【高一同步重难点】第六章6.4.3课时1余弦定理考点重点难点讲解

(一) 余弦定理：

1、公式表达：a²=b²+c²-2bccosA，b²=a²+c²-2accosB，c²=a²+b²-2abcosC

2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍

【注意】余弦定理的特点

(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．

(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．

3、推论：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)

4、余弦定理的推导示例：在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

如图，因为(AC)=(AB)+(BC)，∴(AC)^(2)=((AB)+(BC))^(2)，

即(AC)^(2)=(AB)^(2)+(BC)^(2)+2(AB)∙(BC)=(AB)^(2)+(BC)^(2)+2|(AB)|∙|(BC)|(cos180°-B)，从而b^(2)=a^(2)+c^(2)-2accosB；

同理，根据(AB)=(AC)+(CB)，(BC)=(BA)+(AC)，可以得到c^(2)=a^(2)+b^(2)-2abcosC，a^(2)=b^(2)+c^(2)-2bccosA

(二) 解三角形

1、解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C和她们的对边a，b，c叫做三角形的元素.

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

2、余弦定理在解三角形中的应用

(1)类型1：已知两边及一角，解三角形

方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：

一是利用余弦定理的推论求出其余角；

二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；

(2)类型2：已知三边解三角形

法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一

法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解

(三) 判断三角形形状时常用到的结论

1、ΔABC为直角三角形⇔a^(2)=b^(2)+c^(2)或b^(2)=a^(2)+c^(2)或c^(2)=a^(2)+b^(2)

2、ΔABC为锐角三角形⇔a^(2)+b^(2)>c^(2)，且b^(2)+c^(2)>a^(2)，且c^(2)+a^(2)>b^(2)

3、ΔABC为钝角三角形⇔a^(2)+b^(2)<c^(2)，且b^(2)+c^(2)<a^(2)，且c^(2)+a^(2)<b^(2)

4、若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=(π)/(2)

附：高一、高二上学期期末备考专题

1.高一数学试卷（持续更新中）

2.高二数学试卷（持续更新中）

3.高三数学试卷（持续更新中）

4.高一高二数学同步重难点

5.高三一轮二轮数学同步重难点

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