飞行力学 12|习题篇:同样 0.8 马赫,动压为什么差这么多?

在 5 km 和 12 km 高度均以 0.8 马赫飞行，真空速变化幅度不大，但动压却显著降低。马赫数通过当地声速与真空速联系，动压由空气密度和真空速共同决定；逐项算出两个高度下的参数，就能看清这些物理量如何共同描述一组飞行工况。

本题将标准大气与空速换算整合在一套计算流程内。求解时先确定当地大气环境，再计算速度，最后求取动压，计算过程保留中间精度，最终结果统一取近似值。

题目条件

两组工况共用同一套大气模型与常数，计算差异来源于不同高度对应的温度、压强。

采用参考参数如下：

先统一高度单位为公式所用的米：

5 km 落在 0～11 km 的温度递减层，12 km 落在 11～20 km 的同温层。选定高度区间后，依次求解温度、压强；再通过理想气体状态方程求密度，由温度计算声速；结合马赫数与声速得到真空速，当量空速和动压则由速度与密度进一步算出。

图1　题目条件与计算路线

5 km：温度随高度降低

0～11 km 区间，温度公式：

代入 5000 m：

对应压强：

先求温度，再利用温度比计算压强；温度递减率为 0.0065 K/m，代入高度以米为单位，温度单位为开尔文。得到温、压之后，由理想气体状态方程求空气密度：

该密度用于后续当量空速换算与动压计算。

图2　5 km 标准大气计算

12 km：从 11 km 边界接续计算

11～20 km 为同温段，温度保持恒定：

同温段压强计算以 11 km 作为起点，因此先由下层公式求出 11 km 边界压强：

再从 11 km 推算至 12 km：

指数项内高度差取 1000 m，代表从同温段起点到目标高度的变化量。边界温度、压强由下层计算传入，保证两段在边界处连续。12 km 处密度：

同温层内温度不变，但压强随高度升高持续下降，密度随之降低。

图3　12 km 标准大气计算

本题比热比和气体常数取定，声速由当地温度确定：

分别代入两处温度：

马赫数定义为真空速与当地声速之比：

因此真空速：

代入得到：

两组工况速度都是当地声速的 0.8 倍。12 km 高度温度更低、声速更小，对应的真空速也更小。本题先由高度和标准大气模型确定当地声速，再由马赫数计算真空速。

本组算例中两个真空速相差约 20.4 m/s。速度差异来自声速变化，而动压差异会同时叠加空气密度变化带来的影响。

当量空速采用海平面标准密度，代表和当前飞行状态动压相等的等效速度。它与真空速的关系：

密度比 ρ/ρ₀ 无量纲，真空速、当量空速单位一致。分别代入两个高度的真空速与当地密度：

当量空速换算将当地密度的影响计入速度数值。5 km、12 km 的密度均低于海平面标准密度，换算系数小于 1，两个工况当量空速都小于真空速。

对比两个高度：真空速由 256.4 m/s 降至 236.1 m/s，当量空速由 198.8 m/s 降到 118.9 m/s。当量空速变化幅度更大，因为换算同时包含真空速变化与密度降低。

图4　声速、真空速与当量空速计算

动压定义：

计算使用当地密度和真空速。密度单位 kg/m³、速度单位 m/s 时，动压单位为 Pa；除以 1000 即可转为 kPa。

代入两组参数：

完整结果汇总：

还可以通过当量空速换一条路径计算动压：

该式直接来自当量空速定义。采用当地密度配真空速，或是海平面标准密度配当量空速，得到的动压应当相等。两条计算路径的一致性，可以用来检查密度比、速度平方与单位换算是否出错。

把真空速写成马赫数乘声速：

代入声速关系 a² = γ R T：

结合理想气体状态方程 ρ R T = p，整理得到：

本题比热比取 1.4，马赫数固定 0.8，两组工况都满足：

两处动压比值：

12 km 动压约为 5 km 工况的 35.8%。从动压原始定义看，是密度与真空速共同改变；代入马赫数和状态方程化简之后，多种效应可以统一归结为同马赫数下压强的差异。

图5　动压计算与结果比较

由高度确定温度和压强，温压共同决定空气密度，温度单独确定声速；已知马赫数，用当地声速算出真空速，再由密度比换算当量空速，最后求动压。两个高度按相同的计算关系分别求解。

代入数值时，重点核对三处细节：标准大气公式高度单位是否为米、密度计算压强单位是否为 Pa、动压公式内速度和密度是否匹配。这套方法可以把高度区间选取、速度定义、单位校验整合在一起。

同样 0.8 马赫而动压不同，根源是当地大气条件存在差异。马赫数关联真空速和声速，当量空速对应海平面标准密度下的动压尺度；把这些关系串联起来，就可以从给定高度、马赫数，完整求出全部环境与速度参数。

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