曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
微专题一
1.(2022全国名校4月大联考,10)已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂
直的直线l ,l ,直线l 与C交于A,B两点,直线l 与C交于D,E两点,则|AB|+9|DE|的最小
1 2 1 2
值为( )
A.32 B.48 C.64 D.72
答案 C 因为l 1⊥l
2
,且l
1
,l
2
与抛物线y2=4x都有2个交点,所以直线l
1
,l
2
的斜率均存在且
不为零.易知F(1,0),所以可设直线l 的方程为x=my+1(m≠0),则直线l 的方程为x=-
1 2
1
y+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线l1与抛物线C的方程可得2−y 4my−4=0,Δ=16m2+16>0恒成立,则y1+ y2=4m,y1y2=−4,故|AB|=√1+m2
m
·
√16m2+16=4(m2+1),同理可得|DE|=4 ( 1 +1 ) ,所以|AB|+9|DE|=4(m2+1)+36 ( 1 +1 ) =4 ( m2+ 9 )
m2 m2 m2
9
+40≥64,当且仅当m2= ,
m2
即m=±√3时等号成立,所以|AB|+9|DE|的最小值为64,故选C.
2.(2022贵阳一模,12)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P
1 1 1
为抛物线上一动点,点Q(1,2),若 + = ,则|PF|+|PQ|的最小值是( )
|AB| |CD| 4
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C 由题意知F
( p) p(k≠0),由
0, ,直线AB的斜率存在且不0为,设直线AB的方程=为kxy+
2 2
{ p
y=kx+ , 消去y得x2-2pkx-p2=0,Δ=4p2k2+4p2>0,设A(x ,y ),B(x ,y ),则x +x =2pk,所以
2 1 1 2 2 1 2
x2=2py,
y
1
+y
2
=k(x
1
+x
2
)+p=2pk2+p,由抛物线的定义,得|AB|=y
1
+y
2
+p=2p(k2+1).因为AB⊥CD,所以直
1
线CD的方程为y=- ·x+
k
p 2p 1 1 1 1 1 1
,同理得|CD|= (k2+1),所以 + = + = =
2 k2 |AB| |CD| 2p(1+k2) 2p
(k2+1)
2p 4
k2
,解得p=2,所以抛物线E的方程为x2=4y,准线方程为y=-1,如图,过点P作PM垂直于抛物
线的准线,垂足为M,连接MQ,则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|
≥|MQ|≥2-(-1)=3.当且仅当Q、P、M三点共线时等号成立,故选C.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3.(2022陕西西工大附中六模,20)已知椭圆E:x2 y2
,过椭圆
+ =1(a>b>0)的焦距为2√3
a2 b2
E的焦点且与x轴垂直的弦的长为1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)如图,F是椭圆E的右焦点,A,C是椭圆C上关于y轴对称的两点(不在x轴上),直线AF
|AB|
交椭圆E于另一点B,若D是△ABC外接圆的圆心,求 的最小值.
|DF|
解析 (1)由题知,2c=2
x2 y2 b2
√3,解得c=√3.由椭圆的对称性,不妨取椭圆的右焦点F(c,0),将x=c代入 + =1(a>b>0),得y=±
a2 b2 a
,
2b2 1
所以 =1,所以b2= a.
a 2
1
又b2+c2=a2,所以 a+3=a2,
2
解得a=2(负值舍去),所以b=1,
x2
所以椭圆C的方程为 +y2=1.
4
(2)由题知,直线AB的斜率不为0.设直线AB的方程为x=my+
-2√3m -1
√3,代入椭圆E的方程,消去x得(m2+4)y2+2√3my−1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+ y2= ,y1y2=
m2+4 m2+4
,
所以x +x =m(y +y )+2
1 2 1 2
√3= -2√3m2 +2√3= 8√3 ,则线段AB的中点坐标 ( 为 4√3 , -√3m) ,|AB|=√1+m2
m2+4 m2+4 m2+4 m2+4
·|y
1
-y
2
|=
√1+m2×√(y + y )2-4 y y =√1+m2×
4√1+m2
=
4(1+m2).
1 2 1 2 m2+4 m2+4曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
因为D是△ABC的外心,且A,C关于y轴对称,所以D是线段AB的垂直平分线与y轴的
交点.线段AB的垂直平分线的方程为y-
-√3m ( 4√3 ) 3√3m ( 3√3m).
=−m x- ,令x=0,得y= ,即D 0,
m2+4 m2+4 m2+4 m2+4
又F(
√ 27m2 √3(m2+1)(m2+16) |AB| 4(1+m2)
√3,0),所以|DF|= 3+ = ,所以 =
(m2+4)2 m2+4 |DF| √3(m2+1)(m2+16)
= 4 √ m2+1 4 √ 15 ≥ 4 √ 15 √3,
× = × 1- × 1- =
√3 m2+16 √3 m2+16 √3 16 3
当且仅当m=0时取等号,
|AB| √3
所以 的最小值为 .
|DF| 3
4.(2022东北三省三校二模,20)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点P(-3,2),|PF|=2
,若过点P作直线与抛物线E顺次交于A,B两点,过点A作斜率为1的直线与抛物线的
√5
另一个交点为点C.
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)求证:直线BC过定点;
(3)若直线BC所过定点为点Q,△QAB,△PBC的面积分别为S
1
,S
2
,求 S
1
的取值范围.
S
2
解析 (1)焦点F(p ) √ ( p) 2 .
,0 ,|FP|= -3- +4=2√5
2 2
∵p>0,∴p=2,
故抛物线E的标准方程为y2=4x.
(2)证明:显然,直线AB的斜率存在,设AB的方程为y-2=k(x+3).
由{y-2=k(x+3), 得,ky2-4y+8+12k=0,k≠0,
y2=4x
Δ=16(-3k2-2k+1)>0,
4 8
设A(x ,y ),B(x ,y ),则y +y = ,y1y2= +12,
1 1 2 2 1 2
k k
∴y y -12=2(y +y ).①
1 2 1 2
直线AC的方程为y-y
=x-y2
.
1 1
4
{
y2
由 y- y 1 =x- 4 1, 得,y2-4y+4y 1 - y2=0,
1
y2=4x曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
Δ=16-4(4y - )>0,
1 y2
1
设C(x ,y ),则y +y =4.②
3 3 1 3
由①②得(4-y )y -12=2(4-y +y ),
3 2 3 2
∴2(y +y )=y y +20.③
2 3 2 3
(i)若直线BC的斜率不存在,则y +y =0,又2(y +y )=y y +20,∴ y2 =5,
2 3 2 3 2 3 y2=20,∴x3= 3
3 4
∴BC的方程为x=5.
(ii)若直线BC的斜率存在,则k =y - y 4 ,
BC 2 3=
x -x y + y
2 3 2 3
直线BC的方程为y-y
2
= 4 (
x-
y
2
2 ),即4x-(y
2
+y
3
)y+y
2
y
3
=0,
y + y 4
2 3
将③代入得4x-(y +y )y+2(y +y )-20=0,
2 3 2 3
∴(y +y )(2-y)+4(x-5)=0,
2 3
故直线BC过点(5,2).
由(i)(ii)知,直线BC过点(5,2).
1 1 1 1
(3)S =S -S = |PQ|·|y -2|- |PQ|·|y -2|= |PQ|·|y -y |= ×8×|y -y |=4|y -y |,
1 △PBQ △PAQ
2
1
2
2
2
1 2
2
1 2 1 2
1 1
S = |PQ|·|y -y |= ×8×|y -y |=4|y -y |=4|y +y -4|,
2 2 3 2 3 2 3 1 2
2 2
由(2)得y +y =4 8 √16 32 4√-3k2-2k+1,k≠0,
1 2 ,y1y2= +12,∴|y1−y2|= - -48=
k k k2 k |k|
1
又Δ=16(-3k2-2k+1)>0,∴-1<k< ,且k≠0,
3
S |y - y | 4√-3k2-2k+1 √-3k2-2k+1
1= 1 2 = =
则 .
S |y + y -4| |4 | |k-1|
2 1 2 |k|· -4
k
1
设k-1=u,t= ,
u
S √-(u+2)(3u+2) √ 3u2+8u+4 ,
1= = - =√-4t2-8t-3=√-4(t+1)2+1
S u2 u2
2
∵-1<k<1,且k≠0,∴t∈(
-
3
,-1
)∪(
-1,-
1),
3 2 2
∴ ∈(0,1),
√-4(t+1)2+1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
故 S 的取值范围是(0,1).、
1
S
2
微专题二
1.(2022湘豫名校3月联考,20)已知点P是抛物线C:x2=4(y+3)的顶点,过点(0,-1)的直线l
交C于A,B两点,点M是△PAB的外接圆的圆心.
(1)试问:直线l与点M的轨迹是否有交点?若有,请求出交点坐标;若没有,请说明理由.
(2)若在点M的轨迹上存在不关于y轴对称的两点G、H,使直线PG与直线PH关于y轴
对称,求证:直线GH必过定点.
解析 设A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
(1)设直线AB的方程为y=kx-1.
由 { y= 1 x2-3,化简,得x2-4kx-8=0.
4
y=kx-1,
所以Δ=16k2+32>0,x +x =4k,x x =-8.
1 2 1 2
若直线l与点M的轨迹有交点,则PA⊥PB.
易知P(0,-3),由⃗PA·⃗PB=0,得x x +y y +3(y +y )+9=0.
1 2 1 2 1 2
因为y +y =4k2-2,y y =-12k2+1,代入上式不成立,
1 2 1 2
所以直线l与点M的轨迹没有交点.
(2)证明:因为点M是△PAB的外接圆的圆心,
所以点M是△PAB三条边的中垂线的交点.
设线段PA的中点为F,线段PB的中点为E.
因为P(0,-3),
所以F(x y -3 ) (x y -3 ) y +3 y +3.
1, 1 ,E 2, 2 ,kPA= 1 ,kPB= 2
2 2 2 2 x x
1 2
所以线段PA的中垂线的方程为y- y 1 -3 =− x 1 ·( x- x 1 ).
2 y +3 2
1
1
因为A在抛物线C上,所以y +3= x2,
1 4 1
所以PA的中垂线的方程为y-x2 4 ( x ),
1+3=− x- 1
8 x 2
1
即y=- 4
x2
-1.
x+ 1
x 8
1
同理可得线段PB的中垂线的方程为y=- 4
x2
-1.
x+ 2
x 8
2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
{ y=- 4 x+ x 1 2 -1, { x =- x 1 x 2 (x 1 +x 2 ) ,
x 8 M 32
联立得 1 解得
4 x2 x2+x2+x x -8
y=- x+ 2-1, y = 1 2 1 2 .
x 8 M 8
2
由(1)可得x +x =4k,x x =-8.
1 2 1 2
所以x
M
=--8×4k
=k,yM=
x
1
2+x
2
2+2x
1
x
2=
(x
1
+x
2
)2 =2k2,
x2 =
1y
M
.
32 8 8 M 2
1
所以点 M 的轨迹方程为 x 2 = y.
2
设H(x ,2 ),G(x ,2 )是满足条件的两点,
3 x2 4 x2
3 4
则x +x ≠0.
3 4
所以k
=2x2-2x2 2x2+3 2x2+3.
HG 3 4=2(x3+x4),kPH= 3 ,kPG= 4
x -x x x
3 4 3 4
由k +k =0,即 (x +x )(2x x +3) 3.
PH PG 3 4 3 4 =0,得x3x4=−
x x 2
3 4
又直线HG的方程为y-2 =2(x +x )(x-x ),
x2 3 4 3
3
整理,得y=2(x +x )x-2x x ,即y=2(x +x )x+3.
3 4 3 4 3 4
所以直线HG必过定点(0,3).
x2
2.(2022河南天一第五次联考,20)在直角坐标系xOy中,椭圆C: +y2=1与直线l:x=my+1
4
交于M,N两点,P为MN的中点.
(1)若m<0,且N在x轴下方,求tan∠OPN的最大值;
(2)设A,B为椭圆的左、右顶点,证明:直线AN,BM的交点D恒在一条定直线上.
解析 设M(x ,y ),N(x ,y ).
1 1 2 2
(1)记l的倾斜角为α,OP的倾斜角为β,则∠OPN=α-β.
{x=my+1,
由 得(m2+4)y2+2my-3=0,
x2
+ y2=1,
4
2m -3
则y +y =- ,y1y2= ,
1 2 m2+4 m2+4
8
所以x +x =m(y +y )+2= ,
1 2 1 2 m2+4
于是P( 4
,-
m )
,故kOP=−
m.
m2+4 m2+4 4曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1 m
+
所以tan∠OPN=tan(α-β)=
k
l
-k
OP =
m 4
=
4( 1
+
m)
=−
4(
-
1
-
m)
≤-
4
,
1+k ·k 1 3 m 4 3 m 4 3
OP l 1-
4
1 m
当且仅当- =− ,即m=-2时,取“=”.
m 4
4
所以tan∠OPN的最大值为- .
3
(2)证明:易知A(-2,0),B(2,0).
由题意知k = y y ,
AN 2 ,kBM= 1
x +2 x -2
2 1
所以直线AN的方程为y= y (x+2),
2
x +2
2
直线BM的方程为y= y (x-2).
1
x -2
1
令 y y (x+2),
1 (x−2)= 2
x -2 x +2
1 2
得x=
2y
2
(x
1
-2)+2y
1
(x
2
+2)
=
4my
1
y
2
-2y
2
+6 y
1
y (x +2)- y (x -2) 3 y + y
1 2 2 1 1 2
=4m y y -2(y + y )+8y
1 2 2 1 1
2y +(y + y )
1 1 2
-3 ( 2m )
4m· ·-2 - +8 y
m2+4 m2+4 1
= =4,
( 2m )
2y + -
1 m2+4
所以点D恒在定直线x=4上.
3.(2022贵州3月适应性测试,20)如图,椭圆C:x2 y2
=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为
+
a2 b2
A,B,右焦点为F,点P在C上,PF⊥x轴,AB∥OP,|AB|=√3.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l交椭圆于M,N两点,坐标平面上是否存在定点Q,使得⃗QM·⃗QN是定值?
若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
