2026年09月这次六级编程题从难度到考察知识点范围都比较正常，今天主要介绍下数组划分这个题目解题思路，跟之前的真题“划分字符串”和“计算得分”相似解题思路，详细过程如下：

➡️ 题目大意：

给定一个长度为 n 的整数序列，我们可以将序列切割成若干段连续子序列。

对每一段计算：该段元素和的平方。

求：所有分段平方和的最小值。

数据范围：n ≤ 2000，允许 O(n²) 算法。

➡️ 解题切入点：为什么这道题是「划分DP」？

拿到题目先观察特征：

- 问题针对整条序列操作

- 可以任意位置切割，分成多段

- 每一段独立算分，最后总分累加求最值

完全符合经典模型：序列划分 DP

✅ 固定解题流程：切序列 → 分段算分 → 枚举所有切割方案 → 取全局最优值

➡️ 推导 DP 状态与转移

1. 设计状态

我们定义：

dp[i]：前 i 个元素完成划分后，能得到的最小总平方和

最终答案：dp[n]

2. 思考如何转移（核心：枚举最后一段）

DP 的核心思维：想求前 i 个的最优解，只需要枚举「最后一段从哪里开始」。

假设：

前 i 个元素，最后一刀切在 j 的位置

• 前半段：1～j，已经是最优划分，代价为 dp[j]

• 后半段：j+1～i，单独作为最后一段，代价为「区间和的平方」

所以总代价 = 前 j 个最优解 + 最后一段代价

3. 快速求区间和：前缀和优化

设前缀和数组 s[i] 表示前 i 个元素的和：

s[0] = 0，

s[i] = a[1] + a[2] + … + a[i]

则区间 [j+1, i] 的和为：s[i] - s[j]

该段代价：(s[i] - s[j])²

4. 推出最终转移方程

枚举所有合法切割点 j（0 ≤ j < i）：

dp[i] = min( dp[j] + (s[i] - s[j])² )

5. 边界条件

dp[0] = 0：0 个元素，代价为 0

其余 dp[i] 初始化为无穷大，表示初始无解，后续不断更新最优值。

➡️ 算法复杂度分析

- 外层循环：枚举 i（1～n）

- 内层循环：枚举切割点 j（0～i-1）

总复杂度：O(n²)

n=2000 时，总运算量约 400 万，完全可以通过，无需斜率优化。

✅ 完整 AC 代码

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 2005;ll a[N], s[N], dp[N];intmain(){  int n;  cin >> n;  // 1. 读入数据 + 预处理前缀和  s[0] = 0;  for(int i = 1; i <= n; i++)  {    cin >> a[i];    s[i] = s[i - 1] + a[i];  }  // 2. DP数组初始化：无穷大  for(int i = 1; i <= n; i++)    dp[i] = 1e18;  dp[0] = 0;  // 边界：0个元素代价为0  // 3. 划分DP核心：切序列、算分段代价、求最值  for(int i = 1; i <= n; i++)  {    // 枚举所有切割点 j    for(int j = 0; j < i; j++)    {      ll cost = (s[i] - s[j]) * (s[i] - s[j]);      dp[i] = min(dp[i], dp[j] + cost);    }  }  cout << dp[n] << endl;  return 0;}

✅ 易错点总结

• 必须开 long long：区间和平方极易爆 int，不开 long long 必错

• 初始化不能为 0：dp 数组除 dp[0] 外必须初始无穷大

• 只能连续划分：划分 DP 只能切连续段，不能打乱顺序

• j 从 0 开始：j=0 代表前 i 个整体不切割，单独一段

大家好，我是信奥编程刘老师，后续将持续更新C++知识点、备考干货与真题技巧等，如果我的内容对你有帮助，欢迎发给身边有需要的朋友～

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