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重难点09 等差等比数列与函数性质
内容导航
速度提升
技巧掌握
手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：等比数列性质与函数性质的考查紧密围绕 “基础巩固、综合交汇、能力导向” 这三方面展开。
从高考试卷分值来看，该部分内容单独考查或与其他知识结合考查时，占比约 6%-8%，题型覆盖选择题、
填空题与解答题，且在解答题中常作为中档题出现，部分年份（如 2024 年新高考Ⅰ卷）还出现数列与函
数结合的创新压轴题型。
从命题趋势看，呈现 “稳中有变” 的特点：“稳” 体现在等差、等比数列的基本性质（如通项公式、
前 n 项和公式、等差 / 等比中项）、函数的单调性与最值等核心考点持续高频出现；“变” 体现在背
景情境化、知识交汇深化，如在数列与函数、不等式、导数的结合更紧密），知识交汇处试题难度容易两
极化 。
预测2026 年：2026 年高考对 等差、等比数列与函数性质的考查将延续基础与能力题型为主，重点考查
等差、等比数列的核心公式与性质，，同时在情境设计、跨模块融合、设问创新上呈现新特征。 对于数
列的考察，还体现出 “中低档解答题” 升级为 “思维能力考查题”， 考查综合应用，考察数列与函
数、不等式、导数等深度融合。。
考向01 等差数列性质1：判定等差
等差数列的判定与证明的方法.
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个
数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母
表示，定义表达式为
（常数）
．
2.判定方法
定义法：
为同一常数 ⇔
是等差数列
等差中项法：
成立⇔
是等差数列
通项公式法：
为常数）对任意的正整数都成立⇔
是等差数列
前n 项和法：验证
为常数）对任意的正整数
都成立⇔
是等差数列
1．（25-26 高三全国专题练习）记
为数列
的前
项积，若
，则（ ）
A．
是公差为负数的等差数列
B．
是公差为正数的等差数列
C．
是公差为负数的等差数列
D．
是公差为正数的等差数列
2．（25-26 高三上·江苏扬州·期末）在无穷正项等差数列
中，记
为数列
的前
项和，则“
”是“数列
是等差数列”的（ ）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
都为偶函数，则
（ ）
A．516
B．520
C．0
D．1
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
满足
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
的定义域为
C．若
在
上单调递增
D．若
，则
考向02 等差数列性质2：等差中项应用
等差中项的概念
若三个数
，
，
成等差数列，则
叫做
与
的等差中项，且有
．
5．（25-26 高二上·甘肃·期末）已知圆的方程为
，过点
的
条弦长组成一个等
差数列
，且过点
的最短弦长和最长弦长分别为
，则
（ ）
A．5
B．6
C．9
D．
6．（25-26 高三上·湖北荆州·开学考试）一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余
弦值的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·福建福州·期中）已知函数
，若存在
使得
，
，
依次成等差数列，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·高三全国专题练习）已知
，在这两个实数
之间插入三个实数，使这五个数构成等
差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为
A．
B．
C．
D．
考向03 等差数列性质3：双等差比值转换型
双等差比值型
若{
}
na
与{ }
nb
为等差数列，且前n 项和分别为
n
S 与
'
n
S
，则
2
1
2
1
'
m
m
m
m
a
S
b
S
.
9．（24-25 高三上·安徽·月考）已知两个等差数列
的前
项和分别是
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列
，
都是等差数列，记
，
分别为
，
的前n
项和，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高二上·陕西榆林·月考）已知等差数列
与等差数列
的前
项和分别为
与
, 且
, 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（23-24 高二上·安徽蚌埠·月考）两个等差数列
，
的前
项和分别为
，
，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考向04 等差第19 题题型
13．（25-26 高三上·北京·月考）已知含有n 个元素的正整数集
（
）具
有性质P：对任意不大于
（其中
）的正整数k，存在数集A 的一个子集，使得
该子集所有元素的和等于k．
(1)写出
，
的值；
(2)证明：“
，
，…，
成等差数列”的充要条件是“
”；
(3)若
，求当n 取最小值时
的最大值．
14．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)若
为等差数列，且
，
，求数列
的通项公式；
(2)若对任意
，都有
．
①求证：
是等差数列；
②设
，
，
，求
的公差
的值．
考向05 等比数列性质1：等比判定
一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数
列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示（显然
）.
注意：
（1）等比数列中不能有0 项
（2）常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0 的数列,它就不是等比数列;当
常数列各项不为0 时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论.
证明方法：
(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0 的常数)⇔数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．
1．（25-26 高二上·天津北辰·月考）若数列
满足
，则称数列
为“梦想数列”，已知正
项数列
为“梦想数列”，且
，则
（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
2．（24-25 高二下·湖南·期中）已知各项均不为零的数列
，其前
项和为
，且
.下列结论中错误的是（ ）
A．
B．不存在实数
，使
为递减数列
C．存在实数
，使得
为等比数列
D．
，使得当
时，总有
3．（2024·云南昆明·模拟预测）作边长为6 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作
新三角形的内切圆，如此下去，则前n 个内切圆的面积之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·广东东莞·期末）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得
新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2 进行构造，第1 次得到数列1，
3，2；第2 次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（
）次得到的数列的所有项之和为
，
则
（ ）
A．1095
B．3282
C．6294
D．9843
考向06 等比数列性质2：等比中项应用
如果在
与
中间插入一个数
,使
成等比数列,那么
叫做
与
的等比中项,此时,
.
5．（24-25 高二上·天津南开·期末）已知数列
满足
，
是
，
的等比
中项，则数列
的通项公式
.
6．（2025 高三全国专题练习）在
中，
，角
与角
的平分线长分别为
，
，若
，
的等比中项是
，则
.
7．（2020·四川遂宁·模拟预测）已知正项数列
的前n 项和为
，且
是4 和
的等比中项，数列
，其前n 项的和为
，则
，
.
8．（23-24 高三全国专题练习）一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列，则
这个正实数是
考向07 等比数列性质3：等差等比“纠缠”型
等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。
1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。
2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。
9．（23-24 高三全国专题练习）已知公差不为零的等差数列
的前
项和为
，且满足
，
，
成等
比数列，
，数列
满足
，前
项和为
，则
.
10．（22-23 高三下·上海·月考）已知等差数列共有
项，各项与公差
均不为零，若将此数列删去
某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数列
组成的集合为 .
11．（22-23 高二下·江苏扬州·开学考试）已知等差数列
中，
，公差
，其前四项中去掉某一
项后(按原来的顺序)恰好是等比数列
的前三项，则
；若对任意的正整数n，
恒成
立，则实数λ 的取值范围为 ．
单调递增
极大值
单调递减
12．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）已知
成公比为2 的等比数列，且
．若
成等比数列，则所有满足条件的
的和为 ．
考向08 等比第19 题题型
13．（广东省清远市2025-2026 学年高二第一学期普通高中学科监测数学试题）已知数列
为无
穷整数数列，若
满足：对于任意的，
，都存在
，使得
，其中
，，
，
，则称数列
是“
因分数列”.
(1)若数列
的前
项和为
，且
，
.
（i）求数列
的通项公式；
（ii）证明：数列
是“
因分数列”；
(2)已知数列
是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列
是“
因分数列”，若
，
，
三个数中恰有两个出现在数列
中，求满足题意的
的公比.
14．（2026·广东·模拟预测）若数列
满足
，则称数列
为下凸数列
(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
(2)设
，其中
为公比不相等的正项等比数列，求证：
是下凸数列且不是等比数列；
(3)已知
为正项下凸数列
前
项和，
，证明：
．
考向09 前n 项和性质1：an 与sn 的转化
an 与sn：求通项公式
（1）已知等比数列
的首项为
,公比为
,则数列
的通项公式为
.
（2）第
项与第
项的关系为
,变形得
.
（3）由
可知,当
且
时,等比数列
的第
项
是指数函数
1．（23-24 高三全国专题练习）已知递增数列
的前
项和
满足
，
，设
，若对任意
，不等式
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．2023
B．2024
C．4045
D．8089
2．（2021·云南昆明·三模）已知数列
的前n 项和为
，
，
，则
（ ）
A．414
B．406
C．403
D．393
3．（23-24 高三全国专题练习）若数列
的前
项和为
，
，则称数列
是数列
的“均值
数列”.已知数列
是数列
的“均值数列”且通项公式为
，设数列
的前
项和为
，
若
对一切
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三全国专题练习）各项均为正数的等差数列
中，前
项和为
，当
时，有
，则
A．
B．
C．
D．
考向10 前n 项和性质2：等差奇偶和性质
设数列{
}
na
是等差数列，且公差为d ，
（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①
-
S
S
nd
奇
偶
； ②
1
n
n
S
a
S
a
奇
偶
；
（2）若项数为奇数，设共有2
1
n 项，则①S
S
偶
奇
na
a
中(中间项)；②
1
S
n
S
n
奇
偶
.
5．（23-24 高三全国专题练习）等差数列
共
项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则
．
6．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知一个项数为
的等差数列
，设其前
项和为
，其所有奇数项
的和为480，所有偶数项的和为360，公差
，则当
为偶数时，此数列首尾两项之和为 ．
7．（2024 高二上·全国·专题练习）已知等差数列
的项数为奇数，且奇数项和为
，偶数项和为
，
则数列的中间项为 ；项数为 ．
8．（11-12 高一下·浙江宁波·期中）一个等差数列的前12 项和为354，前12 项中偶数项和与奇数项和之比
为
，则公差d 为 .
考向11 前n 项和性质3：等比奇偶和性质
等比数列奇偶和型
（1）若等比数列的项数为
则
（2）若等比数列的项数为
。
则
9．（2024 高二·全国·专题练习）等比数列
共有2n 项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大
80，则公比
.
10．（23-24 高三上·四川成都·期中）数列
满足：
，数列
的前
项和记为
，则
．
11．（2020 高三·全国·专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项
之和为682，则这个数列的项数为
12．（23-24 高三全国专题练习）已知数列
中，
，
，则
的前200 项和
.
【点睛】本题考查数列求和，考查等比数列前
项和公式的应用，注意分奇偶项进行讨论，属于中档题.
考向12 函数型性质1：等差sn 二次函数
在处理等差数列
的前
项和
的最值时，往往转化为判定
的符号变化：
①若
，当
时，则当且仅当
最大；
②若
，当
时，则当且仅当
最小；
③若
最大，则
.
1．（24-25 高三全国专题练习）已知等差数列
的前
项和为
且
，则使
的
最大值
为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
2．（24-25 高二下·河南驻马店·月考）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则使
的最小的
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·山东烟台·月考）已知等差数列
的前
项和为
，
，且
，则
取最大
值时，
（ ）．
A．9
B．10
C．9 或10
D．10 或11
4．（23-24 高二上·福建宁德·期末）已知等差数列
的前
项和为
．若
，
，则当
取
最大值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向13 函数型性质2：单调性与最值
等比数列与函数的关系
(1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1；
(2)数列{an}是等比数列，Sn＝
，Sn 为
型线性指数函数。
（3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n 是离散型
5．（湖北省武汉市六所重点中学2025-2026 学年高二上学期期末数学试题）已知数列
是各项均为正数
的无穷等比数列，其中
，记
，求当
取到最大值时，
的值为
（ ）
A．4
B．4 或5
C．5
D．5 或6
6．（25-26 高三上·贵州·月考）已知公比不为1 的等比数列
的前
项和为
，
为
的前
项积，若
数列
是首项为2 的等差数列，则
的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
7．（24-25 高二下·安徽·月考）已知等比数列
中，
，
，设数列
的最大项为
，
最小项为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高二下·内蒙古鄂尔多斯·月考）已知
，
，成等比数列，且
，
，等差数列
满足
，
，则当数列
的前
项和取最小值时，
的值为（ ）
A．5
B．7
C．6 或7
D．5 或7
考向14 函数型性质3：等差正负不等式
在等差数列
中
（1）若
，则满足
的项数
使得
取得最大值
；
（2）若
，则满足
的项数
使得
取得最小值
．
即若
，则
有最大值（所有正项或非负项之和）；
若
，则
有最小值（所有负项或非正项之和）．
9．（24-25 高三全国专题练习）设等差数列
的前n 项和为
，且
（
），若
，
则（ ）
A．
的最大项是
B．
的最小项是
C．
的最大项是
D．
的最小项是
10．（24-25 高二上·浙江绍兴·月考）在等差数列
中，
为其前
项和.若
，
，则下列
判断错误的是（ ）
A．数列
为递增数列
B．
C．数列
的前
项和最小
D．
11．（23-24 高三上·湖南邵阳·月考）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，则下列结论
正确的是（ ）
A．数列
是递增数列
B．
C．当
取得最大值时，
D．
12．（2023·吉林白山·模拟预测）若等差数列
的前
项和为
，且满足
，对任意正整
数
，都有
，则
的值为（ ）
A．2020
B．2021
C．2022
D．2023
考向15 函数型性质4：等比“平衡点”不等式
等比数列“平衡点”型不等式
等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考：
1.若p＋q＝m＋n，则ap· a q＝
a m· a n，特别地，若p＋q＝2k，则ap· a q＝
a k
2
2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap· a q> a m· a n.
13．（25-26 高二上·黑龙江大庆·期末）已知等比数列
的前
项积为
，公比
，且
，则（ ）
A．
B．
C．存在
，使得
D．当
时，
最小
14．（25-26 高三上·河南郑州·期中）已知等比数列
的前
项积为
，若
，若使
成立的最大自然数为
，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．4050
D．4051
15．（24-25 高二下·吉林松原·期中）设公比为q 的等比数列
的前n 项和为
，前n 项积为
，且
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列
无最大值
C．
是数列
中的最大值
D．
16．（24-25 高三全国专题练习）设数列
是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为
，并且满足条件
，
，
，下列结论中：①
②
③
④使得
成立
的最小自然数n 等于4018，其中正确结论序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①③④
考向16 函数型性质5：恒成立求参型
数列恒成立求参：
1. 数列恒成立题型，第一思维是“参变分离”，分离参数，转化为求最值。
2. 研究数列型母函数单调性，借助函数单调性来求最大值最小值求参。
特别注意点：
数列是“离散型”函数，所以最值点，要比较确认对应的正整数值。如果牵扯到奇偶“正负”变号型数
列，要注意，奇数，对应n=1,3,5,6.。。，偶数时，对应n=2,4,6,。。。，
17．（2024·浙江绍兴·三模）设
，已知
，若
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（23-24 高三上·四川·月考）已知数列
满足
，且
，若使不等式
成立
的
有且只有三项，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（20-21 高三上·河南南阳·月考）已知数列
的前
项和
，若不等式
，对
恒成立，则整数
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
20．（24-25 高三全国专题练习）已知数列
满足，
，
，
（
）．对于
任意的正整数
，不等式
恒成立，则正整数的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
冲刺练
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（25-26 高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）记等差数列
的前
项和为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖北·模拟预测）已知数列
是等比数列，数列
是等差数列，若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高二上·河北邯郸·月考）记数列
的前
项和
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（河北雄安新区2025-2026 学年第一学期高二期末考试数学试题）已知等差数列
的前
项和为
，
若
，
，
，则使
成立的最小的
的值是（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
5．（25-26 高二上·北京·期末）已知数列
各项均为正整数，对任意的
，
和
中有且仅有一个成立，且
，
.记
.下列四个结论正
确的是（ ）
A．
可能为等差数列
B．
中最大的项为
C．
存在最大值
D．
的最小值为36
6．（25-26 高三上·北京东城·月考）设数列
的各项均为非零的整数，其前n 项和为
．若
为正偶数，均有
，且
，则
的最小值为（ ）
A．32
B．26
C．24
D．22
7．（2025 高二·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，则下列选项正确的
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高二上·浙江宁波·期中）若无穷数列
满足：
，当
时，
，则称
是“
数列”．则下列正确的是（ ）
A．若
是“
数列”，则
B．若
是“
数列”且是等差数列，则
单调递增
C．若
是“
数列”且单调递减，则
是等比数列
D．若
是“
数列”且是周期数列，则集合
的元素个数最多是
二、多选题
9．（江苏扬州市2025-2026 学年度第一学期高二期末调研数学试题）已知数列
的前
项和为
，则下
列命题中正确的是（ ）．
A．若
，则
是等差数列
B．若
，则
是等比数列
C．若
是等差数列，则
D．若
是等比数列，且
，则
10．（湖南沅澧共同体2025-2026 学年高二上学期期末考试数学试题）设
是等差数列
的前
项和，
若
，则（ ）
A．
B．
C．当
取得最大值时，
D．使
成立的最大整数
为14
11．（江苏省徐州市2025-2026 学年高二第一学期期末抽测数学试题）在各项均为正数的等比数列
中，
为前
项积，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（2026·河北邯郸·模拟预测）数列
的前
项和为
，数列
满足
，若
，则数列
的最小项为 ．
13．（24-25 高三全国专题练习）已知函数
，且
，则实数的值为 ；若
，且
，则
的取值范围为
结束
