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【小学数学模型】09|周长平移模型横竖平移到边,周长秒变长方形
数学模型 · 小学数学 · 第 09 篇
09｜周长平移模型
横竖平移到边，周长秒变长方形
一、开门见山：这节课解决什么问题
同学们看这道题：一个楼梯形的图形，台阶一级一级的，横边竖边十几条，问你周长是多少——可题目偏偏不给每一段的长度，只说横向总跨度 12 厘米、纵向总跨度 8 厘米。很多同学开始一段一段地加，加着加着就晕了。其实这类题是「纸老虎」：只要把边平移一平，十几条边瞬间变成一个规规矩矩的长方形！这就是我们今天要学的「周长平移模型」，小升初填空题、选择题里的高频送分题型，学完这节课，楼梯形、L 形、E 形、凹字形的周长你都能口算搞定。
二、知识清单：先把地基打牢
●周长的定义：封闭图形一周的长度。记住是「一周」，里面的线、不沿边缘的线都不算数。
●长方形周长公式：C=2×(长+宽)，这是平移之后要用的「落脚点」。
●平移的性质：线段沿水平或竖直方向平行移动，长度不变——这是整个模型合法性的来源。
●水平边与竖直边：横着的边叫水平边，竖着的边叫竖直边。楼梯形、L 形、凹字形全是由这两类边组成的，这是能用平移模型的前提。
●「跨度」的含义：图形从最左到最右的水平距离叫横向跨度，从最上到最下的竖直距离叫纵向跨度。平移之后，跨度就是长方形的长和宽。
三、概念讲透：这个模型到底在说什么
这个模型的核心思想一句话：把凹进去或凸出来的边，沿水平、竖直方向平移，图形就变成规则长方形（或长方形挖角），周长不变，或者只需再加上挖去部分的特殊边。
为什么平移后周长不变？我们拿楼梯形来说。想象楼梯的每一级横边，把它上下平移，可以无缝拼到图形最下面那条长边上；每一级竖边左右平移，可以拼到最旁边那条宽边上。平移不改变长度，所以「所有水平边之和」拼起来恰好是「两条横向跨度」的长度——因为图形的上方边缘和下方边缘，横向跨度是一样的！竖直方向同理。于是整个楼梯形的周长，就等于一个长为横向跨度、宽为纵向跨度的大长方形的周长：2×(12+8)=40。台阶是十级还是二十级，每级多宽多高，根本不影响周长——这就是为什么题目敢不给每段的长度。
那什么时候周长会变？同学们注意「挖缺口」的情形。如果缺口挖在角上：比如长方形掰掉一个角，掰掉后新出现的两条边，恰好补上原来被掰掉的两条边，一增一减，周长不变。但如果缺口挖在一条边的中间（凹字形）：原来那条边被分成了两截，缺口的底边在内部「替代」了原来的边（平移缺口底边可以补回去，这部分不多不少），可是缺口两侧伸进去的两条竖边是白白多出来的！所以凹字形周长 = 大长方形周长 + 两侧多出的两条边的长度。这句话是本模型最容易被坑的地方，后面例题细讲。
什么时候用？题干特征非常明显：①图形是横平竖直的折线图形（楼梯形、L 形、E 形、凹字形、十字形）；②只求周长不求面积；③不给每段长度，或只给总跨度、总级数。看到这三条，立刻上平移模型。要提醒的是：这个模型只对水平、竖直的边有效，图形里出现斜边（比如梯形、平行四边形），斜边没法通过平移变成长方形的边，就不能硬套。
四、核心公式（每个字母都要认识）
●C：平移之后规则长方形的周长，也就是原图形的周长。
●a：横向总跨度——所有水平边上下平移拼合后对应的长。
●b：纵向总跨度——所有竖直边左右平移拼合后对应的宽。
●常见变形一：若已知所有水平线段之和 m、所有竖直线段之和 n，则 C=2×(m+n)，因为水平边总和 = 两条横向跨度之和。
●常见变形二（边上挖凹槽）：C=2×(a+b)+2× 凹槽深度；角上挖则仍是 C=2×(a+b)。
五、图形长什么样
模型结构示意图
●第一步：看边。确认图形全部由水平边和竖直边组成（有斜边则另想别法）。
●第二步：找跨度。量出（或找出）横向总跨度 a、纵向总跨度 b，心里把它们描成大长方形的长和宽。
●第三步：查缺口。图形有没有往里凹的缺口？缺口在角上 → 周长不变；缺口在边的中间 → 周长要加上缺口两侧的两条短边。
●第四步：套公式。C=2×(a+b)，必要时加上或减去修正量。
●第五步：验方向。台阶再密周长也不变；缺口在边上必然「变长」，用常识扫一眼答案合不合理。
六、标准解题流程
1把所有水平方向的边上下平移对齐。
批注 在草稿图上动手画虚线，把台阶横边一条条「推」到底边上去，眼见为实，比空想稳得多。
2把所有竖直方向的边左右平移对齐。
批注 同上，把竖边「推」到侧边上去，图形立刻显出长方形原形。
3原图形 → 规则长方形，周长 = 2×(长 + 宽)。
批注 长 = 横向跨度，宽 = 纵向跨度，别把台阶的级数、级高掺和进来——它们已被平移「消化」了。
4若中间有「挖缺口」，缺口平移后补全，注意是否多出缺口内两条边。
批注 角上挖不变、边上挖加两条侧边，这是本题型的「题眼」，考前必背。
七、例题精讲：从基础到变式
例1（基础）
题目
一个楼梯形（阶梯折线）图形，横向总跨度 12 厘米，纵向总跨度 8 厘米，每级台阶尺寸不影响周长。求图形周长。
例1 题图
审题关键
圈出「横向总跨度 12」「纵向总跨度 8」——这两个数就是平移后长方形的长和宽；「每级台阶尺寸不影响周长」这句话是命题人在提示你用平移。
规范解答
把台阶的横边全部上下平移，拼成大长方形的长边；竖边全部左右平移，拼成宽边。台阶的级数、级高在平移中互相抵消，周长等于以 12 为长、8 为宽的长方形周长：C=2×(12+8)=2×20=40（厘米）
方法提炼
楼梯形不管有多少级台阶，周长永远等于「外包大长方形」的周长——横竖一平移，复杂图形变口算题。
例2（变式）
题目
（变式）长方形长 10、宽 6，在一条长边上正中挖进一个宽 2、深 2 的凹槽，求剩余图形周长。
例2 题图
审题关键
圈出「在一条长边上」——说明缺口挖在边的中间，不是角上，要多出两条侧边！这是本题的陷阱所在。
规范解答
原长方形周长 =2×(10+6)=32。凹槽沿边挖开：凹槽的底边（宽 2）平移后恰好补上被挖掉的长边缺口，不多不少；但凹槽两侧各多出一条深 2 的竖边，共 2×2=4。所以C=32+4=36若凹槽挖在角上，则一增一减恰好抵消，周长仍是 32 不变。
方法提炼
变式从「平移不变」升级到「平移后要修正」：边上挖缺加两条侧边，角上挖缺周长不变。挖的位置决定答案，读题时先给缺口定位。
八、小升初常考题型精讲
题型一：楼梯形直接平移型
题目
一个楼梯形图形的横向总跨度为 15 厘米，纵向总跨度为 10 厘米，图形周长 = ____ 厘米。
题型一 题图
审题关键
给了两个跨度，直接当长和宽用。
规范解答
台阶横边、竖边平移后等于长方形周长：C=2×(15+10)=50（厘米）
方法提炼
跨度即长宽，2×(15+10) 一步出答案。
题型二：跨度已知的选择型
题目
一个楼梯形图形的横向总跨度为 20 厘米，纵向总跨度为 15 厘米，它的周长是（ ）
A．60 厘米 B．70 厘米 C．35 厘米 D．50 厘米
题型二 题图
审题关键
选项里 35 = 20+15，是忘乘 2 的同学挖的坑；60 是只算了一条长加一条宽再多算一点，都属于经典错误答案。
规范解答
横边平移拼成长边 20，竖边平移拼成宽 15：C=2×(20+15)=70（厘米）
方法提炼
看到干扰项不要慌——周长是「两圈长加宽」，2×(20+15)，别被 35 骗走。
题型三：凹字形周长型
题目
一个凹字形图形的外框是长 16、宽 12 的长方形，顶部凹进一个长 4、深 3 的长方形缺口，它的周长是 ____。
题型三 题图
审题关键
圈出「顶部凹进」——缺口在边的中间，两侧各多一条深 3 的竖边；缺口长 4 用来确认底边能补回去，其实不参与计算。
规范解答
外框周长 =2×(16+12)=56。凹口两侧各多出深 3 的竖边，共增加 2×3=6；凹口的底边（长 4）平移后正好补上被挖走的长边，长度不变。所以C=56+6=62
方法提炼
凹字形周长 = 大长方形周长 + 2× 缺口深度；缺口的长（宽 4）只是「陪跑数据」。
题型四：铺地毯拉直型
题目
一段台阶共 10 级，每级台阶宽 3 分米、高 2 分米。沿台阶铺一条地毯，地毯至少长（ ）
A．25 分米 B．30 分米 C．50 分米 D．100 分米
审题关键
地毯要贴着台阶铺，横着走每级宽 3、竖着走每级高 2——「拉直」思想：横的总长加竖的总高。
规范解答
横向总长 =10×3=30（分米），纵向总高 =10×2=20（分米），地毯沿折线铺，长度等于横竖两段拉直之和：30+20=50（分米）
方法提炼
铺地毯 = 台阶周长的一半（只算上表面和立面），本质还是「横归横、竖归竖」的平移拉直思想。
题型五：水平竖直总和应用型
题目
一个由横竖线段组成的不规则封闭图形，所有水平线段长度之和为 25，所有竖直线段长度之和为 18，它的周长是 ____。
题型五 题图
审题关键
给了「水平总和」和「竖直总和」，这是平移模型最本源的形态——不需要知道图形长什么样！
规范解答
任意横竖图形中，水平边之和 = 上下两条横向跨度之和，竖直边之和 = 左右两条纵向跨度之和，因此周长就是水平总和加竖直总和的 2 倍少算一次的方向——即C=2×(25+18)=86
方法提炼
只要图形全由横竖边组成，「2×(水平总和 + 竖直总和)」永远成立，图形画不画得出都无所谓。
九、真题再现：经典考题拆解
（经典考题）
题目
一个 E 形图形，外框是长 9 厘米、宽 6 厘米的长方形，右侧向左挖了两个缺口：每个缺口都从右边挖到正中，长 4 厘米、宽（深度）2 厘米（两个缺口上下分布，中间隔着一条 2 厘米的横边）。求这个 E 形图形的周长。
（经典考题） 题图
审题关键
E 形 = 长方形右边挖了两个缺口，每个缺口都在边的中间，各多出两条深 2 的边。
规范解答
外框周长 =2×(9+6)=30（厘米）。每个缺口多出两侧共 2×2=4（厘米）的边，两个缺口共 4×2=8（厘米）。缺口底边平移后补回被挖走的边，不增不减。所以C=30+8=38（厘米）
方法提炼
E 形就是「挖两个凹槽」，每挖一个加 2× 深度，有几个加几次——把模型公式变成乘法算式。
（改编自常见考题）
题目
一个 L 形图形，由一个长 12 厘米、宽 8 厘米的长方形，在右上角挖去一个长 7 厘米、宽 5 厘米的长方形得到。求这个 L 形图形的周长。
（改编自常见考题） 题图
审题关键
缺口在角上（右上角）——角上挖去，周长不变！别手痒去加边。
规范解答
右上角挖去长 7、宽 5 的长方形后，新出现的两条边长 7 和 5，恰好补上原来消失的两条边长 7 和 5，一增一减正好抵消。所以 L 形周长 = 原长方形周长：C=2×(12+8)=40（厘米）
方法提炼
「角上挖，周长不变」是平移模型的经典结论；判断缺口位置是第一动作，算之前先问自己：挖在角上还是边上？
十、易错点与避坑指南
✗ 常见错误见缺口就加边，角上挖去的长方形也老老实实把新边加进周长。→
✓ 正确做法先给缺口定位——「挖在边上」会多出缺口内侧的 2 条边，周长变大；「挖在角上」新增边与消失边恰好抵消，周长不变。
✗ 常见错误把台阶的每级宽、每级高逐段相加，段一多就加错或漏加。→
✓ 正确做法只看横向跨度与纵向跨度，周长 =2×(跨度之和)；台阶的级数级高已被平移消化，逐段硬算是自找麻烦。
✗ 常见错误图形里带斜边也硬套长方形公式。→
✓ 正确做法平移只对「横平竖直」的边有效，斜边不能平移成跨度，遇到斜边要单独计算它的长度。
✗ 常见错误把图形内部的线段、对角线也算进周长。→
✓ 正确做法周长只算「沿边缘走一圈」，内部线条一概不碰。