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运筹说第161期 | 运筹学教程第一章习题讲解01:资源有限,如何利润最大?

发布时间：2026-10-09 15:56:15 最近访问：2026-10-09 15:56:16

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欢迎来到运筹说专题《运筹学习题精讲篇》。本篇将带领大家一起从《运筹学教程》第一章开始，按章节顺序对课后习题进行答疑分析。每期选取课后典型题目，给出具体答案和完整解题过程，并围绕该章节的知识点展开讲解，把教材中的概念、公式和方法融入题目之中，帮助大家理解题目为什么这样做、知识点怎么用。我们会一章一章推进，一道一道分析，力求把课后题讲清楚、讲透彻。第01期，我们从第一章开始，本期主要讲解课后习题1.1-1.4：

1.1 题目

判断下列说法是都正确，为什么？

（1）若线性规划问题的可行域有界，则任一可行解都可以用全部基可行解的凸组合表示。

（2）线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。

（3）对一个有 n 个变量，m 个约束条件的标准型线性规划问题，其可行域的顶点恰好为个。

（4）用单纯形法求解线性规划问题时，与对应的变量都可以被选作换入变量。

1.1 答案

（1）正确。若线性规划问题的可行域有界且非空，则可行域是一个有界凸多面体。有界凸多面体中的任意一点都可以表示为其顶点的凸组合。而线性规划中，基可行解对应可行域的顶点，因此任一可行解都可以用全部基可行解的凸组合表示（某些基可行解系数可为 0）；

（2）错误。线性规划问题的每一个基可行解对应可行域的一个顶点；

（3）错误。基的个数最多为个，但并非所有基都是可行基，只有那些对应的基解满足非负条件的基才是可行基。即便所有基都是可行基，退化情况下多个基可行解可能对应同一个顶点，因此顶点个数不超过，而不是恰好相等；

（4）错误。对于求标准型线性规划问题，目标函数是求极大，非基变量检验数大于0满足换入条件，可以选作换入变量；但当求解非标准型的线性规划问题时，不满足。

知识点总结：

基：A中 m 个线性无关列构成的 m×m 可逆矩阵 B，最多个。
基解：令非基变量为 0，解 Ax=b 得到的解，不要求非负。
基可行解：满足 x≥0 的基解，对应可行域的顶点。
顶点：可行域凸集中不能表示为其他两点凸组合的点。
核心定理：X 是顶点⇔X 是基可行解；若有最优解，必在基可行解达到。
换入变量：求极大时选检验数 >0 的非基变量；可任选，最大检验数/Bland规则只是策略。
易错点：基解 ≠ 基可行解；基的个数 ≠ 顶点个数；退化时多个基可行解对应同一顶点。

1.2 题目

用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

1.2 答案

（1）a-图解法：

当经过点时z 最小，且具有无穷多个解。

b-单纯形法：化为标准型

由线性规划问题的标准型可列出初始单纯形表并逐步迭代：

单纯性表的计算结果表明:，同时发现存在非基变量检验数为0，说明该线性规划问题有无穷多最优解。

（2）a-图解法：

无可行域，无解。

b-单纯形法：化为标准型

所有，但基变量中含非零人工变量，无可行解。

（3）a-图解法:

b-单纯形法：化为标准型

单纯性表的计算结果表明，非基变量检验数小于零，说明该线性规划问题有唯一最优解。

（4）a-图解法：

可行域无界，目标函数求极大，无界解。

b-单纯形法：化标准型

x₃的检验数大于零，且对应这一列为负数，无界解。

知识点总结：

一、图解法（适用于两个变量）

步骤：画约束边界 → 确定可行域 → 画目标函数等值线 → 平移找最优解。

最优解位置：若存在，必在可行域的顶点（或边界）上达到。

二、单纯形法（适用于标准型）

核心步骤：化标准型 → 找初始基可行解 → 计算检验数 → 判断最优性 → 换入换出迭代。

换入变量：求极大时，选检验数 >0 的非基变量（通常选最大者加速收敛）。

换出变量：由 θ 规则（最小比值）确定。

三、解的四种类型判别（核心考点）

四、易错点提醒

极小化问题：检验数判别方向与极大化相反。

无界解 ≠ 无最优解：无界解属于无最优解的一种，但无最优解还包含无可行解。

退化情况：多个基可行解可能对应同一顶点，换入换出时需注意循环。

1.3 题目

将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。

1.3 答案

（1）令,则标准型可写为：

（2）令,则标准型可写为：

知识点总结：

标准型：目标求极大、约束全等式、变量全非负、右端常数非负。
极小化：令 z′=−z，转为求极大。
变量非正：令 x_j= −x_j′，且 x_j′ ≥ 0。
自由变量：令 x_j= x_j′ − x_j′′，且 x_j′,x_j′′ ≥ 0。
≤ 约束：左边加松弛变量，化为等式。
≥ 约束：左边减剩余变量，化为等式。
右端为负：两边同乘 −1，注意不等号方向反转。
初始基：优先选松弛变量；不足时引入人工变量构造单位矩阵。
人工变量：按 −M 法或两阶段法处理，初始表中作为基变量。
易错点：目标函数忘变号；漏加松弛变量或漏减剩余变量；右端变号时不等号方向漏改；自由变量拆分漏项。

1.4 题目

对下列线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。

1.4 答案

（1）化为标准型：

系数矩阵：

从5个列向量中选取3个构成基，共有种组合。其中：

列向量线性相关，不能构成基，无基解。其余8组可以构成基，对应基解如下表：

最优解，最优目标函数Z*=14。

（2）化为标准型：

系数矩阵：

从5个列向量中选2个构成基，共有种组合。其中：

列向量线性相关，不能构成基，无基解。其余8组可以构成基，对应基解如下表：

最优解，最优目标函数Z*=36。

知识点总结：

基：从系数矩阵 A 中选出 m 个线性无关列构成的 m×m 可逆矩阵 B。
基解：令非基变量为 0，解 Ax=b 得到的解，不要求非负。
基可行解：满足 x≥0 的基解，对应可行域的顶点。
找所有基解：枚举所有基，分别令非基变量为 0 求解。
基的个数：最多个，需剔除奇异基。
判断基可行解：解出后检查是否所有分量均非负。
确定最优解：比较所有基可行解的目标函数值，取最大或最小。
核心定理：若线性规划有最优解，必可在基可行解中取得。
易错点：基解 ≠ 基可行解；漏枚举基；非基变量设错；目标值比较遗漏。

本期小结

本期是《运筹学习题精讲篇》的第01期，我们围绕《运筹学教程》第一章的课后习题1.1—1.4进行了讲解。

1.1 通过判断题，辨析了基、基解、基可行解、顶点以及换入变量等基本概念，重点区分了“基解不一定可行，基可行解才对应顶点”这一核心结论。1.2 用图解法和单纯形法求解线性规划问题，并归纳了唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情形的判别方法。1.3 讲解了如何将一般线性规划问题化为标准型，并列出初始单纯形表，核心是“目标求极大、约束化等式、变量非负、右端为正”。1.4 则通过枚举所有基解，找出基可行解并确定最优解，进一步巩固了“最优解必在基可行解中取得”这一重要定理。

总的来说，这四道题从概念辨析到方法应用，再到标准化和基解枚举，构成了第一章线性规划基础部分的完整训练链条。掌握这些内容，是后续学习单纯形法迭代、对偶理论和灵敏度分析的前提。

下一期，我们将继续讲解《运筹学教程》第一章的后续习题，进入单纯形法的具体迭代与最优性检验等内容。如果你在学习过程中遇到哪道课后题卡住了，欢迎在留言区留下题号，我们下期见。