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第29章 投影与视图 培优卷
满分 120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的左视图和俯视图，符合条件的几何体有
（ ）种.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】 D
【考点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：该几何体中小正方体的分布情况有如下7种可能结果，
故答案为：D.
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出每一层小正方体的层数和
个数，从而得出答案.
2. ( 3分 ) 如图，下面几何体由五个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是( )
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，第一层有两个小正方形，第二层左侧有一个正方形，
故答案为：B.
【分析】左视图就是从几何体的左边所看到的平面图形，再观察几何体及各选项，可得答案。
3. ( 3分 ) 如图所示的工件的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到
从正面看所得到的图形即可．
【解答】从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．
故选B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆
而错误的选其它选项，难度适中．
4. ( 3分 ) 如图是4块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小方块的个数，
学科网（北京）股份有限公司其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：主视图有一层3个，
另一层1个，
所以主视图是：
故选：D．
【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．
5. ( 3分 ) 如图是一个零件的立体图，该零件的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该零件的俯视图为：
,
故答案为：D．
【分析】由俯视图的定义可知，俯视图就是从该几何体的上方看到的几何体的形状，该几何体从上往下看
学科网（北京）股份有限公司是两个矩形，两个矩形的公共边应该是虚线，所以应选择D。
6. ( 3分 ) 在一张桌子上摆放着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这个桌子上的碟共有
（ ）
A. 4个 B. 8个
C. 12个
D. 17个
【答案】 C
【考点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由俯视图可知，碟子共有3摞
4,3
由主视图和左视图可知，这个桌子上碟子的摆放为 ，其中，数字表示每摞上碟子的个数
5,0
则这个桌子上的碟共有 4+3+5=12 （个）
故答案为：C.
【分析】先根据俯视图得出碟子共有3摞，再根据主视图和俯视图得出每摞上碟子的个数，由此即可得.
7. ( 3分 ) 如图是正方体的平面展开图，每个面上都标有一个汉字，与“爱”字对应的面上的字为
（ ）
A. 我 B. 爱
C. 专
D. 页
【答案】 D
【考点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“数”与面“专”相对，面
“爱”与面“页”相对，面“我”与面“学”相对，
学科网（北京）股份有限公司故答案为：D．
【分析】根据正方体的平面展开图判断即可.
8. ( 3分 ) 某展厅要用相同的正方体木块搭成一个展台，从正面、左面、上面看到的形状如图所示，请判
断搭成此展台共需这样的正方体（ ）
A. 3个 B. 4个
C. 5个
D. 6个
【答案】 B
【考点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】根据三视图可得出第一行第一列有2个正方形、第二列有1个正方体，第二行第二列有
1个正方体，
共需正方体2+1+1=4.
故答案为：B.
【分析】根据三视图将组合体还原，据此判断正方体的个数即可。
9. ( 3分 ) 若干个相同的正方体组成一个几何体，从不同方向看可以得到如图所示的形状，则这个几何体
最多可由多少个这样的正方体组成？（ ）
A. 12个 B. 13个
C. 14个
D. 18个
【答案】 B
【考点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：综合从正南方向看（主视图）与从正西方向看（左视图）可知，这个几何体有三行、
三列，
即：
学科网（北京）股份有限公司第一行第1列最多有2个,
第一行第2列最多有1个,
第一行第3列最多有2个;
第二行第1列最多有1个,
第二行第2列最多有1个,
第二行第3列最多有1个;
第三行第1列最多有2个,
第三行第2列最多有1个,
第三行第3列最多有2个;
所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13(个).
故答案为：B.
【分析】通过题中的两个从不同方向看到的图形可知，此几何体有三行，三列，分别判断出各行各列最多
有几个正方体组成即可得出答案.
10. ( 3分 ) 如图所示的三棱柱，高为 8cm ，底面是一个边长为 5cm 的等边三角形.要将该三棱柱的表
面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最小值为（ ） cm .
A. 28 B. 31 C. 34 D. 36
【答案】 A
【考点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条，
则至少需要剪开的棱的条数是：9-4=5（条），
∴棱长和的最小值为：8+4×5=28，
故答案为：A
学科网（北京）股份有限公司【分析】三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是条，相减即可求出需要剪开的
棱的条数.
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图：（A）（B）（C）（D）是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的影子，将它们按时间
先后顺序进行排列，为________ ．
【答案】 （D）（C）（A）（B）
【考点】平行投影
【解析】【解答】解：太阳从东方升起最后从西面落下，木杆的影子应该在西面，随着时间的变化影子逐
渐的向北偏西，南偏西，正东方向的顺序移动，故它们按时间先后顺序进行排列，为（D）（C）（A）
（B）．
【分析】根据影子变化的方向正好太阳所处的方向是相反的来判断．太阳从东方升起最后从西面落下确定
影子的起始方向．
12. ( 4分 ) 如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况,那么她看到的先后顺序是
________ ．
【答案】 ④③①②
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】根据平行投影中影子的变化规律：就北半球而言,从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北
﹣北﹣东北﹣东,影长由长变短,再变长．可知先后顺序是④③①②．
学科网（北京）股份有限公司故答案是④③①②．
【分析】考查平行投影．
13. ( 4分 ) 如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体个数最多
为________个.
【答案】 9
【考点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据三视图知，该几何体中小正方体的分布情况如下图所示：
所以组成这个几何体的小正方体个数最多为9个.
故答案为9.
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.
14. ( 4分 ) 一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整
厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为________cm3.
【答案】 6552
【考点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）
（20-x）；
因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而每一项
=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；
这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，
=36×26×7，
=6552cm3.
故答案为：6552.
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒,也
就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒底面的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方
形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大，因此可以设减去的正方形的边长为x
厘米，列方程解答.
15. ( 4分 ) 一个几何体是由一些相同的小正方体构成，该几何体从正面看 ( 主视图 ) 和从上面看 ( 俯视
图 ) 如图所示 . 那么构成这个几何体的小正方体至少有________块，至多有________块 .
【答案】 5；7
【考点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：如图所示，
由图知构成这个几何体的小正方体至少有5块，至多有7块．
【分析】根据俯视图能够判断出这个几何体的最底层是有5个小正方体，根据主视图可以判断出这个几何
体有两层，并且第二层的左边至少有一个小正方体，至多有三个小正方体。
16. ( 4分 ) 一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视
图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有________种．
【答案】 10
【考点】由三视图判断几何体
学科网（北京）股份有限公司【解析】【解答】解：由主视图和左视图知：①第一行第一个位置一定是4，
第二行和第三列至少有一个是3，第三行和第二列至少有一个是2，
则9+3+2+1=15
以最少的方式摆放，还剩1个，则为3个的位置仅有一个，即第二行第三个位置是3，
最终剩余的2个小立方体
①若第三行第一个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置有3种，即每行的第二个位置；
②同理，若第三行第三个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置也有3种，即每行的第二个位置；
③若第三行第二个位置摆放2个 ， 剩余一个可以摆放的位置有6种，即除了已确定位置的，其他的位置
都可以放。
由于③中分别与①②的一个位置重复
∴可能的情况有3+3+6-2=10种
故答案为：10．
【分析】抓住题中关键的已知条件：一共有16个小立方块，最下面一层摆放了9个小立方块，根据主视图
和左视图，画出所有可能的搭建平面图，即可得出答案。
17. ( 4分 ) 如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体
中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要________个小立方块．
学科网（北京）股份有限公司【答案】 54
【考点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】由主视图可知，搭成的几何体有三层，且有4列；由左视图可知，搭成的几何体共有3
行；
第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，第三层有1个正方体，
共有10个正方体，
∵搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成一个大正方体，
∴搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体，
∴至少还需要64-10=54个小正方体．
【分析】先由主视图、左视图、俯视图求出原来的几何体共有10个正方体，再根据搭成的大正方体的共有
4×4×4=64个小正方体，即可得出答案．
18. ( 4分 ) 长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是________.
【答案】 24
【考点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，
由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，
因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，
则这个长方体的体积为4×2×3=24．
故答案为：24．
【分析】根据所给的三视图判断出长方体的长、宽、高，再根据体积公式进行计算即可．
三、作图题
19. ( 6分 ) 一个几何体由若千个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，
其中小正方形中的数字表示在该位置上小立方块的个数。
画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图。
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【考点】简单组合体的三视图，由三视图判断几何体，作图﹣三视图
【解析】【分析】根据题意，由已知条件，画出图形即可。
20. ( 6分 ) 如图，已知一个由小正方体组成的几何体的左视图和俯视图.
（1）该几何体最少需要几块小正方体？最多可以有几块小正方体？
（2）请画出该几何体的所有可能的主视图.
【答案】 （1）解：俯视图中有 4 个正方形，那么组合几何体的最底层有 4 个正方体， (1) 由左视图
第二层有 1 个正方形可得组合几何体的第二层最少有 1 个正方体，俯视图从上边数第一行的第二层最多
可有 3 个正方体，所以该几何体最少需要 4+1=5 块小正方体；最多需要 4+3=7 块小正方体.
（2）解：作图如下：
【考点】由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）由俯视图可得最底层的几何体的个数，由左视图第二层正方形的个数可得第二层
最少需要几块正方体，相加即可得到该几何体最少需要几块小正方体；由俯视图和左视图可得第二层最多
学科网（北京）股份有限公司需要几块小正方体，再加上最底层的正方体的个数即可得到最多可以有几块小正方体．
（2）根据俯视图可知有三列，由左视图即可得出所有的组成图形，根据主视图的意义即可求解．
四、解答题
21. ( 8分 ) 如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看的高为3cm，从上面看三角形的边长都为2cm，求这个几何体的侧面积．
【答案】 解：（1）正三棱柱；
（2）如图所示：
（3）3×3×2=18cm2 ．
答：这个几何体的侧面积18cm2 ．
学科网（北京）股份有限公司【考点】由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几
何体为三棱柱；
（2）应该会出现三个长方形，两个三角形；
（3）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为3cm，2cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．
22. ( 8分 ) 回答下列问题：
（1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？
（2）由多个平面围成的几何体叫做多面体．若一个多面体的面数为f，顶点个数为v，棱数为e，分别计算
第（1）题中两个多面体的f+v﹣e的值？你发现什么规律？
（3）应用上述规律解决问题：一个多面体的顶点数比面数大8，且有50条棱，求这个几何体的面数．
【答案】 解：（1）图甲折叠后底面和侧面都是长方形，所以是长方体；
图乙折叠后底面是五边形，侧面是三角形，实际上是五棱锥的展开图，所以是五棱锥．
（2）甲：f=6，e=12，v=8，f+v﹣e=2；
乙：f=6，e=10，v=6，f+v﹣e=2；
规律：顶点数+面数﹣棱数=2．
（3）设这个多面体的面数为x，则
x+x+8﹣50=2
解得x=22．
【考点】几何体的展开图
【解析】【分析】（1）由长方体与五棱锥的折叠及长方体与五棱锥的展开图解题．
（2）列出几何体的面数，顶点数及棱数直接进行计算即可；
（3）设这个多面体的面数为x，根据顶点数+面数﹣棱数=2，列出方程即可求解
学科网（北京）股份有限公司23. ( 8分 ) 由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图如图所示，求组成几何体的小立方体个数的最
大值与最小值，并画出相应的俯视图.
【答案】 解：最大值为12个，最小值为7个，俯视图分别如图所示（每个方格内的数字表示该位置上叠
的小立方体的个数）.
【考点】由三视图判断几何体，作图﹣三视图
【解析】【分析】结合主视图和左视图可知：底面最多有小立方体3+3+3=9个，最少有小立方体1+2+1=4
个，第二层最多有小立方体2个，最少有小立方体2个，第三层最多有小立方体1个，最少有小立方体1
个，故组成这个几何体的小立方体的个数的最大值为9+2+1=12个，最小值为4+2+1=7个，根据俯视图的
定义，分别作出组成几何体的小立方体最多的时候，与最少的时候从上向下看得到的正投影即可。
24. ( 10分 ) 如图，将一张正方形纸片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个
无盖的长方体纸盒，设这个正方形纸片的边长为a，这个无盖的长方体盒子高为h．
（1）若a=18cm，h=4cm，则这个无盖长方体盒子的底面面积为
；
（2）用含a和h的代数式表示这个无盖长方体盒子的容积V= ；
（3）若a=18cm，试探究：当h越大，无盖长方体盒子的容积V就越大吗？请举例说明；这个无盖长方体
盒子的最大容积是 ．
【答案】 解：（1）∵a=18cm，h=4cm，∴这个无盖长方体盒子的底面面积为：（a﹣2h）（a﹣2h）=
学科网（北京）股份有限公司（18﹣2×4）×（18﹣2×4）=100（cm2）；故答案为：100cm2；（2）这个无盖长方体盒子的容积V=h（a﹣
2h）（a﹣2h）=h（a﹣2h）2（cm3）；故答案为：h（a﹣2h）2cm3；（3）若a=18cm，当h越大，无盖长方
体盒子的容积V不一定就越大，∵V=h（18﹣2h）2 ， 只有h=3时，此时体积最大，∴这个无盖长方体
盒子的最大容积是：3×（18﹣6）2=432（cm3），故答案为：432cm3 ．
【考点】几何体的展开图
【解析】【分析】（1）根据已知得出长方体底面的边长进而求出即可；
（2）利用底面积乘高得出无盖长方体盒子的容积即可；
（3）根据材料一定长方体中体积最大与底面积和高都有关，进而得出答案．
25. ( 12分 ) 如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的
表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表
示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立
方体的每一个面标记为“3”．
【答案】 （1）立方体的棱长为2cm，图1长方形的面积为4×2×3×2=48平方厘米。
（2）展开图：
学科网（北京）股份有限公司（3）
【考点】几何体的展开图，由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）根据题意求出长方形的长和宽，利用面积公式可求出结果。
（2）利用正方体和展开图特点进行画图。
（3）利用正方体和展开图的特点进行计算。
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
