AI聊数学:对数函数 复习巩固题(人教社普高必修第一册)

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从定义域的基础切入，结合奇次方根、平方根等特性拆解复合函数限制条件，深入讲解对数函数单调性及“同增异减”口诀在比较大小中的妙用。还通过火箭速度、鲑鱼洄游等实例，展现对数函数在物理、生物领域的精准建模能力，并揭示不同底数图象的位置规律与对称美。内容由浅入深，串联知识与应用，助你轻松掌握对数函数的魅力与解题诀窍。

今天咱们来做一份对数函数的“闯关攻略“——复习巩固题，一共六道，从定义域到应用题，逐个攻克。

好！对数函数我总觉得有点绕，正好趁这个机会理一理。

第一题，求两个函数的定义域。先看第一个：y 等于三次根号下 log 以 2 为底 x 的对数。

这道题的关键是——三次根号对被开方数有没有限制？

三次根号？没有限制！三次根号和平方根不同，它里面的数可以是正的、负的、零都行。所以唯一要管的就是 log 以 2 为底 x 的对数本身得有意义。

对！log 以 2 为底 x，要求 x 大于零。所以定义域就是 x 大于零，也就是开区间 0 到正无穷。

好，第二个就不同了：y 等于根号下 log 以 0.5 为底括号 4x 减 3 的对数。这里可是平方根！

平方根就有限制了——被开方数必须大于等于零。所以 log以 0.5 为底括号 4x 减 3 的对数必须大于等于零。

这个怎么解？

分两步。第一步，对数本身要有意义，4x 减 3 必须大于零，即 x 大于 4 分之 3。第二步，log 以 0.5 为底括号 4x 减 3 大于等于零。这里底数 0.5 介于 0 和 1 之间，对数函数是单调递减的，所以“log大于等于零“意味着真数小于等于 1。即 4x 减 3 小于等于 1，x 小于等于 1。

综合起来，x 大于 4 分之 3 且 x 小于等于 1，定义域是 4 分之 3 到 1 的左开右闭区间。

没错！总结一下求对数函数定义域的要点：第一，真数必须大于零；第二，如果有平方根，被开方数还要大于等于零；第三，判断对数不等式时，底数大于 1 不等号方向不变，底数在 0 和 1 之间不等号方向反转。

第二题，根据对数不等式比较 m 和 n 的大小。第一个：log 以 3 为底 m 小于 log 以 3 为底 n。

底数 3 大于 1，对数函数单调递增，所以“对数小“就意味着“真数小“。m 小于 n。

第二个：log 以 0.3 为底 m 小于 log 以 0.3 为底 n。

底数 0.3 在 0 和 1 之间，对数函数单调递减！“对数小“反而意味着“真数大“。m 大于 n。

方向反了！这个很容易出错。

所以一定要记住口诀——”底大于 1，同向；底小于 1，反向“。

第三个：log 以 a 为底 m 小于 log 以 a 为底 n，其中 a 在 0 和 1 之间。

底小于 1，方向反转，m 大于 n。

第四个：log 以 a 为底 m 大于 log 以 a 为底 n，其中 a 大于 1。

底大于 1，方向不变，m 大于 n。

总结：比较大小只需两步——先看底数比 1 大还是比 1 小，再决定不等号变不变向。

第三题是个应用题！火箭的最大速度 v 和燃料质量 M、火箭质量 m 的关系是 v 等于 2000 乘以 ln 括号 1 加 m 分之 M。问：燃料质量是火箭质量的百分之几时，速度能达到每秒 12 公里？

好，把已知条件代入。v 等于 12，所以 2000 乘以 ln 括号 1 加 m 分之 M 等于 12。两边除以 2000，得到 ln 括号 1 加 m 分之 M 等于 200 分之 1。

然后呢？

把 ln 脱掉——两边取以 e 为底的指数，1 加 m 分之 M 等于 e 的 200 分之 1 次方。所以 m 分之 M 等于 e 的 200 分之 1 次方减 1。

e 的 200 分之 1 次方大概是多少？

用计算器，e 的 200 分之 1 次方大约等于 1.005013。减 1 得到大约 0.005013，化成百分数大约 0.5%。也就是说，燃料质量只需要火箭质量的约 0.5%，速度就能达到每秒 12 公里！

才 0.5%？这也太少了吧？

看起来少，但别忘了这是对数关系——速度和燃料质量比是对数增长的，增长得很慢。后面要继续提速，需要的燃料比例会急剧增大。对数增长的“前期猛、后期慢“的特点，在这里体现得淋漓尽致。

第四题看图像。函数 y 等于 log 以 2 为底 x、log 以 5 为底 x、lg x 的图像，怎么区分？

这三个函数底数都大于 1，图像都是从左下到右上的递增曲线。区别在于——底数越大，在 x 大于 1 的区域图像越“贴“近 x 轴，增长越慢。

为什么？

因为对于同一个 x 大于 1，log 以 2 为底 x 大于 log 以 5 为底 x 大于 lg x——底数越大，对数值越小。比如 x 等于 100，log 以 2 为底 100 大约 6.6，log 以 5 为底 100 大约 2.9，lg 100 等于 2。所以从上到下依次是 log 以 2 为底 x、log 以 5 为底 x、lg x。

在 0 到 1 之间呢？

反过来了！因为对数函数在 0 到 1 之间取负值，底数越大负得越少，图像越靠上。但总体来看，三条曲线都过同一个点——x 等于 1 时，不管底数是多少，log 以任何正数为底 1 都等于 0。

那第二小问呢？画 log 以 2 分之 1 为底 x、log 以 5 分之 1 为底 x、log 以 10 分之 1 为底 x 的图像。

底数小于 1 的对数函数，图像是递减的——从左上到右下。而且它们和底数大于 1 的图像有对称关系——y 等于 log 以 a 分之 1 为底 x 的图像，和 y 等于 log 以 a 为底 x 的图像关于 x 轴对称！

为什么？

因为换底公式，log 以 a 分之 1 为底 x 等于负的 log 以 a 为底 x。函数值差一个负号，图形自然关于 x轴对称。

那第三小问“你发现了什么“？

综合观察六条曲线，会发现——所有对数函数图像都过定点括号 1, 0；底数大于 1 的递增，底数小于 1 的递减；底数的绝对值越大，图像越“贴合” x 轴。而且底数互为倒数的两个对数函数，图像关于 x 轴对称。

第五题也是应用题！鲑鱼游速 v 等于 2 分之 1 乘以 log 以 3 为底括号 100 分之 O 的对数。第一小问：耗氧量 O 等于 2700 时，游速是多少？

代入计算。v 等于 2 分之 1 乘以 log 以 3 为底括号 100 分之 2700。100 分之 2700 等于 27。log 以 3 为底 27 等于多少？3 的 3 次方等于 27，所以等于 3。v 等于 2 分之 1 乘以 3，等于 1.5，单位是米每秒。

第二小问：鱼静止时耗氧量是多少？

静止就是 v 等于 0。2 分之 1 乘以 log 以 3 为底括号 100 分之 O 等于 0，所以 log 以 3 为底括号 100 分之 O 等于 0。任何底数的 0 次对数，真数都是 1。所以 100 分之 O 等于 1，O 等于 100。

也就是说，鲑鱼即使不动，也需要 100 个单位的耗氧量来维持基本生命活动。这个 100 就是对数函数的“起点“。

没错！v 等于 0 对应 O 等于 100，就好比对数函数的图像过定点括号 1, 0——真数等于 1 时对数等于零，游速为零时耗氧量恰好是100。

第六题，药物注射的图像选择题。2 小时内药物含量线性增加，停止后指数衰减。选哪个？

分两段看。第一段：注射期间，药物含量随时间线性增加，图像是一条上升的直线。第二段：停止注射后，药物含量指数衰减——不是匀速减少，而是开始快后来慢，越来越接近零但不等于零。

所以图像应该是——先是一段上升的直线，然后是一条向下弯的曲线，逐渐趋于平缓，永远不会到零。

对！关键看衰减部分——指数衰减的图像是“下凸“的，就是弯向 x 轴方向，越来越平。不会是直线下降，也不会先慢后快。

那就是选项 B——先直线上升，再弯向 x 轴逐渐平缓的下降曲线。

没错！这道题考的是“线性增长 + 指数衰减“的图像识别。抓住两个特征：线性增长是直线，指数衰减是先快后慢的曲线。

六道题闯关完成！让我来总结——

第一，求定义域：真数必须大于零；有平方根时被开方数大于等于零；判断对数不等式时注意底数决定不等号方向。

第二，比较大小：口诀“底大于 1 同向，底小于 1 反向“。

第三，对数应用题：核心是代入求解，把对数方程化成指数方程。对数增长“前期猛后期慢“。

第四，对数函数图像：都过定点括号 1, 0；底数大于 1 递增，底数小于 1 递减；底数互为倒数的两个函数关于 x 轴对称。

第五，线性增长与指数衰减：线性增长是直线，指数衰减是先快后慢的下凸曲线，渐近但不归零。

再补充一条贯穿始终的规律——底数是对数函数的“性格开关“。底数大于 1，函数递增，不等号同向；底数小于 1，函数递减，不等号反向。遇到对数问题，先看底数，方向就不会错。

好，对数函数的“闯关攻略“，你掌握了吗？咱们下期见！

下期见！