)f(x)， f(4)(x)f(x)， f(5)(x)

f(4)(x)

 ，…； f(n)(x)为 f(n1)(x)的导数）
1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）帕德近似（Pade approximation）是有理函数逼近的一种方法.已知函
cbx
数hxlnx1在
处的1,1阶帕德近似定义为：Gx
，且满足：h0G0，
x0 1dx
h0G0 ，h0G0 ，….又函数 f xalnxbex2a0 ，其中e2.71828 .

(1)求实数b，c，d的值；
(2)若函数 f x 的图象与x轴交于 x
1
,0 ， x
2
,0 两点，x
1
x
2
，且ax
1
mx
1
x
2
x
2
2恒成立，求实数m的取值
范围.
2．（2024·山东菏泽·一模）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．
a ax a xm
给定两个正整数m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为：R(x) 0 1  m ，且满
f(x) x0 [m,n] 1b 1 x  b n xn
足： f(0)R(0)， f(0)R(0)， f(0)R(0)，…， f(mn)(0)R(mn)(0)．（注： f(x)f(x)，
f(x)f(x)， f(4)(x)f(x)， f(5)(x)

f(4)(x)

 ，…； f(n)(x)为 f(n1)(x)的导数）已知
ax
f(x)ln(x1)
在
x0
处的1,1阶帕德近似为R(x)
1bx
．
(1)求实数a，b的值；(2)比较 f x 与R(x)的大小；
f(x) 1 
(3)若h(x)  m f(x)在 上存在极值，求 的取值范围．
R(x) 2  (0,) m
3．（22-23高三·山东济南·）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．
a ax a xm
给定两个正整数 ， ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为：R(x) 0 1  m ，且满
m n f(x) x0 [m,n] 1b 1 x  b n xn
足： f(0)R(0)， f(0)R(0)， f(0)R(0) ， f(mn)(0)R(mn)(0)．已知 f(x)ln(x1)在x0处的
ax
阶帕德近似为R(x) ．注：
[1,1] 1bx
f(x)f(x) , f(x)f(x) , f(4)(x)f(x) , f(5)(x)f(4)(x)  ,
  
(1)求实数a，b的值；
1
(2)求证：(xb)f  1；
x
1
 1 x  1 x 2
(3)求不等式 1  e1  的解集，其中 ．
 x  x e2.71828

题型十二：泰勒展开型证明与求参
常见泰勒展开
x2 xn ex
ex 1x     xn1 ；
2! n! (n1)!
x2 x3 xn1
ln(1x) x   (1)n o(xn1)；

2 3 n1
截取片段：ex  x1(xR)
ln(1x) x(x1)，当且仅当x0时,等号成立；
进而：lnx x1(x0)当且仅当x1时,等号成立
3、关于 lnx 的放缩
1
①切线放缩及其变形：1 lnx x1；
x
2(x1) 1 1 1 1 2(x1)
②当 时， lnx (x )；当 时， (x )lnx ；
x1 x1 2 x 0 x1 2 x x1
3(x2 1) 3(x2 1)
③当 时，lnx ；当 时，lnx ；
x1 x2 4x1 0 x1 x2 4x1lnalnb ab
④对数平均不等式： ab   .
ab 2
1．（2023·湖南永州·三模）已知函数 f xxexlna，gxsinx.
(1)若x0是函数hx f xagx 的极小值点，讨论hx 在区间,π上的零点个数.
(2)英国数学家泰勒发现了如下公式：
 1n x2n x2 x4 x6 1nx2n
cosx 1      nN*
2n! 2! 4! 6! 2n!
n0
这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.
gx  x x x  x  x  x   x  x 
现已知 1 1 1 1 1 1 1 1 ，
x  π π 2π 2π 3π 3π  nπ nπ
 1

利用上述知识，试求 的值.
n2
n1
x3 x5 x7
2．（21-22高三·福建福州）英国数学家泰勒发现了如下公式：sinxx    ，其中

3! 5! 7!
 π
，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当x0, 时，
n!1234L n  2
x3 x3 x5
sinxx,sinxx ，sinxx  , .

3! 3! 5!
 π sinx 1
(1)证明：当x0, 时，  ；
 2 x 2
(2)设 f xmsinx，若区间 a,b 满足当 f x 定义域为 a,b 时，值域也为 a,b ，则称为 f x 的“和谐区
间”.
（i）m1时， f x 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 f x 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）m2时， f x 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 f x 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理
由.
3．（20-21高二下·江苏苏州·阶段练习）给出以下三个材料：①若函数 f x 可导，我们通常把导函数
fx 的导数叫做 f x 的二阶导数，记作 fx ．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作 fx ，
三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，n1阶导数的导数叫做n阶导数，记作

fnx  fn1x  ,n4．②若 nN ，定义n!nn1n2321．③若函数 f x在包含
x 的某个开区间
a,b 上具有n阶的导数，那么对于任一xa,b
有
0fx  fx  fx  fnx 
gx f x
0

1!
0 xx
0

2!
0 xx
0
2
3!
0 xx
0
3
n!
0 xx
0
n，我们将 gx称为
函数 f x 在点xx 处的n阶泰勒展开式．例如，yex在点x0处的n阶泰勒展开式为
0
1 1
1x x2 xn．
2 n!
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出 f
1
xsinx在点x0处的3阶泰勒展开式g
1
x ，并直接写出 f
2
xcosx在点x0处的3阶泰
勒展开式g x ；
2
（2）比较（1）中 f x 与g x 的大小．
1 1
（3）已知yex不小于其在点x0处的3阶泰勒展开式，证明：exsinxcosx22x．
题型十三：新结构19题：导数与数列
1．（2024·四川成都·三模）已知函数 f xlnx，若数列 a  的各项由以下算法得到：
n
①任取a a（其中a0），并令正整数i1；
i
②求函数 f x图象在 a, f a  处的切线在y轴上的截距a ；
i i i1
③判断a 0是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
i1
④令ii1，返回第②步；
⑤结束算法，确定数列
a 
的项依次为a ,a ,,a ．
n 1 2 i1
根据以上信息回答下列问题：
(1)求证：a lna 1；
i1 i
(2)是否存在实数a使得
a
n

为等差数列，若存在，求出数列
a
n

的项数n；若不存在，请说明理由．参考
1
数据： ee2 +1 3.11 ．
m
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数 ，g(x)lnx (mR)．
f(x)lnxaxa2(aR)
x
(1)当m1时，求函数yg(x)的最小值；
(2)是否存在0x x x ，且x,x ,x 依次成等比数列，使得gx  ，gx  ，gx  依次成等差数列？请
1 2 3 1 2 3 1 2 3
证明；
2
(3)当 时，函数 有两个零点 ，是否存在x x a 1的关系？若存在，请证明；若不存在，
a1 f(x) x,x 1 2 a
1 2
请写出正确的关系．
3．（2024·四川成都·三模）已知函数 f xlnx，若数列 a  的各项由以下算法得到：
n
①任取a a（其中a0），并令正整数i1；
i
②求函数 f x图象在 a, f a  处的切线在y轴上的截距a ；
i i i1
③判断a 0是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
i1④令ii1，返回第②步；
⑤结束算法，确定数列
a 
的项依次为a ,a ,,a ．
n 1 2 i1
根据以上信息回答下列问题：
(1)求证：a lna 1；
i1 i
(2)是否存在实数ak,k1kN
使得
a
n

为等差数列，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
1
参考数据： ee2 1 3.11 ．
题型十四：新结构19题：高观下导数新定义
对新定义的题型要注意一下几点：
（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点
（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件
（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.
1．（2024·湖南·模拟预测）超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph Liouville）最早证
明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：a n xna n1 xn1  a 1 xa 0 0（a 0 ，
a ，…，a Z，a 0）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率π是超越数．回答下列问题：
1 n n
已知函数 f
n
xexb
n
xn （nN*）只有一个正零点．
(1)求数列
b 
的通项公式；
n
(2)（ⅰ）构造整系数方程a xna 0，证明：若mN，则em为有理数当且仅当m0．
n 0
（ⅱ）数列
b 
中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．
n
2．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨
x x

c(ec e c) exex
等得出“悬链线”方程 y ，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数 chx ，悬链线
2 c c1 2
的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：
(sinx)cosx,
；②两角和公式： ，③导数： 定义双曲
sin2 xcos2x1 cosxycosxcosysinxsiny (cosx)sinx,
exex
正弦函数shx ．
2
(1)直接写出shx ，chx
具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当x0时，双曲正弦函数ysh(x)的图像总在直线ykx的上方，求直线斜率k的取值范围；
5
(3)无穷数列a n 满足 a 1 a ， a n1 2a n 2 1 ，是否存在实数 a ，使得a 2024  4 ？若存在，求出 a 的值，若不
存在，说明理由.
3．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么
项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数exex exex
chx 的图象，定义双曲正弦函数shx ，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双
2 2
曲余弦函数有如下性质①平方关系：ch2xsh2x1，②倍元关系：sh2x2shxchx
.
(1)求曲线chx
在 处的切线斜率；
x2
(2)若对任意x0，都有
xa1shxchx2sinx2xacosx恒成立，求实数a的取值范围：
(3)（i）证明：当x0时，shxx；
2 2
（ii）证明：
sh2

sh1

sh 3  
 
sh n  
2n
4n  nN*
.

tan1 1 1 1 2n1
tan tan tan
2 3 n
题型十五：新结构19题：导数与集合
导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
1．（2024·福建·模拟预测）对于函数 f(x)，若实数x 满足 f(x )x ，则称x 为 f(x)的不动点.已知a0，
0 0 0 0
1
且 f(x) lnxax21a的不动点的集合为 .以 和 分别表示集合 中的最小元素和最大元
2 A minM maxM M
素.
(1)若a0，求A的元素个数及maxA；
(2)当A恰有一个元素时，a的取值集合记为B.
（i）求B；
f(a )  n 4
（ii）若 ，数列 满足 ，a  n ，集合C   a 1, ， .求证： ，
aminB {a n } a 1 2 n1 a n n  k1 k 3 nN* nN*
4
maxC  .
n 3
2．（2023·浙江温州·二模）定义：对于函数 f x ，若 f x x ，则称x 为 f x 的“不动点”，若
0 0 0
f   f x 0   x 0 ，则称x 0 为 f x的“稳定点”.函数 f x的“不动点”和“稳定点”集合分别记为 A 和 B ，即
A  x∣f xx  ,B  x∣f   f x  x  .
(1)证明下面两个性质：
性质1：AB；
性质2：若函数 f x 单调递增，则AB；
(2)已知函数 f xeax,x0，若集合B  x∣f   f x  x  中恰有1个元素，求 a 的取值范围.
3．（2023·吉林长春·模拟预测）定义：对于函数 f(x)，若 f x
0
x
0
，则称x
0
为 f(x)的“不动点”，若f   f x 0   x 0 ，则称x 0 为 f(x)的“稳定点”．函数 f(x)的“不动点”和“稳定点”集合分别记为A和B，即
A{x∣f(x) x},B{x∣f[f(x)] x}，有如下性质：
性质1：AB；
性质2：若函数 f(x)单调递增，则AB，
已知函数 f(x)eax,x0,a0，
(1)讨论集合Ax f(x)x
中元素个数：
(2)若集合Bx f[f(x)]x
中恰有1个元素，求a的取值范围.
题型十六：新结构19题：函数性质定义型
f x  f x 
1．（2024·上海虹口·二模）若函数 满足：对任意 ，都有 1 2 0，
y f x x,x R,x x 0 x x
1 2 1 2 1 2
则称函数y f x 具有性质 .
P
(1)设 f xex ，gxx3x，分别判断y f x 与ygx 是否具有性质 ？并说明理由；
P
(2)设 f xxasin2x函数y f x 具有性质
P
，求实数a的取值范围；
(3)已知函数y f x 具有性质 ，且图像是一条连续曲线，若y f x 在 上是严格增函数，求证：
P R
y f x 是奇函数.
2．（2023·上海闵行·二模）已知关于的x函数y f x ，ygx 与yhx 在区间上恒有
f xhxgx ，则称hx 满足 f g性质.
★
11
(1)若 f x
2
x，gx2 6x， hx2x23 ， D1,2，判断 hx是否满足
f ★ g
性质，并说明理由；
(2)若 f xex ，hxkx1，且 f xhx ，求k的值并说明理由；
lnx1
(3)若
f
xex，gx
x
1， hxkxbk,bR，D0,，试证：
bk1
是 hx满足
f ★ g
性质的必要条件.
3．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知a为实数， f xxalnx1 ．对于给定的一组有序实数
k,m，若对任意x
1
，x
2
1, ，都有

kx
1
 f x
1
m



kx
2
 f x
2
m

0，则称k,m为 f x的“正
向数组”．
(1)若a2，判断 0,0 是否为 f x 的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若 k,m 为 f x 的“正向数组”，则对任意x1，都有kx f xm0；
(3)已知对任意x
0
1， fx
0
, f x
0
x
0
fx
0
 都是 f x的“正向数组”，求a的取值范围．