问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量。①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。等差数列：
在一列数中，任意相邻两个数的差固定不变，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：
首项：等差数列的第一个数，一般用 a₁表示；
项数：等差数列所有数的个数，一般用 n 表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示；
通项：表示数列中第n个数的公式，一般用 aₙ表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 Sₙ表示。
基本思路：
等差数列涉及五个量：a₁，aₙ，d，n，Sₙ。通项公式包含四个量，已知其中三个，就可以求出第四个；求和公式包含四个量，已知其中三个，就可以求出第四个。
基本公式：
通项公式：aₙ = a₁+(n－1) d
通项＝首项＋（项数−1）× 公差
数列和公式：Sₙ = (a₁+aₙ)×n÷2
数列和＝（首项＋末项）× 项数 ÷2
项数公式：n= (aₙ−a₁)÷d＋1
项数＝（末项−首项）÷ 公差＋1
公差公式：d = (aₙ－a₁)÷(n－1)
公差＝（末项－首项）÷（项数－1）
关键问题：
确定已知量和未知量，选择对应的公式进行计算。
用 0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示2个十（20），百位上的2表示 2个百（200）。
所以 234=200+30+4=2×10²+3×10¹+4×10⁰。
N=Aₙ×10ⁿ⁻¹+Aₙ₋₁×10ⁿ⁻²+Aₙ₋₂×10ⁿ⁻³+……+A₂×10¹+A₁×10⁰
注意：N⁰=1；N¹=N（其中 N 是任意自然数）。
二进制：
只用0和1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
N₍₂₎=Aₙ×2ⁿ⁻¹+Aₙ₋₁×2ⁿ⁻²+Aₙ₋₂×2ⁿ⁻³+……+A₂×2¹+A₁×2⁰
注意：Aₙ、Aₙ₋₁……A₁ 每一位数字只能是0或者1。
十进制化成二进制：
① 除2取余法：根据二进制逢2进1的特点，用2连续去除这个十进制数，直到商为0，再把每次得到的余数从下往上依次写出，就是对应的二进制数。
② 凑幂法：先找出不大于该数的2的n次方，求出差值；再找不大于这个差值的2的n次方，重复操作直到差为0,对照二进制展开式写出结果。
加法原理：
如果完成一件任务有n类办法，在第一类办法中有m₁种不同方法，在第二类办法中有 m₂种不同方法……，在第n类办法中有mₙ种不同方法，那么完成这件任务共有：m₁+m₂+……+mₙ种不同的方法。
关键问题：确定任务的分类方式。
基本特征：每一类中的任意一种方法，都能独立完成整件任务。
乘法原理：
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有 m₁种方法，无论第1步选用哪种方法，第2步总有 m₂种方法…… 无论前面n-1步选用哪种方法，第n步总有mₙ种方法，那么完成这件任务共有：m₁×m₂×……×mₙ种不同的方法。
关键问题：确定任务的完成步骤。
基本特征：单独任何一步都只能完成任务的一部分，需要所有步骤依次完成。
直线：
线段：
直线上两点及两点之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。射线：
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数-1）；
④数正方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：
把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数，不考虑质因数的排列顺序时，分解质因数的结果是唯一的。
1 和质数不能分解质因数。
分解质因数的标准表示形式：
N = a₁ʳ¹ × a₂ʳ² × a₃ʳ³ × … × aₙʳⁿ 其中 a₁、a₂、a₃……aₙ是合数 N 互不相同的质因数，且 a₁<a₂<a₃<……<aₙ；r₁、r₂……rₙ为对应质因数的指数，均为正整数。
求约数个数公式：
自然数 N 的正约数总个数 P=(r₁+1)×(r₂+1)×(r₃+1)×……×(rₙ+1)
互质数： 如果两个数的最大公因数是 1，这两个数叫做互质数。
互质的两个数，不一定都是质数。例如：8 和 9 互质。
若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。那么12和18的公倍数有：36、72、108……；那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法。1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”。2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。对任意自然数 a、b、q、r（b≠0），如果满足 a÷b=q……r，且 0≤r＜b，那么r叫做a除以b的余数，q叫做 a 除以b的不完全商。②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a（c能整除a−b）。③a与b的和除以c的余数，等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。④a与b的积除以c的余数，等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；① 若 A=a×b，则 Mᴬ=Mᵃˣᵇ=(Mᵃ)ᵇ
② 若 B=c+d，则 Mᴮ=Mᶜ⁺ᵈ=Mᶜ×Mᵈ
① 一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和，则 M≡n (mod 9) 或 M≡n (mod3)；
② 一个自然数 M,X表示M奇数位上数字之和,Y表示M偶数位上数字之和,则 M≡X−Y (mod 11)；若 X−Y 为负数，则加上 11 得到正余数。
如果 p 是质数，a 是自然数，且 a 不能被 p 整除，则 aᵖ⁻¹≡1 (mod p)。
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。平方差公式:
X²−Y²=(X−Y)(X+Y)
完全平方和公式:
(X+Y)²=X²+2XY+Y²
完全平方差公式:
(X−Y)²=X²−2XY+Y²
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间。关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转 360/60度，即6°，时针每分钟转360/12X60度，即1/2度。在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。浓度= 溶质/溶液×100%=溶质/（溶剂+溶质）×100%在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。有需要的家长可以复制链接下载电子版打印哦
【金山文档 | WPS云文档】 小学数学重难点公式
https://www.kdocs.cn/l/ct7OAyxM828d
