曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
7.3 数列的综合问题
五年高考
考点一 求通项公式
1.(2022新高考Ⅰ,17,10分,综合性)记S 为数列{a }的前n项和,已知a =1,
n n 1
{S
n
}
是公差为
1的等差数列.
a 3
n
(1)求{a }的通项公式;
n
1 1 1
(2)证明:
+ +…+
<2.
a a a
1 2 n
解析 (1)解法一:依题意得,S =a =1.
1 1
∴S 1 1 n+2.
n= +(n−1)× =
a 1 3 3
n
∴3S =(n+2)a ,则3S =(n+1+2)a =(n+3)a ,
n n n+1 n+1 n+1
∴3S -3S =(n+3)a -(n+2)a ,
n+1 n n+1 n
即3a =(n+3)a -(n+2)a ,
n+1 n+1 n
∴na
n+1
=(n+2)a
n
,即 a
n+1=
n+2,
a n
n
由累乘法得 a n+1= (n+1)(n+2),
a 1×2
1
(n+1)(n+2)
又a =1,∴a = ,
1 n+1
2
n(n+1)
∴a = (n≥2),又a =1满足上式,
n 1
2
n(n+1)
∴a
n
= (n∈N*).
2
解法二:同解法一求得na =(n+2)a ,
n+1 n
a a a a
∴ n+1 = n,即 n+1 = n ,
n+2 n (n+1)(n+2) n(n+1)
∴数列{ a } 1,
n 是常数列,首项为
n(n+1) 2
a 1 n(n+1)
∴ n = ,∴an= .
n(n+1) 2 2
(2)证明:由(1)知 1 2 (1 1 ),
= =2 -
a n(n+1) n n+1
n曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
∴ 1 1 1 (1 1) (1 1) (1 1 ) ( 1 ) 2 <2.
+ +…+ =2 - +2 - +…+2 - =2 1- =2−
a a a 1 2 2 3 n n+1 n+1 n+1
1 2 n
2.(2019课标Ⅱ理,19,12分,综合性)已知数列{a }和{b }满足a =1,b =0,4a =3a -
n n 1 1 n+1 n
b +4,4b =3b -a -4.
n n+1 n n
(1)证明:{a +b }是等比数列,{a -b }是等差数列;
n n n n
(2)求{a }和{b }的通项公式.
n n
解析 (1)证明:由题设得4(a +b )=2(a +b ),
n+1 n+1 n n
1
即a +b = (a +b ).又因为a +b =1,
n+1 n+1 n n 1 1
2
1
所以{a +b }是首项为1,公比为 的等比数列.
n n
2
由题设得4(a -b )=4(a -b )+8,
n+1 n+1 n n
即a -b =a -b +2.
n+1 n+1 n n
又因为a -b =1,所以{a -b }是首项为1,公差为2的等差数列.
1 1 n n
1
(2)由(1)知,a +b = ,a -b =2n-1.
n n 2n-1 n n
1 1 1
所以a = [(an+bn)+(an−bn)]= +n− ,
n 2 2n 2
1 1 1
b = [(an+bn)−(an−bn)]= −n+ .
n 2 2n 2
考点二 数列的求和
1.(2012大纲全国,5,5分,基础性)已知等差数列{a }的前n项和为S ,a =5,S =15,则数列
n n 5 5
{ 1 }的前100项和为( )
a a
n n+1
100 99 99 101
A. B. C. D.
101 101 100 100
答案 A
a
2.(2021浙江,10,4分,综合性)已知数列{a n }满足a 1 =1,a n+1 = n (n∈N*).记数列{a n }的前n
1+√a
n
项和为S ,则( )
n
3
A. <S <3 B.3<S <4
100 100
2
9 9
C.4<S < D. <S <5
100 100
2 2
答案 A
3.(多选)(2021新高考Ⅱ,12,5分,创新性)若正整数n=a ·20+a ·2+…+a ·2k-1+a ·2k,其中
0 1 k-1 k
a i∈{0,1}(i=0,1,…,k),记ω(n)=a
0
+a
1
+…+a
k
,则( )
A.ω(2n)=ω(n) B.ω(2n+3)=ω(n)+1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
C.ω(8n+5)=ω(4n+3) D.ω(2n-1)=n
答案 ACD
4.(2013辽宁,14,5分,综合性)已知等比数列{a }是递增数列,S 是{a }的前n项和.若a ,a
n n n 1 3
是方程x2-5x+4=0的两个根,则S = .
6
答案 63
5.(2013重庆,12,5分,综合性)已知{a }是等差数列,a =1,公差d≠0,S 为其前n项和,若
n 1 n
a ,a ,a 成等比数列,则S = .
1 2 5 8
答案 64
6.(2019上海,8,5分,基础性)已知数列{a }的前n项和为S ,且满足S +a =2,则S =
n n n n 5
.
31
答案
16
na
7.(2021全国乙文,19,12分,综合性)设{a }是首项为1的等比数列,数列{b }满足b = n.
n n n
3
已知a ,3a ,9a 成等差数列.
1 2 3
(1)求{a }和{b }的通项公式;
n n
S
(2)记S 和T 分别为{a }和{b }的前n项和.证明:T < n.
n n n n n
2
解析 (1)设等比数列{a }的公比为q.
n
∵a ,3a ,9a 成等差数列,∴6a =a +9a ,
1 2 3 2 1 3
又∵{a }是首项为1的等比数列,
n
1
∴6a q=a +9a q2,∴9q2-6q+1=0,解得q =q = ,
1 1 1 1 2
3
∴a
n
=a
1
·qn-1=(1) n-1 ,
3
∵b
n
=na
n
,∴b
n
=n·(1) n .
3 3
(2)∵S 为{a }的前n项和,
n n
∴S n = a 1 (1-qn) = 3[ 1- (1) n].
1-q 2 3
∵T 为{b }的前n项和,
n n
∴T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=1×(1) 1 +2×(1) 2 +…+n(1) n ,①
3 3 3
1T
n
=1×(1) 2+2×(1) 3+…+n(1) n+1.②
3 3 3 3
①-②可得2 1+(1) 2 +…+(1) n -n·(1) n+1
Tn=
3 3 3 3 3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1[ (1) n]
1-
=3 3 -n·(1) n+1
=−
(1
n+
1)(1) n
+
1,
3 3 2 3 2
1
1-
3
∴T
n
=-(1
n+
3)(1) n
+
3,
2 4 3 4
∴T
n
-S
n=−
1n·(1) n
<0,∴Tn<
S
n
.
2 2 3 2
三年模拟
A组 考点基础题组
考点一 求通项公式
1.(2022湖南衡阳八中开学考,4)定义:在数列{a
n
}中,若满足 a
n+2−
a
n+1
=d(n∈N*,d为常数),
a a
n+1 n
称{a
n
}为“等差比数列”,已知在“等差比数列”{a
n
}中,a
1
=a
2
=1,a
3
=3,则 a
2 021
等于( )
a
2 019
A.4×2 0172-1 B.4×2 0182-1
C.4×2 0192-1 D.4×2 0202-1
答案 C
2.(2022黑龙江哈尔滨三中二模,7)已知数列{a }的前n项和为S ,满足a =1,a =3,2
n n 1 2
(n≥2),则a =( )
√S =√S +√S 2 022
n n+1 n-1
A.4 043 B.4 042
C.4 041 D.4 040
答案 A
3.(2022重庆缙云教育联盟3月质检,5)已知数列{a }的前n项和为S ,满足S +2n=2a ,则a
n n n n 2
=( )
022
A.22 022-2 B.22 023-2
C.22 024-2 D.22 021-2
答案 B
4.(2022重庆巴蜀中学3月适应性月考(八),16)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.设正
项数列{a
n
}满足8S
n
=
a2
+4a
n
(n∈N*),设数列{b
n
}的前n项和为T
n
,且b
n
= 1 ,则[T
35
]=
n √a
n
.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
答案 5
5.(2022八省八校联考二,19)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且2S
n
+1=3a
n
(n∈N*).
(1)求S ;
n
3
(2)证明:当n≥2时,2S + ≥9.
n a
n
解析 (1)当n=1时,2S +1=2a +1=3a ,解得a =S =1.当n≥2时,2S +1=3a =3(S -
1 1 1 1 1 n n n
S ),S =3S +1.
n-1 n n-1
即S n +1 =3 ( S + 1) ,又S1+ 1 = 3≠0,∴
2 n-1 2 2 2
{ 1} 3 1 3 3n 3n-1.
S + 是以 为首项,3为公比的等比数列,Sn+ = ×3n−1= ,Sn=
n 2 2 2 2 2 2
3n-1 2S +1
(2)证明:由S = ,得an= n =3n-1,
n
2 3
3 9
则2S + =3n−1+ ,令t=3n,n≥2,则t≥9.
n a 3n
n
9
∵f(t)=t-1+ 在[9,+∞)上单调递增,
t
9
∴f(t)≥f(9)=9,即3n-1+ ≥9,当且仅当n=2时取等,原不等式得证.
3n
考点二 数列的求和
1.(2022广东湛江、肇庆三模,7)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现
有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,即
a
n+2
=a
n+1
+a
n
(n∈N*),后来人们把这样的一列数组成的数列{a
n
}称为“斐波那契数列”,记a
2
=t,则a +a +a +…+a =( )
022 1 3 5 2 021
A.t2 B.t-1 C.t D.t+1
答案 C
2.(2022湖南邵阳一模,8)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王
子”的称号.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则f(x)=[x]称为高斯函数.已知数列
{a }满足a =2,且(n+1)a -na =2n+1,若b =[lg a ],数列{b }的前n项和为T ,则T =(
n 2 n+1 n n n n n 2 021
)
A.4 950 B.4 953 C.4 956 D.4 959
答案 C
3.(2022湖北九师联盟3月质检,18)在数列{a }中,a ={2n-1,n为奇数,
n n
2n,n为偶数.
(1)求a ,a ,a ;
1 2 3
(2)求数列{a }的前n项和S .
n n曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解析 (1)因为a ={2n-1,n为奇数,
n
2n,n为偶数,
所以a =2×1-1=1,a =22=4,a =2×3-1=5.
1 2 3
(2)因为a ={2n-1,n为奇数, 所以a ,a ,a ,…是以1为首项,4为公差的等差数列,
n 1 3 5
2n,n为偶数,
a ,a ,a ,…是以4为首项,4为公比的等比数列,
2 4 6
n+1 n-1
当n为奇数时,数列{a }的前n项中有 个奇数项,有 个偶数项,
n
2 2
所以S =a +a +a +…+a =(a +a +…+a +a )+(a +a +…+a +a )
n 1 2 3 n 1 3 n-2 n 2 4 n-3 n-1
n+1(n+1
-1 ) n-1
=n+1 2 2 4(1-4 2 ) n2+n 2n+1-4;
×1+ ×4+ = +
2 2 1-4 2 3
n n
当n为偶数时,数列{a }的前n项中有 个奇数项,有 个偶数项,
n
2 2
所以S =a +a +a +…+a =(a +a +…+a +a )+(a +a +…+a +a )=
n 1 2 3 n 1 3 n-3 n-1 2 4 n-2 n
n(n )
-1 n
n 2 2 4(1-42) n2-n 2n+2-4.
×1+ ×4+ = +
2 2 1-4 2 3
{n2+n 2n+1-4
+ ,n为奇数,
所以S = 2 3
n
n2-n 2n+2-4
+ ,n为偶数.
2 3
4.(2022辽宁名校联盟二轮复习联考(一),18)已知等差数列{a }的前n项和为S ,满足
n n
a =1,S -12=6a +a .
1 7 2 10
(1)求数列{a }的通项公式;
n
9T -20
(2)记数列{a ·2a n +1 }的前n项和为nT,求满足 n >4 096的正整数n的最小值.
n 6n-5
7×6
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,由S -12=6a +a 得7a + d-12=6(a +d)+a +9d,即
n 7 2 10 1 1 1
2
21d-12=15d,解得d=2,∴a =1+2(n-1)=2n-1.
n
(2)由(1)得a n ·2a n +1=(2n-1)·22n=(2n-1)·4n,
∴T =1×41+3×42+5×43+…+(2n-3)·4n-1+(2n-1)·4n,
n
4T =1×42+3×43+5×44+…+(2n-3)·4n+(2n-1)·4n+1,
n
42×(1-4n-1)
∴3T =(2n-1)·4n+1-4-2×(42+43+…+4n)=(2n-1)·4n+1-4-2× =(2n-1)·4n+1-4-2×
n 1-4
4n+1-42
(
5)·4n+1+20,
= 2n-
3 3 3
(6n-5)·4n+1+20 9T -20
∴T
n
=
9
,∴
6n
n
-5
=4n+1>4 096=46,解得n>5,又n∈N*,∴正整数n的
最小值为6.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
B组 综合应用题组
时间:50分钟 分值60分
一、单项选择题(每小题5分,共15分)
1.(2022辽宁名校联盟二轮复习联考(一),8)某社团专门研究密码问题.社团活动室用的也
是一把密码锁,且定期更换密码,但密码的编写方式不变,都是以当日值班社员的姓氏为依
100
据编码的,密码均为 的小数点后的前6位数字.编码方式如下;①x为某社员的首拼声
N
母对应的英文字母在26个英文字母中的位置;②若x为偶数,则在正偶数数列中依次插
入数值为3n的项得到新数列{a },即2,3,4,6,8,32,10,12,14,16,…;若x为奇数.则在正奇数数
n
列中依次插入数值为2n的项得到新数列{a },即1,2,3,22,5,7,23,9,11,13,…,③N为数列{a }
n n
的前x项和.如当值社员姓康,则K在26个英文字母中排第11位.所以x=11.前11项中有
2,22,23,所以有8个奇数.故N=1+3+…+15+2+22+23=78,所以密码为282051,若今天当值社
员姓徐,则当日密码为( )
A.125786 B.199600 C.200400 D.370370
答案 B
2. (2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,5)如图,连接△ABC的各边中点得到一个
新的△A
1
B
1
C
1
,又连接△A
1
B
1
C
1
各边中点得到一个新的△A
2
B
2
C
2
,如此无限继续下去,得到一
系列三角形:△ABC,△A
1
B
1
C
1
,△A
2
B
2
C
2
,…,这一系列所有三角形的面积和趋向于一个常数.
已知A(0,0),B(5,0),C(1,3),则这个常数是( )
10
A. B.5 C.10 D.15
3
答案 C
3.(2022湖南邵阳、郴州二模,7)在流行病学中,基本传染数R 是指在没有外力介入,同时
0
所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R 一般由疾病的感染周期、
0
感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定,假设某种传染病的基本
传染数R =2,平均感染周期为7天,那么感染人数由1(初始感染者)增加到999大约需要
0
的天数为(初始感染者传染R 个人为第一轮传染,这R 个人每人再传染R 个人为第二轮
0 0 0
传染,……,参考数据:lg 2≈0.301 0)( )
A.42 B.56 C.63 D.70
答案 C
二、多项选择题(共5分)
4.(2022华大新高考联盟3月教学质量测评,10)十二平均律是由我国明代音乐理论家和
数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年),他写成《律学新说》,提出了十二平
