小学数学工程问题:一个＂1＂打通四关

晚上陪孩子写作业，一道题："修一条路，甲单独做 20 天，乙单独做 30 天，两人一起做要几天？"孩子盯着"20 和 30"发呆，问："这条路到底多长啊？题目又没给。"

很多孩子卡住，就是因为想先知道"总量是多少"。其实工程问题最妙的地方，恰恰是不用管它多长——把整项工程当成"1"就够了。

秘　密　一　句　话

工程问题别纠结总量，把整项工程看作单位"1"，算的就是"每天干几分之一"。

核心公式（贴墙背）

· 工作效率 = 1 ÷ 工作时间（即每天完成几分之一）

· 合作时间 = 1 ÷（甲效率 + 乙效率）

· 工作量 = 效率和 × 时间

1第一关：把工程看成"1"

图① 把"整项工程"看作一条满格的进度

甲 1 天干的量（占总量 1/20）：

乙 1 天干的量（占总量 1/30，比甲还少一点）：

为什么设成"1"最方便？不管这条路是 60 米还是 600 米，甲每天干的"比例"都是 1/20，跟具体长度无关。把抽象总量归一，后面全是分数加减，干净利落。

2第二关：两人合作，效率相加

图② 三道"效率条"，一眼看出合作更长

甲每天 1/20 ≈ 5%

乙每天 1/30 ≈ 3.3%

两人合起来每天 1/12 ≈ 8.3%（明显更长）

3第三关：中途加入，分段来算

图③ 时间轴：先甲独做，后两人合作

甲 5 天做了 5 × 1/20 = 1/4，还剩 1 − 1/4 = 3/4；合作效率和 1/12；还要 (3/4) ÷ (1/12) = 9 天。

4第四关：进水管与出水管（正负效率）

图④ 一进一出，看"净效率"

净效率 = 1/8 − 1/12 = 3/24 − 2/24 = 1/24；注满时间 = 1 ÷ 1/24 = 24 小时。进水是"加"，出水是"减"，别把符号搞反。

阶梯例题

① 基础｜甲独做 20 天，乙独做 30 天，合作几天完成？

→ 1 ÷ (1/20 + 1/30) = 1 ÷ 1/12 = 12 天。

② 进阶｜甲先做 5 天，剩下合作还要几天？

→ 甲做 1/4，剩 3/4；3/4 ÷ 1/12 = 9 天。

③ 挑战｜甲独做 10 天，甲乙合作 6 天完成，乙独做几天？

→ 合作效率 1/6，甲效率 1/10，乙效率 = 1/6 − 1/10 = 1/15，乙独做 15 天。

④ 综合｜水池进水管 8 小时满，出水管 12 小时空，两管齐开几小时满？

→ 净效率 1/8 − 1/12 = 1/24，需 24 小时。

三个常见坑

1 · 非要去猜总量是多少

2 · 把天数直接相加当效率和

3 · 中途题忘了先扣已完成

解法一览（贴墙用）

闯关小挑战

甲独做 15 天，乙独做 20 天，两人合作 4 天后，剩下的甲单独做，还要几天？（提示：合作 4 天干了 7/15，剩 8/15）

答案在评论区。孩子算对，记得夸他"会用 1 想问题"，而不是"算得快"。