小学数学思维|扶梯问题一错再错?你不是算错了,是从头到尾＂动＂错了

电梯自动上行、下行，有些人是急性子，觉得电梯太慢了，在电梯上行或下行的同时还要顺着电梯走；有些孩子比较调皮，喜欢逆着电梯行走。

这就涉及到我们小学奥数中的一类题型——扶梯问题。

很多孩子最怕扶梯题，一会儿顺行、一会儿逆行、人在动、梯也在动，到底该怎么计算，无从下手。

1.共同点

（2）都涉及到速度合成（相对速度）， 同向时，相对速度=人速 + 载体速度；反向时，相对速度=人速 − 载体速度。

（3）核心公式逻辑一致。

路程=相对速度×时间

流水行船问题：实际前进速度（顺水速度/逆水速度）= 船的静水速度 ± 水流速度

扶梯问题：人相对于地面的速度（顺行速度/逆行速度） = 人走扶梯速度 ± 扶梯自身速度

2.不同点

（1）二者“路程” 含义不一样

流水行船问题中涉及的路程是指地面上真实的距离，即两岸之间的固定长度，是固定不变的，船走的就是这段固定的距离。

扶梯问题中扶梯总级数是固定总量，扶梯总级数=人走的级数±扶梯自动移动的级数

流水行船中的路程是空间长度；扶梯问题研究的是级数计数，不是地面距离。

（2）速度的定义不一样

流水行船：船速 = 船相对于水面的速度；水速=水对地速度

扶梯问题：人的速度一般给的是人单位时间相对于扶梯走多少级；扶梯速度是扶梯相对于地面单位时间自动转出多少级

（3） 已知条件形式不同

流水行船问题：给的是千米 / 小时、米 / 秒（长度 / 时间）

扶梯问题：给的是每分钟走多少级（级数 / 时间），求扶梯一共多少级

（4） 场景不同

流水行船问题：船可以顺水、逆水，往返同一段距离，常考往返时间。

扶梯问题：一般求扶梯静止时可见台阶总级数；很少往返，经常是两个人一顺 一逆或者两人同向不同速度。

解题核心公式

1、人和扶梯同向而行

含义：人向下走了很多级，但扶梯一直在往上转，抵消掉一部分，剩下的才是扶梯总级数。

例2：小明乘坐自动扶梯，顺着扶梯向上走，一共走了60级到达顶部；逆着扶梯向下走，一共走了100级到达底部。小明上、下扶梯时相对扶梯的行走速度不变。求扶梯静止时可见总级数，以及在小明顺行这段时间里扶梯自动上升的级数。

解：

因为人顺行和逆行的速度不变，所以顺行和逆行的时间比 ：

t顺:t逆=60:100=3:5

扶梯速度不变，扶梯移动级数比也是 3:5。

设顺行扶梯上升3x级，逆行扶梯上升5x级，扶梯静止时可见总级数为N级。

列式：N=60+3x

            N=100-5x

60+3x=100-5x

8x=40

x=5

N=60+3*5=75（级）

顺行时扶梯上升：3*5=15（级）

答：扶梯总级数75级；顺行过程扶梯自动上升15级。

例3： 某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上；乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上的自动扶梯级数为多少级？

解：

设自动扶梯在单位时间上升x级，甲在单位时间登y级，则乙在单位时间登2y级。

根据题意得：

（x+y）×(55/y)=（x+2y）×(60/2y)，

解得：y=5x 。

由楼下到楼上自动扶梯级数为：（x+5x）×(55/5x)=66（级）

答：由楼下到楼上的自动扶梯级数为66级。

▽

学习扶梯问题要把握一个关键不变量，即扶梯静止时的总级数N是全程唯一不变量。

人和扶梯都在动，时间在变，人走的台阶数在变，但核心总量始终不变。

抓住不变量，用比例、方程建立等式，难题就被拆解成简单关系。

生活其实也是一台不停运转的扶梯。

顺境时，外部环境会像上行扶梯一样托举我们，不要误以为所有成果全是自己独自走出来的；逆境时，环境会反向拉扯，想要向前，就要付出更多努力，才能抵消阻力。

顺不骄，逆不馁，看清外部力量，守住自己前行的节奏，这就是数学题带给我们的生活启示。