专项05 导数及其应用
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026 年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，函数中导数的应用是高考解答题必考题目，通常作为压轴题的形式出现,考查的
内容主要还是以含参为主;小题则重点考查三次函数的性质、导数的几何意义及利用导数比较大小等考
点，分值约20-32 分．
命题趋势：
解答题：稳定考查导数与函数的综合应用（常为第18 至19 题），核心是利用分类讨论、转化与化归、
构造函数等策略解决导数的综合应用问题．
2026 年预测：解答题极可能仍会以含参形式的出现，热门考向为利用导数研究不等式恒成立、证明不等
式及研究函数的零点．
备考核心：夯实导数基础题型，掌握分类讨论、构造函数法，专攻极值最值与零点问题，限时训练规范
步骤，总结易错点，真题限时演练提升速度．
题型01 利用导数解决不等式恒（能）成立问题
析典例·建模型
1．（2026·山东滨州·一模）已知函数
2
1 ex
f x
x
=
-
．
(1)证明：在曲线
y
f x
=
的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线
3
y
x
=
的斜率相等；
(2)当
1
x… 时，不等式
2
f x
kx -
…
恒成立，求实数k 的取值范围．
2．（25-26 高三下·重庆·月考）已知
3
2
2
f x
x
ax
= -
+
，其中
0
a >
．
(1)若
2
a =
，求函数
y
f x
=
在点
1,0 处的切线方程；
(2)对任意的
1
3,
x
¥
Î
+
，总存在
2
2,
x Î
+¥ ，使得
1
2
2
f x
f x
×
=
，求a 的取值范围．
研考点·通技法
对于含有参数的不等式来说，要求参数的取值及取值范围.一般采用参编分离的思想，将参数移到一
边，从而重新构造函数，求出函数的单调性，从而求出参数的取值范围.对于含有两个参数的，一般是
将两个参数转换成一个参数处理.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进
行求解：
（1）
x
D
" Î
，
min
m
f
x
m
f
x
£
Û
£
；
（2）
x
D
" Î
，
max
m
f
x
m
f
x
³
Û
³
；
（3）x
D
$ Î
，
max
m
f
x
m
f
x
£
Û
£
；
（4）x
D
$ Î
，
min
m
f
x
m
f
x
³
Û
³
.
破类题·提能力
1．（2026·河北张家口·一模）已知函数
ex
f x =
，
ln
1
g x
x
=
-
．
(1)求曲线
g x 在点
2,
2
g
处的切线方程；
(2)证明：
3
f x
g x
>
+ ；
(3)若
0
a >
，关于x 的不等式
ln
1
af x
a
g x
+
<
- 有解，求实数a 的取值范围．
2．（2026·云南·模拟预测）已知函数
2
sin
f x
ax
x
x
=
-
+
．
(1)当
0
a =
时，证明：
f x 在R 上存在唯一零点；
(2)证明：
0
f x ³
在
0, ¥
+
上恒成立的充要条件是
1
π
a ³
．
题型02 利用导数证明不等式
析典例·建模型
1．（2026·江苏·一模）已知函数
2
2
3
ln
0
=
-
>
f x
a x
ax x
a
，
．
(1)当
1
a = 时，求曲线
y
f x
=
在
1,
1
f
处的切线方程；
(2)讨论
f x 的零点个数；
(3)当
3
2
a >
时，证明：
2sin
>
f x
x．
2．（2026·广东深圳·一模）已知函数
( )
ln
1
4
f x
x
a x
=
-
+ +
.
(1)当
3
a =
时，求
( )
f x 的单调区间；
(2)若
( )
f x 有两个零点.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明：
2
2
( )
1 1
f x
a
<
+ - .
研考点·通技法
利用导数证明不等式，核心是构造函数 + 单调性 + 最值.先移项构造新函数，求导判断其单调性，找
到区间内的最值，证其恒正或恒负.
复杂不等式可拆分证明、适当放缩，或利用常见不等式（如lnx≤x−1）间接推导；含参不等式要结合分
类讨论，通过单调性确定参数范围，转化为最值问题求解.
注重步骤规范，先构造再求导、定号、得单调性、证最值，逻辑清晰即可得分.
破类题·提能力
1．（2026·河北保定·一模）已知函数
3
sin
sin
,
.
f x
x
a
x a
=
-
ÎR
(1)当
1
3
a =
时，求
f x 的极值.
(2)已知
0
a =
.
（i）证明:
0,1
2
tan
x
f x
x
x
" Î
>
-
，
；
（ii）若
2
f x
x
tx
³
-
在
0, + ¥ 上恒成立，求实数t 的取值范围.
2．（25-26 高三下·安徽·开学考试）已知
,
R,
ln ,
ex
a k
f x
x
x g x
x
a
Î
=
=
+
，直线y
k
=
与曲线
y
f x
=
和
y
g x
=
都相切．
(1)求,a k 的值；
(2)若
1
2
3
4
f
x
f
x
g x
g x
b
=
=
=
=
，其中
1
2
3
4
,
x
x
x
x
¹
¹
．
（i）求实数b 的取值范围；
（ii）求证：
1
2
3
4
1
1
1
1
x
x
x
x
-
>
-
．
题型03 极值点偏移问题
析典例·建模型
1．（2026 陕西西安·模拟预测）已知函数
1
ln
2
m
f x
x
x
m
x
=
-
+
ÎR ，记
2
F x
f x
x
=
+
．
(1)讨论函数
F x 的单调性；
(2)已知
0
m >
，对任意
0
x >
，存在
0
a >
，使得
m
f a
F x
a -
£
，求实数m 的取值范围；
(3)已知
1
2
0
x
x
<
<
，且
1
2
F x
F x
=
，求证：
2
1
2
x x
m
>
．
2．（25-26 高三上·陕西榆林·期末）已知函数
e
1
x
f x
a
x
=
-
- .
(1)当
1
a = 时，求
f x 的最小值；
(2)已知函数
f x 有两个零点
1
x ，
2x ，且
1
2
x
x
<
.
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）证明：
1
2
1
2ln
x
x
a
+
<
.
研考点·通技法
极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数
( )
f x 存在两个零点
1
2
,
x x 且
1
2
x
x
¹
，求证：
1
2
0
2
x
x
x
+
>
（
0x 为函数
( )
f x 的极值点）；
2.若函数
( )
f x 中存在
1
2
,
x x 且
1
2
x
x
¹
满足
2
(
)
(
)
1
f x
f x
=
，求证：
1
2
0
2
x
x
x
+
>
（
0x 为函数
( )
f x 的极值
点）；
3.若函数
( )
f x 存在两个零点
1
2
,
x x 且
1
2
x
x
¹
，令
1
2
0
2
x
x
x
+
=
，求证：
0
0
f
x
¢
>
；
4.若函数
( )
f x 中存在
1
2
,
x x 且
1
2
x
x
¹
满足
2
(
)
(
)
1
f x
f x
=
，令
1
2
0
2
x
x
x
+
=
，求证：
0
0
f
x
¢
>
.
破类题·提能力
1．（25-26 高三下·辽宁·开学考试）已知函数
3
sin
cos
,
f x
x
x
x
ax
f x
= -
+
+
的导函数为
f
x
¢
.
(1)当
0
a =
时，求曲线
y
f x
=
在
π
2
x =
处的切线方程；
(2)当
0
x ³
时，
0
f x ³
，求a 的取值范围；
(3)设
0
f
x
g x
a
x
¢
=
>
，当
0
x >
时，方程
0
g x =
仅有两个不相等的实数根
1
2
,
x x ，求证：
1
2
3π
x
x
+
>
.
2．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数
2ex
f
x
ax
=
-
，aÎR ．
(1)讨论
f x 的单调性；
(2)若
f x 在R 上有两个零点，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
2
1
2
=
-
g x
f x
x 有两个极值点
1
x ，
2x ，证明：
1
2
e
e
4
x
x
+
>
．
题型04 利用导数研究隐零点问题
析典例·建模型
1.（2025·江西萍乡·模拟）已知函数
( )
ln
f x
x
a
x
=
+
，( )
e
ln
2
x
g x
x
x
-
=
-
-
.
(1)讨论函数
f x 的单调性；
(2)若
0
g x
=0，求
0
0
ln
x
x
+
的值；
(3)证明：
2
ln
e x
x
x
x
x
-
-
£
+
.
研考点·通技法
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在
性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程
0
0
f
x
¢
=
, 并结合
( )
f x 的单调
性得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数
( )
f
x
¢
的正负, 进而得到
( )
f x 的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程
0
0
f
x
¢
=
适当变形, 整体代入
( )
f x 最值式子进行化简:
（1）要么消除
( )
f x 最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到
( )
f x 最值式的估计.
二、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数
f
x 在闭区间
,a b 上连续，且
0
f a f b <
，那么在开区间
,a b
内至少有函数
f
x 的一个零点，即至少有一点
0
,
x
a b
Î
，使得
0
0
f x
=
.
三、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们
看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换
化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
2
ln
ln
ln
1
ln
1
ln
ln
ln
0
x
x
x
x
x
xe
x
x
f x
x
e
f
x
x
x
e
x
x
x
x
f x
xe
f
x
x e
x
x
=
+
=
+
-
-
-
-
=
-
= -
+
=
所以在解决形如
1
ln
0
xe
x
x
x
=
Û
+
=
, 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
四、一般思路
针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函
数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式.构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域
或者证明不等式恒成立问题.在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的
特殊值来确定零点存在区间.
破类题·提能力
1.（2026·浙江·开学考试）已知函数
e ,
ln
x
f x
x
g x
x
=
=
．
(1)求
f x 在点
1,e 处的切线方程；
(2)当
0
a >
，对任意的
2
1
0,
,
2
x
g x
ax
Î
+¥
£
-
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)证明：
1
e
2
x
f x
g x
>
+
-
．
2．（2026·陕西商洛·二模）已知函数
2
ln
f x
a
x
x
=
-
，其中aÎR ．
(1)当
1
a = 时，求
f x 在
1
1
f
，
处的切线方程；
(2)若函数
f x 存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；
(3)若
0,
a
b
>
ÎR，对任意的
0
x
f x
a
b
>
£
+
，
恒成立，求
5
b
a
-
的最小值．
题型05 利用导数研究函数的零点（方程的根）问题
析典例·建模型
1．（2026·云南·模拟预测）已知函数
ln
e
sin
x
a
f x
x
+
=
-
，
e
ln
1
x
g x
a
x
=
-
+
．
(1)当
1
e
a =
时，求
f x 在
0,
0
f
处的切线方程；
(2)若
0,
x
" Î
+¥ ，
0
f x ³
都成立，求a 的取值范围；
(3)若函数
F x
g x
f x
=
-
，证明
F x 有且仅有两个零点．
2．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数
2
2
1
2
e
2
x
ax
f x
x
x a
=
+
-
ÎR （e
2.71828
=
××× 是自然对数的底数）．
(1)求曲线
f x 在原点处的切线方程；
(2)若
f x 在
0,2
xÎ
内有两个极值点，求实数a 的取值范围；
(3)
1
a = 时，讨论关于x 的方程
2
1
1
2
ln
2
ex
f x
x
x
b
x b
x
é
ù
-
+
+
=
Î
ê
ú
ë
û
R 的根的个数．
研考点·通技法
利用导数研究函数零点（方程根），核心是数形结合、单调性、极值与端点效应.
1.转化：将方程根的与函数零点互相转化，或分离参数转化为直线与曲线交点问题.
2.求导分析：求定义域，求导并因式分解，判断单调性与极值点，确定函数图像走势.
3.零点存在定理：计算极值与区间端点函数值，利用符号判断零点个数：极值正、负、零分别对应不同
交点情况.
4.分类讨论：含参问题按导数零点的大小、是否在定义域内分类，逐段分析单调性与最值.
5.找点技巧：若函数值不易判断，可适当放缩、取特殊值，证明存在正负两点，锁定零点区间.
整体思路：单调定趋势，极值定个数，符号定存在，参数分类论.
破类题·提能力
1．（25-26 高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数
e
2
1
x
f x
x
=
-
．
(1)求函数
y
f x
=
在
1
x = 处的切线方程；
(2)若方程
1
f x
m
x
=
-
在
0, ¥
+
上恰有2 个实数根，求m 的取值范围．
2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数
ln
2
2
f x
a x
x
a a
=
-
+
ÎR ．
(1)若
f x 恰有两个零点，求实数a 的取值范围；
(2)当
2
2
e
a >
时，证明：
2
2
e
2
2
x
a
xf x
x
ax
>
+
-
．
题型06 导数与数列的综合问题
析典例·建模型
1．（25-26 高二上·河北石家庄·期末）已知函数
ln
1 ln
f x
x
x
n
=
+
- -
，
*
nÎN ，记
f x 的零点为
na .
(1)求
1a ；
(2)求数列
na
中的最小项；
(3)证明：
1
2
4
1 1
n
i
i
n
a
=
>
+ -
å
2．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知函数
( )
(
1)
ln
f x
a x
x
x
=
-
-
，且
( )
0
f x £
.
(1)求a ;
(2)已知
( )
f
x
¢
为函数
( )
f x 的导函数，证明：对任意的
1
2
0
x
x
<
<
，均有
2
1
1
2
1
(
)
(
)
(
)
f x
f x
f
x
x
x
-
¢
>
-
；
(3)证明：对任意的
*
nÎN ，均有
1
1
1
ln 2
2
3
2
1
n
n
n
+
+×××+
<
+
+
+
.
研考点·通技法
导数与数列综合题是高考导数压轴常见类型，核心思路为函数搭桥、赋值放缩、累加求和.
1.先证函数不等式：利用导数研究函数单调性与最值，证明关键不等式，如lnx≤x−1、ex≥x+1 等，这是
解题基础.
2.对变量赋值：将x 替换为数列通项、相邻项比值等特殊形式，得到数列项之间的不等式关系.
3.累加或累乘转化：对赋值后的不等式进行累加、累乘，转化为数列求和、求积问题，实现放缩目标.
4.规范答题步骤：先完成导数部分的函数证明，再逐步赋值、变形、放缩，分步书写得分点，避免逻辑
跳跃.
此类题目本质是用导数工具得到放缩模型，再借助数列方法完成证明，分步拆解即可突破.
破类题·提能力
1．（25-26 高三下·福建泉州·开学考试）已知函数
( )
(
1)ln(
1)
f x
x
x
x
=
+
-
+
.
(1)证明：
( )
0
f x ³
；
(2)证明：
1
1
ln(
1)
2
n
i
n
i
=
<
+
+
å
；
2．（25-26 高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数
ln
f x
x
a
x
x
=
-
-
．
(1)当
0
a =
时，
① 求
f x 的最小值；
② 设
*
N
nÎ
，求证:
1
ln1
ln 2
ln3
ln
2
3
4
1
4
n n
n
n
-
+
+
+
+
£
+
L
；
(2)设
1
x ，
2x ，
1
2
x
x
<
是
f x 的两个极值点，求证：
1
2
2
e
x
x
+
>
．
题型07 导数的新定义问题
析典例·建模型
1．（25-26 高三上·广东汕头·期末）某些函数如
2
y
x
=
和
ex
y =
的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段
总在这两点连线的下方.这个性质可表示为：设
h x 是定义在区间I 上的函数，则对于I 上的任意
1
2
x x
､
与任意
0,1
l Î
，总有
1
2
1
2
1
1
h
x
x
h x
h x
l
l
l
l
+
-
£
+
-
成立.
(1)设
2
f
x
x
ax
b
=
+
+
，求证：
1
2
1
2
2
2
f x
f x
x
x
f
+
+
æ
ö £
ç
÷
è
ø
；
(2)设
e
0
kx
g x
k
=
¹
，求证：
1
2
1
2
2
3
2
3
5
5
g x
g x
x
x
g
+
+
æ
ö £
ç
÷
è
ø
；
(3)某同学研究发现，若函数
h x 在I 上存在导函数
h x
¢
，则上述性质的充要条件为
h x
¢
在I 上递
增，求证：
2
(
)
a b
a
b
ab
a b
+
£
，其中a b
､均为正数.
研考点·通技法
导数新定义题的核心是读懂定义、转化为常规导数问题.
1.翻译定义：准确理解新符号、新运算、新性质，将其转化为函数、导数、单调性等熟悉语言.
2.构造函数：依据定义构造合适函数，转化为求导、单调性、极值最值、零点等常规题型.
3.分类讨论：对含参问题按定义域、导数零点、单调性分段讨论，结合定义约束条件求解.
4.数形结合：借助图像理解新定义几何意义，判断交点、范围与存在性.
整体策略：先翻译定义，再化归旧知，用导数工具求解，规范书写步骤.
破类题·提能力
1．（25-26 高三上·宁夏银川·期末）定义“下凸函数”
f x ：在区间I 上，对任意
1
2
,
,
,
n
x x
x
I
Î
L
，均有
1
1
n
n
i
i
i
i
x
f x
f
n
n
=
=
æ
ö
ç
÷
ç
÷ £
ç
÷
ç
÷
è
ø
å
å
，当且仅当
1
2
n
x
x
x
=
=
=
L
时，等号成立．若函数
f x 在区间I 上存在二阶可导
函数，则
f x 为区间I 上的“下凸函数”的充要条件是
0
f
x
¢¢
³
（
f
x
¢¢
为
f
x
¢
的导函数）．
(1)若
2
ex
f x
a
x
=
-
是
0,2 上的“下凸函数”，求实数a 的取值范围；
(2)证明：函数
e
cos
x
g x
x
=
+
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上为“下凸函数”；
(3)已知正实数
1
2
,
,
,
n
x x
x
L
满足
1
2
1
n
x
x
x
+
+
+
=
L
，求
1
2
1
2
e
e
e nx
x
x
n
x
x
x
-
-
-
L
的最小值（用含n 的
代数式表示）．
2．（25-26 高三下·吉林长春·月考）已知函数
ln
1
f x
x
=
+
．
(1)求
f x 在点
e 1,
e 1
f
-
-
的切线方程；
(2)
2
2
0,
1
x
x
x
af x
x
+
" ³
£
+
，求实数a 的取值范围；
(3)请阅读下列两段材料：
材料1：n 阶导数定义：设函数
y
f x
=
的
1
n - 阶导数
1
*
2,
n
f
x
n
n
-
³
ÎN
仍是可导函数，则
1
n
f
x
-
的导数
1
n
f
x
¢
-
é
ù
ë
û 称为
f x 的n 阶导数，记为
n
f
x ，即
1
n
n
f
x
f
x
¢
-
é
ù
= ë
û ．
材料2：一般地，函数
f x 在
0
x =
处的
,
m n 阶帕德逼近函数定义为：
0
1
1
1
m
m
n
n
a
a x
a x
R x
b x
b x
+
+
+
=
+
+
+
L
L
，
且满足
0
0 ,
0
0
f
R
f
R
¢
¢
=
=
，
0
0 ,
,
0
0
m n
m n
f
R
f
R
+
+
¢
=
¢
=
¼
¢¢
．
请根据以上材料回答下列问题：
记
R x 为
f x 在
0
x =
处的
1,1 阶帕德逼近函数，当
0
x ³
时，求函数
g x
f x
R x
=
-
的最小值；
并证明：
1
1
1
2
4
1
*
1
,e
1
e
n
n n
n
n
+
+
+
æ
ö
" Î
<
+
<
ç
÷
è
ø
N
．
（其中e
2.71878
=
¼为自然对数的底数）．
（建议用时：100 分钟）
刷模拟
1．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数
4
2 ln
f x
x
x
a
=
+
+
.
(1)当
1
a = 时，求曲线
y
f x
=
在点
1,1 处的切线方程；
(2)若函数
2
2
g x
x
f
x
=
+
-
有且仅有一个零点，求a 的值.
2．（2026·河南南阳·一模）已知函数
0
a
x
f x
x
a
x
=
-
>
，其中
0
a >
，且
1
a ¹ ．
(1)当
1
a > 时，讨论
f x 的零点个数；
(2)若
x
ax
f a
a
x
<
-
恒成立，求a 的取值范围．
3．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
lnx
f x
x
=
.
(1)讨论
f x 的图象与直线y
m
=
的交点个数.
(2)已知函数
2
2
2
1
2,
0
1
[
]
2 ,
0
x
x
x
g x
f x
af x
a x
+
-
£
-
=
+
-
>
，有五个不同的零点
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x x
x x
x ，且
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
<
<
<
<
，求a 的取值范围.
4．（2026·天津河东·一模）已知函数
ln
f x
x
a
x
=
+
（
0
a >
）.
(1)函数
f x 在定义域内无极值，求a 的取值范围；
(2)函数
2
2
a
f
x
x
g x
x
=
-
-
（
0
a >
），
g x 有三个不同的极值点
1
x ，
2x ，
3x ，
1
2
3
x
x
x
<
<
；
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）证明
1
2
3
1
2
x
x
x
a
a
+
+
>
+
.
5．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数
ln
1
f x
a
x
=
+
，
g x
xf
x
=
.
(1)若
0
a >
，求
g x 的单调区间；
(2)若
e
1
x
f x
- ³
，
cos
h x
g x
x
=
-
.
（ⅰ）求a ；
（ⅱ）函数
h x 图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说
明理由.
6．（2026·江苏扬州·一模）已知函数
2
ex
x
ax
b
f x
+
-
=
的一个极值点是
2
x =
．
(1)求a 与b 的关系式；
(2)求出
f x 的单调区间；
(3)设
0
a >
，
2
2
ex
g x
a
-
=
，若存在
1
2
,
0,3
x x Î
，使得
1
2
2
2
e
f x
g x
-
<
成立，求实数a 的取值范
围．
7．（25-26 高三上·广西·期末）已知函数
e cos
x
f x
x
=
，
sin
1
g x
x
=
+ ．
(1)求
f x 在
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 内的单调性；
(2)若存在
π ,0
6
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û ，使得
0
f x
ag x
-
³
，求实数a 的取值范围；
(3)设方程
f x
g x
=
在区间
π
π
2 π
,2 π
1,2,
,2025,2026
3
2
n
n
n
æ
ö
+
+
=
×××
ç
÷
è
ø
内的根从小到大依次为
1
x ，
2x ，…，
2025
x
，
2026
x
，试比较
2026
x
与
2025
2π
x
+
的大小，并说明理由．
8．（25-26 高三上·四川成都·月考）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac
Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步
骤如下：设r 是函数
y
f x
=
的一个零点，任意选取
0x 作为r 的初始近似值，在点
0
0
0
,
A
x
f
x
处作
曲线
y
f x
=
的切线1l ，设1l 与x 轴交于点
1
1,0
B
x
，并称
1
x 为r 的1 次近似值；在点
1
1
1
,
A x
f x
处
作曲线
y
f x
=
的切线2l ，设2l 与x 轴交于点
2
2,0
B
x
，称
2x 为r 的2 次近似值.一般地，在点
,
n
n
n
A
x
f x
处作曲线
y
f x
=
的切线
1
nl + ，记
1
nl + 与x 轴交于点
1
1,0
n
n
B
x
+
+
，并称
1
nx + 为r 的
1
n + 次近
似值.
(1)若函数
3
3
2
f x
x
x
=
+
-
，取
0
1
x = 作为r 的初始近似值，求r 的2 次近似值；
(2)若函数
2
4
x
f x =
，取
0
4
x =
作为r 的初始近似值，点
0,1
F
，数列
nx
是由
1
x ，
2x ，
3x ，L，
nx
构成的，记：
1
i
i
i
d
A A
-
=
，
1,2,3,
,
i
n
=
L
.回答以下问题：
（i）求数列
nx
的通项公式，并将
n
A F 的长度用n 表示；
（ii）求证：
1
8
n
i
i
d
=
<
å
.
刷真题
1．（2026·上海·春季高考）已知函数
sin
0,0
π
f x
x
w
j
w
j
=
+
>
<
<
.
(1)当
2
w =
，
π
0
12
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，求函数
f x 在
0
x =
处的切线方程；
(2)若函数
f x 的最小正周期为3π ，且
2
2
f x =
在
0,2026π
xÎ
上恰好有1351 个解，求j 的取值范
围.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
2
3
1
( )
ln(1
)
2
f x
x
x
x
kx
=
+
-
+
-
，其中
1
0
3
k
<
<
．
(1)证明：
( )
f x 在区间(0,
)
+¥ 存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设
1
2
,
x x 分别为
( )
f x 在区间(0,
)
+¥ 的极值点和零点.
（i）设函数
1
1
( )
g t
f x
t
f x
t
=
+
-
-
.证明：( )
g t 在区间
1
0, x
单调递减；
（ii）比较
1
2x 与
2x 的大小，并证明你的结论．
3．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数
( )
5cos
cos5
f x
x
x
=
-
在区间
π
0, 4
é
ù
ê
ú
ë
û 的最大值；
（2）给定
(0,π)
q Î
和aÎR ，证明：存在
[
,
]
y
a
a
q
q
Î
-
+
使得cos
cos
y
q
£
；
（3）设bÎR ，若存在j Î R 使得5cos
cos(5
)
x
x
b
j
-
+
£
对xÎR 恒成立，求b 的最小值．
4．（2024·新高考Ⅰ卷·高考真题）已知函数
3
( )
ln
(
1)
2
x
f x
ax
b x
x
=
+
+
-
-
(1)若
0
b =
，且
( )
0
f
x
¢
³
，求a 的最小值；
(2)证明：曲线
( )
y
f x
=
是中心对称图形；
(3)若
( )
2
f x > - 当且仅当1
2
x
<
<
，求b 的取值范围．
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
3
( )
ex
f x
ax
a
=
-
-
．
(1)当
1
a = 时，求曲线
( )
y
f x
=
在点
1,
(1)
f
处的切线方程；
(2)若
( )
f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
ex
f
x
a
a
x
=
+
-
．
(1)讨论
f x 的单调性；
(2)证明：当
0
a >
时，
3
2ln
2
f x
a
>
+
．
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当0
1
x
<
< 时，
sin
x
x
x
x
-
<
<
；
（2）已知函数
2
cos
ln 1
f
x
ax
x
=
-
-
，若
0
x =
是
f x 的极大值点，求a 的取值范围．
