高考数学 | 一道有孔正方体装水问题的教学思考

摘要：有孔容器的最大装水问题，难点不仅在于截面与体积计算，还在于把一种可行放置提升为对所有放置均成立的最值结论。本文以一道正方体三孔装水题为例，先通过平行棱的截面构造装水体积为  的方案，再识别两孔所在的辅助长方体，利用中心对称证明空余体积至少为 ，从而完成最优性论证。结合“三个孔同时位于水面”的直觉误区，设计由模型解释、截面构造到上界证明的课堂问题链，并作适度变式，突出几何直观与逻辑论证的相互支持。

关键词： 立体几何；最大装水体积；中心对称；截面；问题链

一、问题呈现：先把生活语言转化为几何条件

立体几何教学中，学生往往能够计算给定几何体的体积，却未必能够处理“装水部分随容器放置而改变”的问题。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》重视借助图形性质与变换探索问题的思路[1]。有孔容器的装水问题正好提供了一个具体情境：图形帮助发现方案，论证则要说明方案为何最优。

题目  如图1，棱长为  的正方体容器  中，、 分别是棱 、 的中点，在 、、 处各有一个小孔（孔的大小忽略不计），求该容器可装水的最大体积。

本题按静水模型理解：容器可以任意转动，其余部分不漏水；水面为水平面，小孔位于水面上或水面上方时不发生漏水。因此，确定一种放置后，水面不能高于任何一个小孔。这里的“高低”是相对于实际竖直方向而言的，不能把题图的上下方向固定为重力方向。

还应把“求最大值”分成两个任务：一是找到一个能够实现的装水体积，二是证明任何放置都不能超过这个体积。前者给出可行方案，后者排除更优方案。仅凭一种看起来合理的摆法，尚不能完成最值证明。

二、构造截面：先找到能装水  的放置方式

直接想象正方体的任意倾斜状态并不容易。教学时可先追问：能否让水面平行于正方体的一组棱，使水与空气都形成容易计算的棱柱？这把自由转动的问题转化为熟悉的截面问题。

取  为  的中点，考虑矩形截面 。由于 ，该截面平行于棱 。转动容器，使截面  水平，并使顶点  位于水面上方。此时水占据四棱柱 ，空余部分为三棱柱 。

这一放置是否可行，还须逐一检查三个孔。孔 、 恰在水面上；孔  位于三角形  的边  上，且不同于 ，所以位于水面上方。因此，三个孔均不低于水面，方案满足题意。图2把底面分割与实际放置后的竖直剖面联系起来。

三棱柱的底面为直角三角形 ，棱  垂直于底面 ，故其几何高为 。由 、，得

容器总体积为 ，于是这一放置下

棱柱的几何高由底面与侧棱的位置关系决定，不必与实际重力方向一致。此处的计算依据是棱柱体积公式，不能把图中的某条“竖直线”直接当成水深。

至此只能得到最大装水体积不小于 。课堂上应保留一个必要的追问：还会不会有另一种放置，能装水超过 ？

三、识别对称：证明任意放置都不能超过 

要回答上述追问，可以把目光从不断变化的水体移向始终存在的辅助几何体。孔  与孔  分别靠近正方体的不同位置，二者是否能成为某个长方体的一对相对顶点？这一观察是证明上界的关键。

取 、 分别为 、 的中点，则

是一个长方体，其三条相互垂直的棱长依次为 、、，所以 。设  是线段  的中点。因为  是  的体对角线，所以  正是  的中心，如图3。

下面用到一个直观而有用的事实：过长方体中心的任意平面，都将长方体分成体积相等的两部分。理由是，长方体关于其中心对称；中心对称把平面一侧的部分一一对应到另一侧，并保持体积。这一事实不要求切出的两部分分别是棱柱，也不要求截面与某个面平行。

现在任取一种不漏水的放置，记水面为 。由于 、 都在  上或上方，线段  的中点  也必在  上或上方。过  作与  平行的平面 ，则  不低于 。

平面  上方的那一半长方体 ，全部位于水面上方，因而必为空余部分。由中心对称，得到

这一上界与容器的具体转动方式无关。再结合式（1）给出的可行放置，便有

这一论证把“任意放置”保留下来，而没有逐一讨论水面截出的三角形、四边形或其他多边形。教学中值得突出的不是辅助线的数量，而是辅助几何体的选择：原正方体的中心未必与孔位形成直接联系，适当截取一个长方体后，两个孔却恰好成为相对顶点。

四、辨析直觉：三个孔同时位于水面是否更好

一种容易出现的猜想是：要使水尽量多，是否应该让三个孔都在水面上？三个不共线的孔确定一个平面，但它们同时位于水面，只能说明形成了一种临界放置，不能直接说明该放置最优。

本题可以用具体计算检验这一猜想。平面  还经过 。事实上，连接 、，由中位线关系有 ，又有 ，故两条平行直线 、 确定同一平面。容器截面实际为四边形 ，而不是三角形 。

若在该平面的较大一侧装水，则空余部分为三棱台 ，如图4。其上下底面面积分别为

两底面间距离为 ，因此

这个反例可以把“孔越贴近水面越好”的模糊直觉，转化为可检验的几何判断。孔的条件是一个不等式约束，允许某个孔高于水面；不能未经证明就把所有孔都强制放到水面上。原题的最优方案中， 高于水面，正是这一点的具体体现。

五、课堂追问：从一道题走向一种论证意识

课堂组织可以围绕以下几个层次展开，避免一开始就展示辅助长方体，使学生失去发现问题的过程。

第一层：解释条件。为什么水面不能高于任何小孔？题图中的“上、下”是否就是实际放置时的“上、下”？通过这些追问，明确容器相对于重力方向的姿态可以改变，孔位条件却必须始终满足。

第二层：构造方案。能否让水面平行于一组棱？截面  为什么合适？孔  在哪一侧？让学生先在底面正方形中观察，再把直线  沿  方向扩展成截面，可降低空间想象的负担。

第三层：补全证明。“能够装水 ”与“最多装水 ”有什么区别？若要证明最多为 ，至少应有多少空余体积？能否找到一个体积为 、且至少有一半不能装水的长方体？这一问题链让上界证明有明确的寻找方向。

第四层：检查条件作用。证明上界时没有使用 ，构造取等时又检查了 。这说明，参与限制上界的条件，与需要核查可行性的条件，作用可以不同。不能因为某个条件未出现在上界计算中，就认为它可以不加检查地删除或任意改变。

例如，把孔  移到棱  上的其他位置，前述结论仍成立。上界只依赖 、；构造方案中，整个线段  都在水面上或上方，所以新孔仍不漏水。反之，若把第三个孔移到点 ，则会改变结论： 与  是原正方体的相对顶点，二者中点为正方体中心，因此任何不漏水的放置都至少有半个正方体空余，装水体积不超过 。此时已无法实现原题中装水  的方案。这一对比提醒学生，第三个孔的具体位置仍可能影响可行体积。

在此基础上，还可安排一个计算量不大的变式：将棱长改为 ，令  为  内一点，，其中 ，第三个孔仍在  上。此时取  为  在棱  上的对应点，即 。沿用截面 ，空余三棱柱的体积为

另一方面，以 、 为相对顶点的辅助长方体体积为 ，同样由中心对称得到空余体积的下界。故

取 、，便回到原题。变式不必追求复杂的新计算，而应让学生看出：当孔位改变时，构造的截面和辅助长方体仍能互相配合，原有方法因而可以迁移。

本题教学的落脚点，是帮助学生形成完整的最值论证意识：发现一个可行方案后，还要寻找对全部方案都成立的限制。本题用截面构造发现 ，用中心对称证明不能超过 ，再用条件核查确认取等。几何直观提供方向，逻辑论证保证结论，这比只记住一个体积答案更有教学价值。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.