重难点09 等差等比数列与函数性质
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授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：等比数列性质与函数性质的考查紧密围绕 “基础巩固、综合交汇、能力导向” 这三方面展开。
从高考试卷分值来看，该部分内容单独考查或与其他知识结合考查时，占比约 6%-8%，题型覆盖选择题、
填空题与解答题，且在解答题中常作为中档题出现，部分年份（如 2024 年新高考Ⅰ卷）还出现数列与函
数结合的创新压轴题型。
从命题趋势看，呈现 “稳中有变” 的特点：“稳” 体现在等差、等比数列的基本性质（如通项公式、
前 n 项和公式、等差 / 等比中项）、函数的单调性与最值等核心考点持续高频出现；“变” 体现在背
景情境化、知识交汇深化，如在数列与函数、不等式、导数的结合更紧密），知识交汇处试题难度容易两
极化 。
预测2026 年：2026 年高考对 等差、等比数列与函数性质的考查将延续基础与能力题型为主，重点考查
等差、等比数列的核心公式与性质，，同时在情境设计、跨模块融合、设问创新上呈现新特征。 对于数
列的考察，还体现出 “中低档解答题” 升级为 “思维能力考查题”， 考查综合应用，考察数列与函
数、不等式、导数等深度融合。。
考向01 等差数列性质1：判定等差
等差数列的判定与证明的方法.
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个
数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母
表示，定义表达式为
（常数）
．
2.判定方法
定义法：
为同一常数 ⇔
是等差数列
等差中项法：
成立⇔
是等差数列
通项公式法：
为常数）对任意的正整数都成立⇔
是等差数列
前n 项和法：验证
为常数）对任意的正整数
都成立⇔
是等差数列
1．（25-26 高三全国专题练习）记
为数列
的前
项积，若
，则（ ）
A．
是公差为负数的等差数列
B．
是公差为正数的等差数列
C．
是公差为负数的等差数列
D．
是公差为正数的等差数列
【答案】C
【分析】本题可先根据已知条件得出
与
的关系，再通过变形得到
与
的关系，最后根据等差数
列的定义判断数列
的类型.
【详解】由题意，
，当
时，
，
代入
可得：
，即
，则
，
当
时，
，又
，所以
，
将
代入
可得
，等式两边同时除以
，
（若
，代入
得
，又
不成立，所以
），
得
，移项可得
，且
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，公差为负数.
故选：C
2．（25-26 高三上·江苏扬州·期末）在无穷正项等差数列
中，记
为数列
的前
项和，则“
”是“数列
是等差数列”的（ ）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等差数列的定义和前
项和公式，结合充分性、必要性的定义判断即可.
【详解】设正项等差数列
的公差为
，若
，则
，解得
，
所以
，所以
，
所以数列
是公差为
的等差数列，故“
”是“数列
是等差数列”的充分
条件；
若数列
是等差数列，设
，（
为常数），
则
，又因为等差数列
中
，所以
，解得
，所以
，“
”是“数列
是等差数
列”的必要条件；综上“
”是“数列
是等差数列”的充要条件，故选：C
3．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
都为偶函数，则
（ ）
A．516
B．520
C．0
D．1
【答案】B
【分析】利用复合函数的导数，结合偶函数性质得导函数
关于点
，
对称，且
，
，再根据点的对称性得
，最后根据等差数列的性质求解即可.
【详解】因为
都为偶函数，
所以
，
，
对上述等式两边求导得：
，
，
即
，
，
所以导函数
关于点
，
对称，且
，
，
所以
，即
，
将
代入
得：
，即
，
所以
的奇数项构成以
为首项，
为公差的等差数列，
偶数项构成以
为首项，
为公差的等差数列；
所以
，
故选：B
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
满足
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
的定义域为
C．若
在
上单调递增
D．若
，则
【答案】B
【分析】应用赋值法计算求解得出
判断A，B，应用已知关系式得出函数再结合导函数得出单
调性判断C，应用赋值法结合等差数列通项公式计算判断D.
【详解】令
，可得
，所以
，A 选项正确；
令
，可得
，所以
不成立，所以
的定义域不是
，B 选项不
正确；
因为
，所以
，
，
因为
，所以
，
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，C 选项正确；
若
，令
，可得
，
所以
，所以
为等差数列，所以
，则
，
D 选项正确；故选：B.
考向02 等差数列性质2：等差中项应用
等差中项的概念
若三个数
，
，
成等差数列，则
叫做
与
的等差中项，且有
．
5．（25-26 高二上·甘肃·期末）已知圆的方程为
，过点
的
条弦长组成一个等
差数列
，且过点
的最短弦长和最长弦长分别为
，则
（ ）
A．5
B．6
C．9
D．
【答案】C
【分析】先根据圆心到点
的距离与圆半径的关系确定点
与圆的位置关系，再分别确定过点
的最短弦
长和最长弦长，最后由等差中项的性质计算即可．
【详解】
的标准方程为
，
圆心为
，半径
，
又
点
到圆心的距离
，
点
在圆内，
过点
的最短弦长是与过点
的直径垂直的弦长
，则
，
过点
的最长弦长为直径，
， 又
过点
的
条弦长组成一个等差数列
，
，解得
，故C 正确．故选：C．
6．（25-26 高三上·湖北荆州·开学考试）一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余
弦值的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】可设三角形的三边长为
，不妨设
，由此结合三角形为锐角三角形可求出
之间的
关系，即可得
，结合换元法求解，即可求得答案.
【详解】由题意可设三角形的三边长为
，不妨设
，由于三边长成等差数列，故
，
由于三角形中，需满足
，（
恒成立），结合
，则
，得
；又三角形为锐角三角形，需满足
，即
，即
，即
，结合
，可得
；又
令
，则
，故
，
由于
在
时单调递增，故
在
上单调递增，
故当
时，
取最小值
，当
时，
，
故该三角形的最小内角余弦值的取值范围是
.故选：D
7．（24-25 高三上·福建福州·期中）已知函数
，若存在
使得
，
，
依次成等差数列，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用等差中项公式，结合对数函数的性质得到
在定义域内有解，
再利用参变分离，结合换元法与二次函数的性质即可得解.
【详解】因为存在
使得
，
，
依次成等差数列，
所以
在定义域内有解，
又
，所以
，
即
，则
在定义域内有解，
由对数函数的定义域可知，
，又
，所以
，所以
，
令
，则
，因为
的图象开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，又
，所以
.故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将问题转化为
在定义域内有解，从而得
解.
8．（2025·高三全国专题练习）已知
，在这两个实数
之间插入三个实数，使这五个数构成等
差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，用
表示这个等差数列后三项和为
，进而设
，利用三角
函数的性质能求最大值．
【详解】设中间三项为
，则
，所以
，
，
所以后三项的和为
，又因为
，所以可令
，
所以
故选
【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质．
考向03 等差数列性质3：双等差比值转换型
双等差比值型
若{
}
na
与{ }
nb
为等差数列，且前n 项和分别为
n
S 与
'
n
S
，则
2
1
2
1
'
m
m
m
m
a
S
b
S
.
9．（24-25 高三上·安徽·月考）已知两个等差数列
的前
项和分别是
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设出两个等差数列的前
项和公式，利用等差数列的性质即可得出结论.
【详解】由题意，
在两个等差数列
中，前
项和分别是
，
，
对于一般等差数列前
项和为二次型函数：
（
为常数），
∴设
，
，
为常数
∴
，故选：B.
10．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列
，
都是等差数列，记
，
分别为
，
的前n
项和，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用等差数列前
项和的性质及和与项的关系即可求解.
【详解】由
，可得
，因为数列
，
都是等差数列，
所以不妨令
，所以
，
，所以
.故选：C
11．（23-24 高二上·陕西榆林·月考）已知等差数列
与等差数列
的前
项和分别为
与
, 且
, 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由等差数列性质可得
，由等差数列前
项和公式可得
、
，即可令
，代入计算即可得.
【详解】因为数列
、
都是等差数列, 所以
,
又
，
，故
，
，即有
,
在
中，令
，得
，故
.故选：D.
12．（23-24 高二上·安徽蚌埠·月考）两个等差数列
，
的前
项和分别为
，
，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合等差中项公式和等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由两个等差数列
，
的前
项和分别为
，且
，
根据等差数列的求和公式，可得
.故选：C.
考向04 等差第19 题题型
13．（25-26 高三上·北京·月考）已知含有n 个元素的正整数集
（
）具
有性质P：对任意不大于
（其中
）的正整数k，存在数集A 的一个子集，使得
该子集所有元素的和等于k．
(1)写出
，
的值；
(2)证明：“
，
，…，
成等差数列”的充要条件是“
”；
(3)若
，求当n 取最小值时
的最大值．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由性质
，根据
与
时分析即可；
（2）先证必要性：由
，
，…，
成等差数列，故
，由等差数列的求和公式得:
；再证充分性：由
，故
（
），故
，
，…，
为等差数列；
（3）先证明
（
）,因此
，即
，
所以
，由集合的性质，分类，即可求得当
取最小值11 时，
的最大值为
．
【详解】（1）由
，且均为正整数，故
，故
，
故当不大于
的正整数
时，由题意必有
，当
时，可得
；
（2）先证必要性：因为
，
，
，
，…，
成等差数列，
故其首项为，公差为，可得
；
再证充分性：因为
，
，
，…，
为正整数数列，
故有
，
，
，
，…，
，
所以
，等号成立时
，
又
，故
，故
，
，…，
为等差数列．
综上可知，“
，
，…，
成等差数列”的充要条件是“
”；
（3）先证明
（
），
假设存在
，且
为最小的正整数，
依题意
，则
，
又因为
，
故当
时，
不能等于集合
的任何一个子集所有元素的和．
故假设不成立，即
（
）成立；
因此
，
即
，所以
；
因为
，则
，
若
，即
时，
则当
时，集合
中不可能存在若干不同元素的和为
，
故
，即
时，
此时可构造集合
，
因为当
时，
可以等于集合
中若干个元素的和；
故当
时，
可以等于集合
中若干不同元素的和；
……
故当
时，
可以等于集合
中若干不同元素的和；
故当
时，
可以等于集合
中若干不同元素的和；
故当
时，
可以等于集合
中若干不同元素的
和，
所以集合
满足题设，
所以当
取最小值11 时，
的最大值为
．
14．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)若
为等差数列，且
，
，求数列
的通项公式；
(2)若对任意
，都有
．
①求证：
是等差数列；
②设
，
，
，求
的公差
的值．
【答案】(1)
或
(2)① 证明见解析；②
【分析】（1）设等差数列公差为
，取特殊值，建立方程，即可求得数列通项公式.
（2）①令
，由
整理得到
，用
替换
后作差得
，同理再用
替换
后作差，整理得到
，再验证
，即可得证
为等差数列．
②由
得
的值.由
可知
，然后化简
，由题意得到
的值，
即可求出
的公差
的值．
【详解】（1）因为
是等差数列，设公差为
，因为
，
则令
得
，即
，因为
，所以
．令
得
，则
，即
，化简得
，则
或0．当
时，
满足
；
当
时，
．所以，
或
．
（2）①令
时，
，即
，
∴
，
．化简得：
，
即
，∴
．
化简得：
，即
．
又
，∴
.∴
为等差数列．②因为
，所以
．
，所以
．
，
．
因为
，所以
，又
，所以
．
考向05 等比数列性质1：等比判定
一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数
列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示（显然
）.
注意：
（1）等比数列中不能有0 项
（2）常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0 的数列,它就不是等比数列;当
常数列各项不为0 时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论.
证明方法：
(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0 的常数)⇔数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．
1．（25-26 高二上·天津北辰·月考）若数列
满足
，则称数列
为“梦想数列”，已知正
项数列
为“梦想数列”，且
，则
（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【分析】由题知
，则称数列
为“梦想数列”，根据“梦想数列”的定义可得数列
为公比为
2 的等比数列，再利用等比数列的性质求解即可.
【详解】
，可得
，因为正项数列
为“梦想数列”，
所以
，即
，则数列
是以2 为公比的等比数列，
因为
，所以
.故选：C.
2．（24-25 高二下·湖南·期中）已知各项均不为零的数列
，其前
项和为
，且
.下列结论中错误的是（ ）
A．
B．不存在实数
，使
为递减数列
C．存在实数
，使得
为等比数列
D．
，使得当
时，总有
【答案】C
【分析】赋值法计算判断A，先应用
计算化简得出数列分奇偶得出等差数列，再分类求出通
项即可判断B，C，再结合指数运算判断D.
【详解】由
得
，
相减可得
，
，
由于
各项均不为零，所以
，所以
的奇数项和偶数项分别为公差为的等差数列，
对于A，因为
，所以
，故A 正确；
对于B，由于
的奇数项和偶数项分别为公差为的等差数列，且
，
，
所以
，
，所以
，所以
不可能为递减数列，即不存在实数
，使
为递减数列，故B 正确；
对于C，因为
，
，若
为等比数列，则
为常数，则
，
此时
，故
，
，进而可得数列的项为
显然这不是等比数列，故C 错
误，
对于D，若
，只要
足够大，一定会有
，
则
，只要
足够的大，
趋近于0，
而
，显然能满足
，故
，当
时，总有
，故D 正确，
故选：C.
3．（2024·云南昆明·模拟预测）作边长为6 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作
新三角形的内切圆，如此下去，则前n 个内切圆的面积之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先设第
个正三角形的内切圆半径为
和第
个正三角形的边长为
，结合正三角形边长与其内
切圆半径的关系，以及圆半径与其内切正三角形的边长关系即可研究求解出
，进而利用等比数列前n 项
和公式即可求解.
【详解】设第
个正三角形的内切圆半径为
，第
个正三角形的边长为
，
可知
（正三角形内切圆半径是正三角形边长的
），
又半径为
的圆内接三角形的边长
满足
，即
，
所以
，
，
即从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的
，
每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的
，
又
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，则
，设前
个内切圆的面积和为
，
则
，
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用好正三角形边长与其内切圆半径的关系，以及圆半径与其内切
正三角形的边长关系.
4．（23-24 高二上·广东东莞·期末）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得
新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2 进行构造，第1 次得到数列1，
3，2；第2 次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（
）次得到的数列的所有项之和为
，
则
（ ）
A．1095
B．3282
C．6294
D．9843
【答案】B
【分析】根据给定条件，得到第
次构造后数列的和与第
次构造后数列的和的关系，再求出数列
的通项即可.
【详解】设第
次构造后得的数列为
，则
，
则第
次构造后得到的数列为
，
于是
，
，
显然
，而
，
因此数列
是以
为首项，3 为公比的等比数列，则
，即
,
所以
.故选：B
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数
列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
考向06 等比数列性质2：等比中项应用
如果在
与
中间插入一个数
,使
成等比数列,那么
叫做
与
的等比中项,此时,
.
5．（24-25 高二上·天津南开·期末）已知数列
满足
，
是
，
的等比
中项，则数列
的通项公式
.
【答案】
【分析】由已知求得
，然后由等比中项定义求出
，再分
为奇函数，偶数分别求出通项公式.
【详解】因为
，所以
，
，
又
是
的比例中项，所以
，即
，显然
且
，故解得
；
当
是奇数时，
，
，所以
，而
，
所以数列
是等比数列，则
，即
；
当
是偶数时，则
；综上可得
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是首先推导出
的值，另外就是当
是奇数时求出通项公式.
6．（2025 高三全国专题练习）在
中，
，角
与角
的平分线长分别为
，
，若
，
的等比中项是
，则
.
【答案】
【分析】依题意可得
，
，再根据正弦定理可得
，利
用二倍角公式及等比中项的性质可得
，最后利用两角和差的余弦公式计算可得；
【详解】解：依题意可得
，
，得
，
所以
所以
又因为
，所以
所以
故答案为：
【点睛】本题考查正弦定理、两角和差的余弦公式及二倍角公式的应用，综合性强，属于中档题.
7．（2020·四川遂宁·模拟预测）已知正项数列
的前n 项和为
，且
是4 和
的等比中项，数列
，其前n 项的和为
，则
，
.
【答案】 5
【分析】根据已知条件，利用一般数列的和与项的关系可以得到数列
是首项为1，公差为2 的等差数
列，进而得到
，将数列
的相邻的奇偶项结合，可得
，
然后裂项相消求和即的.
【详解】
,取n=1 得
，当n≥2 时，
,
化简得：
，∵数列
各项都是正数，
∴
，所以数列
是首项为1，公差为2 的等差数列，
∴
，∴
；
，
，
∴
.故答案为：5；
.
【点睛】本题考查求递推数列的通项公式，涉及等比数列的性质，数列的递推关系，数列的和与项的关
系，等差数列的判断和通项公式，裂项相消求和法，关键难点在于裂项求和，属较难试题.
8．（23-24 高三全国专题练习）一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列，则
这个正实数是
【答案】
【分析】这个正实数不能为整数，否则小数部分为零，不能构成满足题意的等比数列，
这个正实数大于1，否则整数部分为零，不能构成满足题意的等比数列，
设这个正实数为
，首先通过反证法证明整数部分只能为1，再根据等比数列关系求出
小数部分即可.
【详解】这个正实数不能为整数，否则小数部分为零，不能构成满足题意的等比数列，
这个正实数大于1，否则整数部分为零，不能构成满足题意的等比数列，
设这个正实数为
，即整数部分
小数部分
，
由题：小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列，
即：
下面证明
，假设
，则
，必有
，
由
，
，与题矛盾，所以假设不成立，
即整数部分只能
即
，解得：
所以这个正实数为
.故答案为：
【点睛】此题考查等比数列等比中项的应用，和对实数的理解辨析，利用反证法证明整数部分只能为1，
再利用题目所给等比数列的关系进行求值.
考向07 等比数列性质3：等差等比“纠缠”型
等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。
1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。
2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。
9．（23-24 高三全国专题练习）已知公差不为零的等差数列
的前
项和为
，且满足
，
，
成等
比数列，
，数列
满足
，前
项和为
，则
.
【答案】
【分析】先根据条件求解出
的通项公式，然后采用裂项相消的方法分奇偶进行求和，由此可求解出
，则
可求.
【详解】设
的公差为
（
）.由题意，
，即
，
又
，即
，
联立解得
，
，所以
.
所以
当
为奇数时，
，
当
为偶数时，
.
所以
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：解答本题中求和问题的关键在于裂项相消方法的使用，一般情况下裂项都是写成相
减的形式，本例中因为有
可以进行自主变号，所以写成加法形式才可以进行相消；对于涉及
的数列求和，一定要注意分奇偶项去分析，因为
会影响项的正负号.
10．（22-23 高三下·上海·月考）已知等差数列共有
项，各项与公差
均不为零，若将此数列删去
某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数列
组成的集合为 .
【答案】
【分析】
利用等差数列通项公式，结合已知条件，讨论依次去掉第一、二、三、四及
的项，判断
、余
下项为等比数列是否成立，即可得结果.
【详解】令等差数列通项为
，且
，
若去掉第一项，则
，可得
，不合题设；
若去掉第二项，则
，可得
，即
，
又
，故
，故数对
为
；
若去掉第三项，则
，可得
，又
，则
，
此时，等差数列为
，显然
，
否则去掉第三项后数列不成等比数列，故数对
为
；
若去掉第四项，则
，可得
，不合题设；
若去掉
的项，根据上述分析必会出现
情况，不合题设；
综上，所有数列
组成的集合为
.故答案为：
【点睛】关键点睛：应用等差数列通项及已知条件，分类讨论所去掉的项判断是否满足
且余项成
等比数列.
11．（22-23 高二下·江苏扬州·开学考试）已知等差数列
中，
，公差
，其前四项中去掉某一
项后(按原来的顺序)恰好是等比数列
的前三项，则
；若对任意的正整数n，
恒成
立，则实数λ 的取值范围为 ．
【答案】 3
【分析】空①：根据分类讨论思想，利用等差数列的定义以及等比数列等比中项的性质，建立方程，可得
答案；
空②：写出等差数列以及等比数列的通项公式，利用分离参数的方法，整理不等式，构造函数，利用导数
求其单调区间，求得最值，可得答案.
【详解】由题意，可知
，
，
，
，
①当去掉的是
，则
，
，
，由数列
是等比数列，
则
，即
，化简可得
，解得
，不符合题意；
②当去掉的是
，则
，
，
，由数列
是等比数列，
则
，即
，化简可得
，解得
或
，不符合题意；
③当去掉的是
，则
，
，
，由数列
是等比数列，
则
，即
，化简可得
，解得
或
，则
符合题意；
④当去掉的是
，则
，
，
，由数列
是等比数列，
则
，即
，化简可得
，解得
，不符合题意.
故等差数列
中首项
，公差
，则
；
故等比数列
中
，
，
，公比
，则
.
由
，则
，即
，令
令
，
，
令
，则
，由
，则
，
单调递增
极大值
单调递减
当
时，
；当
时，
.
的最大值为
，则
，即
.故答案为：；
.
【点睛】关键点睛：本题在解决数列不等式时需用构造函数的方法，明确函数单调区间后，注意
的取值
为正整数.
12．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）已知
成公比为2 的等比数列，且
．若
成等比数列，则所有满足条件的
的和为 ．
【答案】
【分析】由题意首先得
，利用二倍角公式将方程转换为
，进一步通过换元法以及三角函数的对称性即可求解.
【详解】由已知得
，
由
成等比数列，且
成公比为2 的等比数列，
得
，所以
，
所以
，
令
，得到
，恰好有两个根
，
而满足
的
的值有
，满足
的
的值之和为
，
故所有满足条件的
的和为
.故答案为：
.
【点睛】关键点睛：关键是首先得到
，进一步通过换元即可顺利得解.
考向08 等比第19 题题型
13．（广东省清远市2025-2026 学年高二第一学期普通高中学科监测数学试题）已知数列
为无
穷整数数列，若
满足：对于任意的，
，都存在
，使得
，其中
，，
，
，则称数列
是“
因分数列”.
(1)若数列
的前
项和为
，且
，
.
（i）求数列
的通项公式；
（ii）证明：数列
是“
因分数列”；
(2)已知数列
是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列
是“
因分数列”，若
，
，
三个数中恰有两个出现在数列
中，求满足题意的
的公比.
【答案】(1)（i）
；（ii）证明见解析；
(2)2.
【分析】（1）（i）由
的关系及等差数列的定义求数列的通项公式；（ii）根据新定义，取
，再判断
是否成立，即可证；
（2）由题意对任意
且
，存在
，使得
，设
的公比为
且
，
，结合
，
，
三个数中恰有两个出现在数列
中求出对应公比.
【详解】（1）（i）当
，则
且
，故
，可得
，
当
，联立
，可得
，
所以
，可得
，所以
，
综上，
是首项为3，公差为1 的等差数列，则
；
（ii）对于任意
且
，取
，所以
，且
，
所以数列
是“
因分数列”；
（2）由数列
是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列
是“
因分数列”，
等价于对任意
且
，存在
，使得
，即
，
设
的公比为
且
，
，
若
，则
为常数列，仅当常数为1 时满足条件，此时
，
，
不在该数列中，不符合；
若
，则
的通项公式形式必为
，此时数列中的数为
的幂，
由
，
，
中，仅当
是
的幂时
，
可同时出现在数列中，但
不可能出现，
设
且
，则
，由
，
出现在数列中，存在正整数
，使
，
所以是
的公因数，而
互质，则
，故公比为
，
此时，取
，则
，显然
，
出现在数列内，满足，所以
的公比
.
14．（2026·广东·模拟预测）若数列
满足
，则称数列
为下凸数列
(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
(2)设
，其中
为公比不相等的正项等比数列，求证：
是下凸数列且不是等比数列；
(3)已知
为正项下凸数列
前
项和，
，证明：
．
【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解(3)证明见详解
【分析】（1）根据下凸数列的定义直接作差证明即可；
（2）通过下凸数列的定义直接证明
为下凸数列，通过反证法，结合等比中项公式证明
公比
相等，与假设矛盾从而证明
不是等比数列；
（3）题干等价于证明
，令
，首先假设
先单调递减，再从某项单调递
增，结合下凸数列的性质，证明此时
必先单调递减后一直单调递增，而这与
矛盾，故
一定
恒单调递减，再依据
和迭代法，证明
，最后据此结合裂项相消法证明
即可．
【详解】（1）设正项等比数列
的公比为q，则
，
即
，所以任意一个正项等比数列
为下凸数列．
（2）设
的公比分别为
，则
，
显然
，
，所以正项数列
为下凸数列，
下面证明：正项数列
不是等比数列，若
是等比数列，则有
，
所以
，因为
分别为两个正项等比数列，所以
，所以
，所以
，
因为
，所以
，也即
，所以
，与
矛盾，所以
不是等比数
列．
（3）假设存在一个常数
，使得
，但
，因为
，所以
，
将
中的
换成
，得
，
进一步得
，又
，由不等式的可加性，得
，
同理得
，所以
，
所以数列
从
到
单调递减，从
开始单调递增，
所以
，因为该规律是固定的，且
，
所以当
足够大时，必有
，
与题设
矛盾，所以
不可能从某一项开始单调递增，所以
，
令
，由
，得
，
所以
，
所以
，即
，进一步得
，
所以
，
，
累加得
，所以
．
考向09 前n 项和性质1：an 与sn 的转化
an 与sn：求通项公式
（1）已知等比数列
的首项为
,公比为
,则数列
的通项公式为
.
（2）第
项与第
项的关系为
,变形得
.
（3）由
可知,当
且
时,等比数列
的第
项
是指数函数
1．（23-24 高三全国专题练习）已知递增数列
的前
项和
满足
，
，设
，若对任意
，不等式
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．2023
B．2024
C．4045
D．8089
【答案】C
【分析】根据
得到
，故
是等差数列，
，利用裂项相消
法得到
，解得
，代入计算得到答案.
【详解】
，当
时，
，
；当
时，
，
，
相减得
，又
，相减得
，故
是等差数
列，
，
，
，
，
，
.故选：C
【点睛】关键点睛：本题参考了等差数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和
综合应用能力，其中利用两次相减的思想得到
确定等差数列是解题的关键.
2．（2021·云南昆明·三模）已知数列
的前n 项和为
，
，
，则
（ ）
A．414
B．406
C．403
D．393
【答案】B
【分析】利用两式相减得
，再利用两式相减可得
，由此可得
，进一步可得答案.
【详解】由
，两式相减得
，即
.
再由
，两式相减得
，由
，得
，
故
为以14 为首项，8 为公差的等差数列，故
，
故
.故选：B
【点睛】关键点点睛：根据递推关系求出数列
的偶数项构成以14 为首项，8 为公差的等差数列，是解
题的关键，属于较难题目.
3．（23-24 高三全国专题练习）若数列
的前
项和为
，
，则称数列
是数列
的“均值
数列”.已知数列
是数列
的“均值数列”且通项公式为
，设数列
的前
项和为
，
若
对一切
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，求得
，进而求得数列的通项公式为
，结合裂项法求得数列的前
和
，得出不等式
，即可求得实数
的取值范围.
【详解】由题意，数列
的前
项和为
，由“均值数列”的定义可得
，所以
，
当
时，
；当
时，
，
也满足
，所以
，所以
，
所以
，又
对一切
恒成立，
所以
，整理得
，解得
或
.
即实数
的取值范围为
.故选：D.
【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前
项和公式，求和方法
等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题
时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合
法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
4．（23-24 高三全国专题练习）各项均为正数的等差数列
中，前
项和为
，当
时，有
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】 设等差数列的公差为
，
则当
时，
，
当
时，
，
联立方程组得
，可得
，所以
，
故选A.
考向10 前n 项和性质2：等差奇偶和性质
设数列{
}
na
是等差数列，且公差为d ，
（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①
-
S
S
nd
奇
偶
； ②
1
n
n
S
a
S
a
奇
偶
；
（2）若项数为奇数，设共有2
1
n 项，则①S
S
偶
奇
na
a
中(中间项)；②
1
S
n
S
n
奇
偶
.
5．（23-24 高三全国专题练习）等差数列
共
项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则
．
【答案】10
【分析】结合等差数列前
项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可.
【详解】等差数列
共
项，其中奇数项有
个，偶数项有
个，
设等差数列
的公差为
，
奇数项和
①，
偶数项和
②，
由①②，得
，代入②式，可得
，解得
.
故答案为：10
6．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知一个项数为
的等差数列
，设其前
项和为
，其所有奇数项
的和为480，所有偶数项的和为360，公差
，则当
为偶数时，此数列首尾两项之和为 ．
【答案】56
【分析】只需根据等差数列前
项和性质求得
的值，再结合等差数列性质即可求解.
【详解】当
为偶数时，由题意可知
，
所以
，所以
，此时
，解得
，
，解得
，则
．故答案为：56.
7．（2024 高二上·全国·专题练习）已知等差数列
的项数为奇数，且奇数项和为
，偶数项和为
，
则数列的中间项为 ；项数为 ．
【答案】
【分析】根据奇数项的和与偶数项的和，可作比得到
，由此可得项数和中间项.
【详解】设等差数列
的项数为
，
则
，
，
，解得：
，即等差数列
的项数为
；
项的数列的中间项为第
项，即
，
由
得：
，解得：
，即中间项为
.故答案为：
；
.
8．（11-12 高一下·浙江宁波·期中）一个等差数列的前12 项和为354，前12 项中偶数项和与奇数项和之比
为
，则公差d 为 .
【答案】5
【分析】设偶数项和为
，则奇数项和为
，由
可得
的值，根据 公差
求得结果．
【详解】设偶数项和为
，则奇数项和为
，由
可得
，
故公差
，故答案为：5．
【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，得到
，公差
，是解题的关键．
考向11 前n 项和性质3：等比奇偶和性质
等比数列奇偶和型
（1）若等比数列的项数为
则
（2）若等比数列的项数为
。
则
9．（2024 高二·全国·专题练习）等比数列
共有2n 项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大
80，则公比
.
【答案】
/
【分析】结合题意列方程组分别求出
，
，再由等比数列的性质求出结果即可.
【详解】设等比数列
的奇数项的和、偶数项的和分别为
，
.
由题意可得
解得
所以
．故答案为：
.
10．（23-24 高三上·四川成都·期中）数列
满足：
，数列
的前
项和记为
，则
．
【答案】2191
【分析】
，对
分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得
出.
【详解】
数列
是以
公差
的等差数列;
.
,
数列
是以
公比
的等比数列;
.
.
故答案为：2191.
11．（2020 高三·全国·专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项
之和为682，则这个数列的项数为
【答案】10
【解析】设等比数列项数为
项，公比为
，由题意可求出
，结合等比数列的性质和前
项和公式可
知
，进而可求出项数.
【详解】设等比数列项数为
项，公比为
，则
，
，
由
，
解得
，因为
是公比为
的等比数列，则
，
即
，解得
，故答案为:10.
【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
12．（23-24 高三全国专题练习）已知数列
中，
，
，则
的前200 项和
.
【答案】
【解析】当
时，可知
，进而可知
，即
，从而可知
的奇数项和偶数项
都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出
.
【详解】由
，
，得
.
当
时，
，所以
，即
，
所以
的奇数项是以1 为首项，2 为公比的等比数列；其偶数项是以2 为首项，2 为公比的等比数列.
则
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查数列求和，考查等比数列前
项和公式的应用，注意分奇偶项进行讨论，属于中档题.
考向12 函数型性质1：等差sn 二次函数
在处理等差数列
的前
项和
的最值时，往往转化为判定
的符号变化：
①若
，当
时，则当且仅当
最大；
②若
，当
时，则当且仅当
最小；
③若
最大，则
.
1．（24-25 高三全国专题练习）已知等差数列
的前
项和为
且
，则使
的
最大值
为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【分析】根据已知可得
为递减数列，且
有
，
有
，
，即可得.
【详解】由
，则
，可得
，即
，
所以
，又
，即
为递减数列，
当
，
，当
，
，又
，
所以使
的
最大值为10.
故选：B.
2．（24-25 高二下·河南驻马店·月考）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则使
的最小的
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件可得数列
为递减数列，且
，
，
，根据等差数列前
项和公式结合
等差数列的性质可得结果.
【详解】设等差数列
的公差为
，∵
，
，∴数列
为递减数列，
∴
，
，
，由
得
，即
，
∴
，
∴使
的最小的
的值为
.故选：D．
3．（23-24 高二上·山东烟台·月考）已知等差数列
的前
项和为
，
，且
，则
取最大
值时，
（ ）．
A．9
B．10
C．9 或10
D．10 或11
【答案】C
【分析】先根据
利用等差数列前
项和公式，得出
和
的关系，判断出数列
是单调递减数
列，再利用抛物线的性质即可求得.
【详解】设等差数列
的公差为
，
由等差数列前
项和公式，
得：
，
，又
，
，即
，又
，
，
由此可知，数列
是单调递减数列，点
在开口向下的抛物线上，又
，
点
与点
关于直线
对称，
当
或
时，
最大.故选：C
4．（23-24 高二上·福建宁德·期末）已知等差数列
的前
项和为
．若
，
，则当
取
最大值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的基本性质可知，当
时，
，当
时，
，即可得出结论.
【详解】因为等差数列
的前
项和为
，
，可得
，
又因为
，则数列
的公差为
，
所以，数列
为单调递减数列，
则当
时，
，当
时，
，
故当
时，
取最大值.故选：B.
考向13 函数型性质2：单调性与最值
等比数列与函数的关系
(1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1；
(2)数列{an}是等比数列，Sn＝
，Sn 为
型线性指数函数。
（3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n 是离散型
5．（湖北省武汉市六所重点中学2025-2026 学年高二上学期期末数学试题）已知数列
是各项均为正数
的无穷等比数列，其中
，记
，求当
取到最大值时，
的值为
（ ）
A．4
B．4 或5
C．5
D．5 或6
【答案】B
【分析】根据题意求出等比数列的通项公式，且解不等式
后即可分析出
何时取到最大值．
【详解】依题意
，
，
所以
，解得
，所以
，
，令
，也即
，解得
，且
，
所以当
取到最大值时，
的值为4 或5．
故选：B．
6．（25-26 高三上·贵州·月考）已知公比不为1 的等比数列
的前
项和为
，
为
的前
项积，若
数列
是首项为2 的等差数列，则
的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】设等比数列
的公比为
，根据题意可得
，化简整理求得
，进而
求出通项
，
进而求出
，结合指数函数的单调性得解.
【详解】设等比数列
的公比为
，且
，由题知
，又
，得
，
所以
，
，
，
，
数列
是首项为2 的等差数列，可得
，得
，
解得
，所以
，则
，
又
，因为
，所以当
时，
取到最小值，
所以
.故选：B.
7．（24-25 高二下·安徽·月考）已知等比数列
中，
，
，设数列
的最大项为
，
最小项为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设等比数列
的公比为
，根据题意求出
、
的值，可得出数列
的通项公式，分析数列
奇数项和偶数项的单调性，可得出
、
的值，即可得解.
【详解】设等比数列
的公比为
，由
，解得
，
所以
，
，
当
为奇数时，
；
当
为偶数时，
.
所以，数列
的奇数项单调递增，偶数项单调递减，
故
，
，
，
故选：D．
8．（24-25 高二下·内蒙古鄂尔多斯·月考）已知
，
，成等比数列，且
，
，等差数列
满足
，
，则当数列
的前
项和取最小值时，
的值为（ ）
A．5
B．7
C．6 或7
D．5 或7
【答案】D
【分析】先求出等比数列
，
，的公比为
，进而可得等差数列
的公差及通项公式，再判断出数列
的前5 项都小于0，从第8 项起都大于零点，且第6 项为正，第7 项为负，第6 项与第7 项的和
为0，即可得答案.
【详解】解：设等比数列
，
，的公比为
,
由
，
，即
，解得
，由
，解得
，所以
，
又因为
为等差数列，且
，
，所以公差
，则
，
所以
，当
时，
；当
时，
，
又因为
，
，
，
所以当
或
时，
的前
项和最小.故选：D.
考向14 函数型性质3：等差正负不等式
在等差数列
中
（1）若
，则满足
的项数
使得
取得最大值
；
（2）若
，则满足
的项数
使得
取得最小值
．
即若
，则
有最大值（所有正项或非负项之和）；
若
，则
有最小值（所有负项或非正项之和）．
9．（24-25 高三全国专题练习）设等差数列
的前n 项和为
，且
（
），若
，
则（ ）
A．
的最大项是
B．
的最小项是
C．
的最大项是
D．
的最小项是
【答案】D
【分析】由已知不等式推出公差
，再结合
得出
且
，从而判断出前
项和
的最小
项为
.
【详解】
，
对于等差数列，
，代入得：
，
又因为
，代入化简可得：
，
对所有
成立，故公差
；
因为
，数列递增，故
，由
，且
；
因此：当
时，
，当
时，
；
前
项和
在
由负转正时取得最小值，即
是最小项.故选：D
10．（24-25 高二上·浙江绍兴·月考）在等差数列
中，
为其前
项和.若
，
，则下列
判断错误的是（ ）
A．数列
为递增数列
B．
C．数列
的前
项和最小
D．
【答案】C
【分析】推导出
，
，可判断BD 选项；利用等差数列的单调性可判断A 选项；分析可知，
当
且
时，
；当
且
时，
，可判断C 选项.
【详解】设等差数列
的公差为
，
对于A 选项，
，可得
，
，可得
，所以，
，
所以，
，所以，数列
为递增数列，A 对；
对于B 选项，由A 选项可知，
，B 对；
对于D 选项，由A 选项可知，
，D 对；
对于C 选项，因为数列
为递增数列，
当
且
时，
；当
且
时，
，
所以，数列
的前
项和最小，C 错.
故选：C.
11．（23-24 高三上·湖南邵阳·月考）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，则下列结论
正确的是（ ）
A．数列
是递增数列
B．
C．当
取得最大值时，
D．
【答案】B
【分析】根据等差数列求和公式及等差数列性质计算出
，且
，从而得到公差小
于0，
时，
取得最大值，判断ABC；利用
得到D 错误.
【详解】ABC 选项，
，∴
，
，∴
，
∴
，且
，B 正确；
∴公差
，等差数列
是递减数列，A 错误；
时，
取得最大值，C 错误；
D 选项，
，D 错误.
故选：B．
12．（2023·吉林白山·模拟预测）若等差数列
的前
项和为
，且满足
，对任意正整
数
，都有
，则
的值为（ ）
A．2020
B．2021
C．2022
D．2023
【答案】C
【分析】根据等差数列的前
项和公式以及数列的单调性得出结果.
【详解】依题意
，
又
，即
，则
则
，且
，
所以等差数列
单调递减，
，
所以对任意正整数
，都有
，则
．故选，C．
考向15 函数型性质4：等比“平衡点”不等式
等比数列“平衡点”型不等式
等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考：
1.若p＋q＝m＋n，则ap· a q＝
a m· a n，特别地，若p＋q＝2k，则ap· a q＝
a k
2
2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap· a q> a m· a n.
13．（25-26 高二上·黑龙江大庆·期末）已知等比数列
的前
项积为
，公比
，且
，则（ ）
A．
B．
C．存在
，使得
D．当
时，
最小
【答案】D
【分析】对于A，由
定义结合题设可判断选项正误；对于B，注意到
，则
，据此可判断选项正误；对于C，注意到数列
是单调递增数列，结合B 分析可判
断选项正误；对于D，注意到
，结合B 分析，可得
，结合数列
是
单调递增数列可判断选项正误．
【详解】因为
，所以
．
对于A，因为
，所以
，故A 错误；
对于B，因为
，
所以
，则
，故B 错误
对于C，因
，可知数列
是单调递增数列.又
，则当
时，
，所以
，故C 错误.
对于D，注意到
，则
，
从而
，又
，故
.当
时，
；当
时，
；所以
当
时，
最小，选项D 正确；
故选：D
14．（25-26 高三上·河南郑州·期中）已知等比数列
的前
项积为
，若
，若使
成立的最大自然数为
，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．4050
D．4051
【答案】C
【分析】通过分析得等比数列
为单调递减，且前
项大于1，
项以后小于1，再结合等比数列
的性质可得.
【详解】由
，所以
和
中一个大于1 一个小于1.
若公比
，而
，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以
；
若公比
，则数列为摆动数列，因
，所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与
矛
盾；
所以
，
，等比数列
是单调递减数列，且
，
.
所以当
时，
，当
时，
.
由等比数列性质，
，所以
，
.
当
时，
，
单调递增且
；
当
时，
，
,
单调递减且
；
当
时，
，即
，所以
时，
单调递减,
又
.
所以
，即
时，
单调递减且小于1.
所以
最大的自然数为
.故选：C.
15．（24-25 高二下·吉林松原·期中）设公比为q 的等比数列
的前n 项和为
，前n 项积为
，且
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列
无最大值
C．
是数列
中的最大值
D．
【答案】D
【分析】分析得到
，当
时，
，当
时，
，从而得到
有最大
值，最大值为
，
，
，得到D 正确，ABC 错误.
【详解】A 选项，
，若
，则对任意的
，都有
，则
，不合要求，A
错误；
BC 选项，若
，则
，与
矛盾，不合要求，
当
时，
，又
，所以
，即
，
又
，故
满足要求，故当
时，
，当
时，
，
故
有最大值，最大值为
，BC 错误；
D 选项，当
时，
，当
时，
，
故
，
，所以
，D 正确.
故选：D
16．（24-25 高三全国专题练习）设数列
是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为
，并且满足条件
，
，
，下列结论中：①
②
③
④使得
成立
的最小自然数n 等于4018，其中正确结论序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①③④
【答案】C
【分析】由题意可得
，
，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．
【详解】
，
，∴
，则
又
，
若
，则
，与前提矛盾，所以
，故①正确；
由等比中项的性质知：
，故③正确；
易知
，
，
且
使
成立的最小自然数等于4019，故②④不正确．
正确结论的序号是①③．故选：C．
考向16 函数型性质5：恒成立求参型
数列恒成立求参：
1. 数列恒成立题型，第一思维是“参变分离”，分离参数，转化为求最值。
2. 研究数列型母函数单调性，借助函数单调性来求最大值最小值求参。
特别注意点：
数列是“离散型”函数，所以最值点，要比较确认对应的正整数值。如果牵扯到奇偶“正负”变号型数
列，要注意，奇数，对应n=1,3,5,6.。。，偶数时，对应n=2,4,6,。。。，
17．（2024·浙江绍兴·三模）设
，已知
，若
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意得到
，推出
，得到答案.
【详解】由题意得
，故
，
故
，故
，由于
，故
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：
18．（23-24 高三上·四川·月考）已知数列
满足
，且
，若使不等式
成立
的
有且只有三项，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出数列
的通项公式，分n 为奇数和偶数两种情况，得到
，并根据单调性得到
，求出答案.
【详解】当
时，
，
所以
，
所以
，显然
也适合，所以数列
的通项公式为
．
当n 为奇数时，
，此时数列
的奇数项单调递增；
当n 为偶数时，
，
此时数列
的偶数项单调递增，要想使不等式
成立的
有且只有三项，
只需有
，即
，解得
，即
的取值范围为
．故选：D．
【点睛】数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两
项和或积问题；③含有
的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要分奇
偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减求和或裂项相消法求和
19．（20-21 高三上·河南南阳·月考）已知数列
的前
项和
，若不等式
，对
恒成立，则整数
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】由
求得
，再由
得出数列
是等差数列，求得
，用分离参数法变
形不等式，即可得解．
【详解】当
时，
，得
，当
时，
， 即
，所以
．又
，
所以数列
是以2 为首项，1 为公差的等差数列，
，即
．
，所以不等式
等价于
．当
时，
，当
时，
，
记
，
，
所以
时，
，即
，
递减，
时，
，
所以
的最大项是
，所以
，所以整数
的最大值为3．
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查求数列的通项公式，考查数列不等式恒成立问题，解题的关键是问题的转
化，不等式恒成立转化为求数列的最大项，考查学生的转化与化归能力，运算求解能力，属于较难题.
20．（24-25 高三全国专题练习）已知数列
满足，
，
，
（
）．对于
任意的正整数
，不等式
恒成立，则正整数的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】先用数学归纳法证明
，由
可得
对于任意的正
整数
，由
得
，结合
证得此范围成立
【详解】先用数学归纳法证明
，当
时，
，假设
时，
，
则当
时，
，即
，
又知
，所以
，所以
.
，为正整数，
所以
，对于任意的正整数
恒成立.由
，可得
，解得
.
所以必有
，为正整数，则
，又
，
也满足，
所以正整数的最小值4.故选：B.
【点睛】本题的关键有两个，一个是利用数学归纳法得
，另一个是因式分解得
，对于任意的
正整数
恒成立.本题属于难题.
冲刺练
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（25-26 高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）记等差数列
的前
项和为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质可得
的符号，再逐项判断后可得正确的选项.
【详解】因为
，故
，
，即
，
故
，故
，故
，故BD 错误，
而
，故C 正确；
取
，则
，
，但
，故A 错误，
故选：C.
2．（2026·湖北·模拟预测）已知数列
是等比数列，数列
是等差数列，若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由等比、等差数列的性质可得
，
，从而可得
，
，则有
，结合诱导公式求解即可.
【详解】因为数列
为等比数列，且
，即
，解得
，
所以
；又因为
是等差数列，且
，
即
，解得
，所以
，所以
，
所以
.故选：C.
3．（25-26 高二上·河北邯郸·月考）记数列
的前
项和
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用
与
的关系求解即可.
【详解】因为
，
当
；
所以
，
当
时，
，符合上式，所以
，
故选：C.
4．（河北雄安新区2025-2026 学年第一学期高二期末考试数学试题）已知等差数列
的前
项和为
，
若
，
，
，则使
成立的最小的
的值是（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
【答案】B
【分析】推导出
，利用等差数列的求和公式判断
的符号，即可得出结果.
【详解】因为等差数列
的前
项和为
，若
，所以
，
因为
，
，所以使
成立的最小的
的值是
20．
故选：B．
5．（25-26 高二上·北京·期末）已知数列
各项均为正整数，对任意的
，
和
中有且仅有一个成立，且
，
.记
.下列四个结论正
确的是（ ）
A．
可能为等差数列
B．
中最大的项为
C．
存在最大值
D．
的最小值为36
【答案】D
【分析】对 A，找出其与题目条件的矛盾；对BC，举反例数列可得；对D，分别列举
与
（即
）成立时的数列，求出
最小值即可.
【详解】对A，若
为等差数列，设公差为
，
当
时，对任意的
，
与
均成立；
当
时，对任意的
，
与
均不成立，
两种情况都不满足
和
中有且仅有一个成立，故A 错；
对B，给定数列
，
可知对任意的
，满足
和
中有且仅有一个成立，
中最大的项为
，不为
，故B 错；
对C，给定数列
，
假设
，则
，
与题意
和
中有且仅有一个成立产生矛盾，故
；
假设
，则
，
也与题意
和
中有且仅有一个成立产生矛盾，故
；
当
且
时，数列
各项满足题意，
因此，在给定数列
中，
可取任意大的正整数，
故
无最大值，故C 错；
对D，由题意
与
中有且仅有一个成立，
①若
，则
，设
，
则
，则
，设
，则
，
则
，设
，则
，
则
，故
.
即数列
.
故
，由题意
均为正整数，
因此，若
，则当且仅当
时，
即数列
，
取最小值
；
②若
，则
，设
，则
，
则
，设
，则
，则
，
设
，则
，则
，
，
由
，故
，即
，
即数列
.
故
，由题意
均为正整数，
因此，若
，则当且仅当
时，
即数列
，
取最小值
；
综合①②比较可知，
的最小值为
, D 正确.
故选：D.
6．（25-26 高三上·北京东城·月考）设数列
的各项均为非零的整数，其前n 项和为
．若
为正偶数，均有
，且
，则
的最小值为（ ）
A．32
B．26
C．24
D．22
【答案】D
【分析】因为
，分类讨论
的符号，由题意求出
的最小值，
的最
小值，进而求
有最小值.
【详解】因为
，所以
互为相反数，
若
，为了
取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，
由题意知：
满足
，取
的最小值
；
满足
，因为
，故取
的最小值
；
满足
，因为
，取
的最小值
；
同理，取
的最小值
；
所以
，
满足
，取
的最小值
；
满足
，因为
，所以
，取
的最小值
；
满足
，因为
，所以
，取
的最小值
；
同理，取
的最小值
；
所以
，
所以
，
因为数列
的各项均为非零的整数，所以当
时，
有最小值22；
若
，为了
取最小值，取奇数项为负值，取偶数项为正值，且各项尽可能小，
由题意知：
满足
，取
的最小值
；
满足
，因为
，故取
的最小值
；
满足
，因为
，取
的最小值
；
同理，取
的最小值
；
所以
，
满足
，取
的最小值
；
满足
，因为
，所以
，取
的最小值
；
满足
，因为
，所以
，取
的最小值
；
同理，取
的最小值
；
所以
，
所以
，
因为数列
的各项均为非零的整数，所以当
时，
有最小值22；
综上所述：
的最小值为22.故选：D.
7．（2025 高二·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，则下列选项正确的
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
判断A，由递推式得
，进而有
时
判断D，比较
与
大小判断B、C.
【详解】由于
，A 错误；
由
，即
，
时，
，所以
，
，……，
，所以
，又
，
所以
，可得
，
或
时，
，
，因此
，得
，D 错误；
对于B、C，只需比较
与
大小，易知
，
，
所以
，所以
，
，
，
，
，所以
，所以
，可得
，
所以
，B 对，C 错.故选：B
8．（25-26 高二上·浙江宁波·期中）若无穷数列
满足：
，当
时，
，则称
是“
数列”．则下列正确的是（ ）
A．若
是“
数列”，则
B．若
是“
数列”且是等差数列，则
单调递增
C．若
是“
数列”且单调递减，则
是等比数列
D．若
是“
数列”且是周期数列，则集合
的元素个数最多是
【答案】D
【分析】根据新定义
数列，计算判断A，结合等差数列，单调性，周期数列计算判断BCD.
【详解】对于A，若
是“
数列”，当
时，
，
，若
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，A 错误.
对于B，若
是“
数列”且是等差数列，设公差为
，
当
时，
，即
，
当
时，
，则
，
，即
，
此时
，数列
不单调递增，B 错误.
对于C，若
是“
数列”且单调递减，
当
时，
，因为数列单调递减，所以
.
当
时，
，因为数列单调递减，所以
.
当
时，
，因为数列单调递减，所以
.
可知数列不是等比数列，C 错误.
对于D，若
是“
数列”且是周期数列，假设周期为
，
当
时，
，
当
时，
，所以
或
若
时，当
时，
，所以
或
，
若
时，当
时，
，所以
或
，
这样数列值会越来越大（非周期），所以
若
时，当
时，
，所以
或
，
若
时，当
时，
，所以
或
，
若
时，当
时，
，所以
或
，
同理按此规律计算可得数列
的取值可能是
，
所以
的元素个数最多是
，D 正确.
故选：D.
二、多选题
9．（江苏扬州市2025-2026 学年度第一学期高二期末调研数学试题）已知数列
的前
项和为
，则下
列命题中正确的是（ ）．
A．若
，则
是等差数列
B．若
，则
是等比数列
C．若
是等差数列，则
D．若
是等比数列，且
，则
【答案】BC
【分析】利用和的关系即可判断A,B 选项；利用等差数列的求和公式即可判断C 选项；通过举例即可判断
D 选项.
【详解】对于A，当
时，
，所以
，当
时，
，
当
时，
，
所以
，所以
从第二项开始是等差数列，故A 错误；
对于B，当
时，
，所以
，
当
时，
，
当
时，
，所以
是等比数列，故B 正确；
对于C，若
是等差数列，所以
，所以
，故C 正确；
对于D，若
是等比数列，且
，当
时，满足
，
所以
，所以
，故D 错误；
故选：BC.
10．（湖南沅澧共同体2025-2026 学年高二上学期期末考试数学试题）设
是等差数列
的前
项和，
若
，则（ ）
A．
B．
C．当
取得最大值时，
D．使
成立的最大整数
为14
【答案】ACD
【分析】对于A，由题意可得
，
，由
，即可判断；对于B，结合A，可得
，从而得
，即可判断；对于C，由题意等差数列
单调递减，且
，
，即可判断；对
于D，由B 可知
，从而可得
，结合
，即可判断.
【详解】对于A，因为
，即
，
所以
，又因为
，
所以
，所以
，故A 正确；
对于B，因为
，
，
，
所以
，所以
，故B 错误；
对于C，由题意等差数列
单调递减，且
，
，
即数列
的前7 项为正，从第8 项起为负，所以
最大，
即
取得最大值时，
，故C 正确；
对于D，由B 可知
，所以
，
所以
，且
，
所以
成立的最大整数
为14，故D 正确.
故选：ACD.
11．（江苏省徐州市2025-2026 学年高二第一学期期末抽测数学试题）在各项均为正数的等比数列
中，
为前
项积，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】利用前
项积的意义，结合等比数列性质求出公比
，再逐项分析判断.
【详解】设各项均为正数的等比数列
的公比为
，
，
根据等比数列的性质得
，
又
在
上单调递增，
，
，故A 正确.
，
，则
，
则
，故B 正确.
，又
且
，
，故C 错误.
由
，得等比数列
为递增数列，则
，
，当
时，
，
，故D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2026·河北邯郸·模拟预测）数列
的前
项和为
，数列
满足
，若
，则数列
的最小项为 ．
【答案】
/0.32
【分析】先分别求出
，
的通项公式，进而求出
的通项公式，结合
的性质，讨论
的单调
性，进而求出
的最小项．
【详解】
数列
的前
项和为
，当
时，
，
当
时，
，
，
，
，记为
，当
时，
，
当
时，
，即
，
，
，
，
，
当
时，
，故
，当
时，
，故
，
当
时，
，
在
时递减，在
时递增，最小值出现在
处，
，故答案为：
．
13．（24-25 高三全国专题练习）已知函数
，且
，则实数的值为 ；若
，且
，则
的取值范围为
【答案】 1
【分析】求出
，即可计算
求解c；由c 得到
以及
，进而消元得到
，接着构造
，由b 的范围和
以及
的单调性即可分析求解.
【详解】由题可知
，
∴
，
令
，又
，
∴
，∴
，∴
；
∵
，∴
，
且
，
∵
，且由
，及
，可知
，
∴令函数
，则
，且易知
为单调递减函数，
∴
，即
，易知
，∴
的取值范围为
．
故答案为：1；
.
14．（24-25 高三全国专题练习）已知数列
满足
，设
的最大值，最小值分别为
，若
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】由
和
可得
，
按
的不同取值分类讨论求得
的最大值和最小值即可求解.
【详解】因为
，
所以当
时，
，
当
时，
也满足上式，故
，
当
时，当
时，
，数列
不存在最小值，不满足题意；
当
时，
，
所以当
为奇数时
，当
为偶数时
，
此时数列
的最大值
，最小值
，
，不满足题意；
当
时，当
为奇数时，
且随着
增大，
增大，
当
为偶数时，
且随着
增大，
减小
又因为当
且
时，
，即
，
当
时
，所以
，
，
所以
，即
，结合
解得
，
综上
的取值范围为
，故答案为：
结束
