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真题研讨 初高贯通|一道旋转题 串起初中几何与高中函数
题源：南京外国语学校2025—2026学年八上期中第25题（压轴大题）。最小值为新增变式，解析配图原创重绘。虽然是初中平面几何，但也能用高中的知识来降维打击，很能体现初高贯通的思维。
同一道动点类旋转题，求最大值和求最小值，能否共用一个构造？将另一条线段也旋转相同的角度，就能把动点问题转化为两个定长之间的关系。下面先用几何方法寻找答案，再用坐标方法重新理解它。
一、原题与变式
原题第（1）问：如图1，和均为等腰直角三角形，且
连接 、，求证 。
图1 两个等腰直角三角形
第（2）问：如图2，点 、。点 为线段 外一动点，且 。将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 、。
求 长的最大值，以及取得最大值时点 的坐标，并说明理由。
变式：保持所有条件不变，求 长的最小值，以及取得最小值时点 的坐标。
图2 一般状态 原题与变式使用同一组条件
二、解答
以下解答仅针对第（2）小问及拓展变式，提供两种方法：
方法一是平面几何旋转，添加辅助线，三点共线求最值，适合初中生领会；
方法二是解析几何的方法，通过点坐标向量，构造目标函数，结合导数性质来求函数最值，适合高中生参考。
当然学有余力的同学都可学习了解，还有更多其他方法本文暂不讨论。
先看动点的轨迹。条件 表示：点 到定点 的距离始终为2，因此它在以 A 为圆心、半径为2的圆上运动。圆心坐标为 。
还要注意原题要求 M 在线段 AB 外：这个圆与线段 AB 只有一个公共点 ，所以该点不取。下面各几何坐标图用淡红色虚线圆表示轨迹，用空心点标出这个被排除的位置；函数图的坐标含义不同，不叠加此圆。
◆ 方法一｜平面几何：同时旋转 MA
共同构造。将 也绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 、。
图3 同时旋转 MA 与 MB，得到两个定长
由于 ，且 ，所以
同一次旋转把 送到 ，把 送到 ，因此
由旋转方向， 始终在 正上方3个单位处。接下来，最大值与最小值只差一个共线顺序。
① 原题：最大值
由三角不等式，
等号成立时，三点依次为 ，即 在线段 上， 竖直向上。
图4 最大值：A、T、P 依次共线
取 的中点 。等腰直角三角形 中，
为符合逆时针旋转方向， 在 左侧。由 可得
按图4构造， 且旋转方向正确，点 不在线段 上，故上界可以取到：
② 变式：最小值
换一个方向使用三角不等式：，于是
因为 ，这个下界为正。等号成立时，三点依次为 ，即 在线段 上， 竖直向下。
图5 最小值：T、A、P 依次共线；AP 很短，P 用引线标注
仍取 的中点 ，则 。此时，为符合逆时针旋转方向， 在 右侧。因此
按图5构造可验证 ，且 逆时针旋转 后得到 。该点不在线段 上，故下界同样能取到：
◆ 方法二｜解析几何：坐标、向量、构造函数
阅读说明：下面采用高中解析几何的坐标化思路，并使用向量旋转；末尾补充求导判断单调性的写法。这些作为拓展阅读，暂不对初中生作掌握要求。其实本题的函数单调性不用求导也能判断。
共同建模。设 ，由 得
从 指向 的位移为 。逆时针旋转 把 变为 ，因此
由两点间距离公式，结合圆的约束消去二次项：
令 ，则
由恒等式
可知
在这个区间上， 随 增大而增大，开平方后仍然如此，所以 严格递增。
图6 左端点对应最小值，右端点对应最大值
① 原题：最大值
由单调性，
取等时 ，且恒等式中的另一个平方项为零，所以
解得
② 变式：最小值
同理，
最后一步利用了 。取等时
解得
两组坐标都满足 ，且纵坐标均非零，因此都不在线段 上。最大值与最小值都能实际取得，对应位置见图4、图5。
高中拓展：用导数重述。在上述区间内，根号内始终为正：
因此在区间内部，
结合端点处的连续性，可知函数在整个闭区间上严格递增，故左端点取最小值、右端点取最大值。这只是对前面单调性判断的另一种表述。
三、总结
一次辅助旋转，同时解决两个问题。几何法把动点关系变成两个定长，坐标法把距离化成一个单调函数。两条路线给出相同的答案：
最大值：
最小值：
几何上，最大值对应 依次共线，最小值对应 依次共线。函数上，它们对应同一个闭区间的右、左端点。
最值题的完整答案，不只有一个数，还要说明：界从何来，等号何时成立，以及这个位置是否符合题意。
所谓“初高贯通”，并不只是提前学会几个高中公式，而是学会从不同的角度理解同一个问题：初中几何中的定长、旋转与全等，到了坐标系中，可以表达为方程与函数；几何图形中的特殊位置，也对应着函数取得最值的条件。
我们从“最大值是多少”继续追问“最小值呢”，再比较两种解法，正是在练习这样的思维转换。真正值得从这道题中带走的，不只是两个答案，而是面对新问题时，多问一步、换个角度，并把理由说清楚的习惯。
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