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(29)MWG习题 quasilinear utility
有点忙晕了，抽空更个习题吧。人菜就多练。
参考，MWG习题集
Quasilinear utility：偏好表示、Walrasian demand 与 wealth effect
Advanced Microeconomic Theory — 习题分析笔记
本文先从 preference 的平移性质构造 quasilinear utility representation，再推导 Walrasian demand 及其 wealth effect，最后考察非负约束、numeraire 与 transferable utility。关键是分别判断偏好结构、最优解存在性和可行集约束，不能仅凭效用函数的形式得出所有比较静态结论。
一、quasilinear preferences 的定义与效用表示
1. 基本设定
考虑消费集合：
将消费束记为：
其中第一种商品的消费量允许为任意实数，而其他商品的消费量非负。
假设消费者具有理性（完备且传递）、连续且单调的偏好关系 。
关于第一种商品的 quasilinear preferences 具有两个核心性质。
（1）Translation invariance
对于任意消费束 和任意 ：
其中 。
这意味着，当两个消费束的第一种商品数量同时增加相同数值时，两者的偏好排序保持不变。
特别地：
因此，无差异曲线或无差异超曲面可以沿第一种商品轴平行移动。
（2）商品 1 的 strict desirability
对于任意 ：
即增加第一种商品的消费量会严格提高消费者的偏好水平。
Strict desirability 保证以商品 1 衡量的补偿数量唯一；将其边际效用归一化为 1 后，再指定基准效用值，才能固定后文使用的效用尺度。
2. Quasilinear utility representation theorem
在上述消费集合、rationality、continuity 和 monotonicity 的设定下，translation invariance 与商品 1 的 strict desirability，等价于存在连续且对各分量非递减的函数 ，使偏好可以表示为：
这里需要证明两个方向。
3. 充分性：由效用函数推出 quasilinear preferences
假设：
对任意 ：
因此：
从而满足 translation invariance。
同时，对于 ：
故第一种商品严格可欲。
由 的连续性可直接得到 的连续性；由 对各分量非递减可得其他商品的 monotonicity。若还要求其他商品严格可欲，则需对 加上相应的严格递增条件。
充分性成立。
4. 必要性：由 quasilinear preferences 构造特殊效用表示
必要性证明的核心是：利用第一种商品作为一维基准，将任意多维消费束归一化为第一种商品的等价数量。
对于任意 ，寻找一个实数 ，使得：
在偏好连续、平移不变且第一种商品严格可欲的条件下，这样的有限实数存在。
这里不能仅凭“商品 1 可取任意实数”便断言有限补偿存在，还需要用 continuity 和 translation invariance 将局部补偿延伸到整个路径。具体地，沿路径 ，，strict desirability 给出：
由 continuity 及路径的 compactness，可取统一的 ，使 时有：
若 ，则 translation invariance 将上述关系转化为轴上的上下界：
沿商品 1 轴的 continuity、completeness 和中间值性质，便保证区间 内存在与 无差异的点。从 、 出发，将 分成有限个长度小于 的区间，逐步延伸即可到达 。因此，所需的有限补偿确实存在；商品 1 的定义域为整个 保证每一步平移都可行。
唯一性由 strict desirability 和传递性保证：如果 ，不可能同时有 和 。
定义 。
于是：
根据 translation invariance：
由于基准轴上的偏好排序由第一种商品的数量决定：
因此，可以构造：
该构造固定了 。其 continuity 也可以直接验证：对任意 ，
偏好的 continuity 保证，对足够接近 的 ，这两个严格比较仍然成立，因而 。此外，其他商品的 monotonicity 蕴含 对各分量非递减。
重要理解： 准线性是偏好关系本身的性质，不意味着所有代表该偏好的效用函数都必须是加法形式。对上述效用函数施加严格递增的连续变换，仍然表示相同的偏好，却未必具有线性形式。
二、quasilinear preferences 的 Walrasian demand
1. 消费者最优化问题
假设：
第一种商品价格归一化 。
令其他商品价格向量为 ，消费者财富为 。若原价格为 、原财富为 ，归一化时应同时令 、。因此，后文的财富均以商品 1 为单位。
Walrasian demand 由以下问题决定：
由于第一种商品严格可欲，最优情况下预算约束必然取等号：
因此：
代入效用函数：
即：
财富 作为一个加法常数，不影响最优决策。
2. wealth effect 消失
设上述最优化问题存在唯一最优解：
则：
即第 种商品的 Walrasian demand 不依赖财富。
第一种商品的需求由预算约束确定：
因此，在价格固定时：
这意味着：
消费者不会因为财富增加而改变其他商品的最优消费量。 所有新增财富均由第一种商品吸收。 第一种商品承担剩余财富调整的功能。
若最优解不唯一，应使用 demand correspondence：
其他商品的最优需求集合 与财富无关，而完整的 Walrasian demand correspondence 为：
此时，随财富任意更换并列最优解的 selection 可能产生表面上的消费变化；“无 wealth effect”的稳健结论针对最优集合本身，不能对任意 selection 直接求导。
3. 与 Slutsky decomposition 的联系
一般情况下，Slutsky equation 为：
其中 为 Marshallian demand， 为 Hicksian demand；补偿价格导数在效用 固定时计算，再于 处评价。这里的 是完整价格向量，财富也按相同价格单位计量；若沿用 的归一化，则对其他商品价格的变化使用 。
对于 ，quasilinear preferences 下：
因此：
也就是说，在适当的可微性条件下，其他商品的 Marshallian demand 价格效应完全等于补偿需求的 substitution effect。
这是 quasilinear preferences 下 wealth effect 消失的重要结果。
三、为什么 Walrasian demand 不一定存在？
上述推导默认最优化问题存在最大值，但 quasilinear preferences 本身并不能保证这一点。
当第一种商品允许无限为负时，消费者可以通过减少 ，不断增加其他商品的消费。
考虑两商品效用函数：
归一化 ，令 。
消费者最大化：
若 可微且存在内点最优解，则以下 FOC 是必要条件；若 还为凹函数，它也足以保证全局最优：
其经济学含义是，商品 2 的边际效用恰好等于其价格对应的第一种商品效用损失。
但如果：
目标函数始终严格递增，因而在任何有限点都无法取得最大值，边界点 也不例外。
例如：
由预算约束：
得到：
当 时：
因此不存在 Walrasian demand。
还需要区分另一种情况：目标函数可能存在有限上确界，却无法取得最大值。
例如：
此时：
这里先固定偏好参数 ，再考虑价格 ，而非让效用函数随市场价格变化。目标函数的 supremum 为 1，但不存在有限的最大化点。
由此得到：
才是需求存在的关键要求。
存在性条件。 Quasilinear preferences 本身并不保证最优解存在，单纯的目标函数有上界或 为凹函数也不够。一个便于使用的充分条件是 连续，且对给定 有：
该条件保证远处的消费组合不可能优于某个固定可行点，故可把最大化限制在一个 compact set 上，再由 Weierstrass theorem 得到最大值。Strict concavity 可进一步保证最优解唯一，但不能替代存在性条件。
四、indirect utility function 的推论
在 Walrasian demand 存在的条件下：
利用预算约束消去第一种商品：
定义 。
得到：
在归一化价格不变的情况下：
即在选定的 quasilinear utility representation 中，marginal utility of wealth 恒为 1。此数值依赖效用尺度；例如把效用改写为 后，同一偏好的 indirect utility 对财富的导数便不再恒为 1。无 wealth effect 是偏好及其需求的性质，而导数等于 1 是当前表示下的结论。
这与第一种商品可以自由吸收财富变化的结论一致。
五、引入第一种商品的非负约束
1. 为什么非负约束会改变最优选择？
现在把消费集合改为 ，并要求财富 。新增的限制是：
消费者的最优化问题变成：
由于预算约束仍然取等号：
于是：
与此前的区别在于：其他商品的最优消费现在受到财富水平限制。
非负约束可能使原本与财富无关的最优组合不再可行。同时， 和有限的 使新的 budget set 非空且 compact；因此连续效用在其上必能取得最大值。可见，新增约束既可能恢复 wealth effect，也排除了此前因预算集无界而导致的不存在问题。
2. 财富阈值与角点解
设无约束时存在唯一最优组合 ：
定义临界财富：
它表示消费者购买原本最优的其他商品组合所需要的财富。
当 时，消费者能够购买 ，并且：
此时第一种商品的非负约束不紧，原来的 quasilinear demand 结构仍然成立。若 ，则仍选择 ，但 ；约束取等号并不意味着它已使最优值低于无约束情形。
当 时，原本的最优组合不再可行。
若 为凹函数且无约束最优解唯一，则新的最优解满足：
即第一种商品处于角点，消费者把全部财富用于其他商品。
其证明利用凹性：若受约束最优解 满足 ，沿着从 指向 的线段稍作移动仍然可行。由于无约束最优解唯一，凹性保证该移动严格提高 ，与最优性矛盾。
在这一阶段，其他商品的总支出随财富等额变化；若需求可微，则 。这不保证每一种商品的 wealth effect 都为正。
需要注意，如果 非凹，上述预算阈值以下的最优解不一定满足 ；受约束的全局最优解也可能是支出低于财富的其他组合。因此，concavity 对上述分段结论具有实质作用，不能仅靠局部 FOC 判断。
六、利用 KKT 条件分析非负约束
考虑：
构造 Lagrangian：
其中：
在可微性及相应约束资格条件下，KKT FOC 为：
以及：
complementary slackness conditions 包括：
由第一种商品的 FOC：
此外还须满足全部 primal feasibility 和 multiplier nonnegativity 条件。上式是分析 wealth effect 的核心关系。在 凹且可微时，满足完整 KKT system 的可行点为全局最优；非凹时，KKT 通常只有必要性，不能据此排除其他局部极值。
情况一：第一种商品为内点解
当 时，根据 complementary slackness：
因此：
对于其他消费量严格为正的商品：
此处 ，索引 表示商品。若 ，则相应条件是 。
在前述凹性及最优解唯一等条件下，其他商品的选择由这些条件确定，局部不随财富改变。只有商品 1 为内点，并不要求每一种其他商品也为内点。
新增财富全部由第一种商品吸收。
情况二：第一种商品为角点解
当 时，可能出现：
进而：
对于其他消费量严格为正的商品：
消费量为零的其他商品则满足 。当 时，商品选择受到非负约束的正 shadow price 影响，不再满足简单的 。
财富水平变化可能改变 ，进一步改变其他商品的最优消费数量。
将带非负约束的 indirect utility 记为 。其中， 也可以解释为财富的边际价值，即在适当正则条件下：
当非负约束真正产生正的影子价格时：
新增财富可以通过增加其他商品消费，产生高于 1 的边际效用。
特别注意： 并不必然意味着 。在临界财富水平，约束可以取等号，但对应的乘子仍然为零。
七、两商品例子：wealth effect 的分段结构
考虑效用函数：
令 。
在不施加 的情况下：
FOC：
得到：
因此临界财富为 。
增加 后，Walrasian demand 变成：
以及：
其 wealth effect 为：
在 处，两条需求函数均连续，但左右导数不同，因而不可微。这个例子的 constrained indirect utility 为：
对 ，其边际财富价值为：
因此，在低财富区间 ；在临界点 ，尽管 ，仍有 。需求函数的折点也不妨碍 在该点可微。
这一例子清楚地说明：quasilinear preferences 不意味着在所有可行集下其他商品都没有 wealth effect。该结论需要第一种商品具有充分的调整空间。
八、与一般均衡理论中 numeraire 的联系
1. 价格 numeraire：价格体系的尺度归一化
在不含生产的 Arrow–Debreu pure exchange economy 中，若初始禀赋为 ，消费者预算约束为：
Walrasian demand 具有零次齐次性：
因此，可以将任意价格严格为正的商品选为 numeraire，例如：
这一操作将商品价格转化为相对价格，并消除价格体系中的名义尺度冗余。
但价格归一化本身不意味着偏好准线性。
例如在 上，考虑 Cobb–Douglas utility，参数满足 ：
即使 ，仍然有：
商品 2 仍然具有 wealth effect。
2. quasilinear preferences 下的效用计量基准
对于：
在这一特定效用表示下：
因此，其他商品的边际效用可以直接用第一种商品的数量衡量。
假设 可微。对于商品 ，固定其他商品、沿 indifference surface 保持效用不变：
因此：
这里的 可以解释为消费者愿意为增加一单位商品 而放弃的第一种商品数量，即以商品 1 为单位的 marginal willingness to pay。它也是相应的 marginal rate of substitution（MRS）；即使更换效用的且导数严格为正的可微表示，这一交换比率也保持不变。
当 、商品 的消费为正，且商品 1 可自由调整或其非负约束不产生正 shadow price 时：
这将 marginal willingness to pay 和市场价格直接联系起来。
需要强调：这里的边际效用等于 1 是特定效用表示的归一化结果，并非序数偏好的唯一表示。
3. 价格归一化与偏好结构的区别
上述概念需要区分：价格 numeraire 只涉及计价单位；用商品 1 衡量补偿涉及 preference structure；transferable utility 还涉及跨消费者转移的可行性。
价格归一化是一般均衡体系中的尺度选择，而 quasilinear utility 是对消费者偏好结构的实质性限制。
九、quasilinear preferences 与福利经济学
Quasilinear utility 还与 transferable utility（TU）密切相关。
考虑 个消费者，均采用商品 1 的边际效用为 1 的表示。为避免与上一节的偏导数 混淆，这里用 表示消费者 对其他商品的效用：
假设第一种商品的社会总量固定：
那么：
因此，在其他商品配置不变时，只在消费者之间重新分配第一种商品，不会改变效用的等权总和。
若商品 1 可在消费者间无成本、无约束地转移，且不影响其他商品的可行配置集合 ，则 Pareto efficiency 可以精确地用总 surplus 最大化来刻画：
理由是：如果另一个可行配置带来更高的总 surplus，可以用商品 1 补偿所有受损者，并把剩余增益至少分给一人，从而形成 Pareto improvement。反过来，若总 surplus 已最大，任何让所有人至少不变、且让一人严格改善的配置都会提高效用总和，与最大化矛盾。这一论证依赖于完全可行的补偿转移，也以最大值能够取得为前提。
在这一 benchmark 下，efficient allocation 的效用向量落在总效用固定的超平面上；这解释了 transferable utility（TU）的含义。相关的正式讨论可参见 Chiappori 与 Gugl 关于 transferable utility and demand functions 的论文。
仍须区分三个判断：
商品 1 的重新分配不改变总 surplus，却会改变个人福利和分配结果。 上述效率刻画只适用于共同归一化、无约束转移等条件下；它不把任意 ordinal utility 的等权总和变成普遍适用的社会福利标准。 如果商品 1 存在非负约束或其他 transfer constraints，补偿可能不可行。这时 Pareto efficiency 与上述总 surplus 最大化不再一般等价。
这个性质也是 quasilinear utility 在福利分析、局部均衡及机制设计中广泛应用的重要原因。
十、总结：本题的核心逻辑
本题可以归纳为一条清晰的理论链条。
第一层：偏好结构
quasilinear preferences 满足 translation invariance 以及第一种商品的 strict desirability，并允许选择特殊效用表示：
第二层：最优化结构
在 的条件下，代入预算约束，将最优化问题化为：
财富不再进入其他商品的最优决策。
第三层：需求存在性
由于第一种商品允许无限负消费，其他商品的消费选择可能缺乏有效上界。必须另外保证目标函数存在可达到的最大值。
第四层：可行集约束
一旦增加：
则其他商品的选择受到：
的约束，wealth effect 可能重新出现。
第五层：KKT 与边际财富价值
通过：
可以区分第一种商品非负约束的松弛与紧约束情形，并解释财富边际价值和最优需求如何变化。
第六层：一般均衡与福利意义
quasilinear utility 中的第一种商品不仅可以作为价格 numeraire，也可以在特定效用表示下作为效用的衡量尺度，并在条件允许时承担效用转移和福利补偿的功能。
本文的比较静态结论由 preference structure 与可行集共同决定：quasilinear preferences 使其他商品的最优集合在商品 1 可自由调整时独立于财富；最优解的存在仍需单独保证；加入非负约束后，wealth effect 可能在低财富区间重新出现。价格 normalization、效用 representation 与可行补偿转移各自承担不同的经济学作用。
