曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
5.2 三角恒等变换
三年模拟
一、选择题
1.(2022安徽江淮十校三模,6)已知α∈(0,π),tan(
α-
π)
=√3
+2,则sin α=( )
4
1 1 √3 √3
A. B.- C. D.-
2 2 2 2
答案 C tan(
α-
π)
=√3
+2⇒ tanα-1
=√3
+2⇒tan α=-
√3
,∵α∈(0,π),故α=
4 1+tanα
2π √3
,故sin α= .故选C.
3 2
2.(2022河南焦作二模,3)已知cos 2x+√3sin 2x=√3,则x的值可以是( )
π π π
A.0 B. C. D.
6 4 3
答案 C 因为cos 2x+ ( π) ,
√3sin 2x=2sin 2x+ =√3
6
所以sin( π) √3.
2x+ =
6 2
对于A,若x=0,则sin( π) π 1≠√3,所以A不符合题意,
2×0+ =sin =
6 6 2 2
对于B,若x=π ( π π) π=1≠√3,所以B不符合题意;
,则sin 2× + =sin
6 6 6 2 2
对于C,若x=π ( π π) π √3,所以C符合题意;
,则sin 2× + =cos =
4 4 6 6 2
对于D,若x=π ( π π) 5π 1≠√3,所以D不符合题意,
,则sin 2× + =sin =
3 3 6 6 2 2
故选C.
3.(2022江西上饶六校二模,5)已知α∈(π
,π
)
,sin α=
3
,则cos
(
π-
α)=( )
2 5 2
√10 √10 3√10 3√10
A.- B. C.- D.
10 10 10 10
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答案 A 由α∈
(π ,π ) ,sin α= 3 ,得cos α=-√1-sin2α=- √ 1- (3) 2 =- 4 ,∵ π <α<π,∴ π < α < π
2 5 5 5 2 4 2 2
,
√ ( 4)
∴cos 1+ - ,
α α √1+cosα 5 √10
>0,∴cos = = =
2 2 2 2 10
∴cos( α) α √10.故选A.
π- =-cos =-
2 2 10
x x x
4.(2022陕西省西安中学模拟,6)当x=θ时,f(x)=6sin2 +2sin cos -3取得最大值,则tan
2 2 2
θ=( )
1 1
A.3 B.-3 C. D.-
3 3
x x x
答案 D f(x)=6sin2 +2sin cos -3=3(1-cos x)+sin x-3=√10sin(x+φ),其中
2 2 2
tan φ=-3,
π
由题意得θ+φ=2kπ+ ,k∈Z,
2
(π )
sin -φ
则tan θ=tan( π ) (π ) 2 cosφ 1 1.故选D.
2kπ+ -φ =tan -φ = = = =-
2 2 (π ) sinφ tanφ 3
cos -φ
2
5.(2022安徽安庆一中4月联考,8)已知点P(cos θ,sin θ)与点Q cos( π) ( π)
θ+ ,sin θ+
6 6
关于x轴对称,则( )
A.sin( π) 1 ( π) 1
2θ+ = B.cos 2θ+ =
6 2 6 2
C.sin 2θ=sin( π) ( π)
2θ+ D.cos 2θ=cos 2θ+
3 3
答案 D 由已知得cos θ=cos(
θ+
π)
,sin θ=-sin
(
θ+
π)
,所以θ=-
π +2kπ,k∈Z.
6 6 12
所以sin( π)=sin 4kπ=sin 0=0,
2θ+
6
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cos( π)=cos 4kπ=cos 0=1,
2θ+
6
sin 2θ=2sin θcos θ=-2sin( π) ( π)
θ+ cos θ+
6 6
=-sin( π),
2θ+
3
cos 2θ=cos2θ-sin2θ=cos2( π) ( π)
θ+ -sin2 θ+
6 6
=cos( π),故选D.
2θ+
3
6.(2022安徽江淮十校三模,7)已知tan( π) 2 (π )=( )
α- = ,则sin +2α
3 3 3
12 12 6 6
A.- B. C.- D.
13 13 13 13
答案 A sin(π ) (π ) (π )
+2α =2sin +α cos +α
3 6 6
=2sin[π ( π)] [π ( π)]
+ α- cos + α-
2 3 2 3
=2cos( π)[ ( π)]
α- -sin α-
3 3
( π) ( π) ( π)
2sin α- cos α- 2tan α-
=- 3 3 3 ,
=-
sin2(
α-
π) +cos2(
α-
π) tan2(
α-
π)
+1
3 3 3
2
2×
( π) 2 3 12
将tan α- = 代入,原式=- =- .故选A.
3 3 4 13
+1
9
3
7.(2022东城一模,5)已知sin α= ,则sin(π-2α)·tan α=( )
5
32 32 18 18
A. B.- C. D.-
25 25 25 25
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sinα 3
答案 C sin(π-2α)·tan α=sin 2αtan α=2sin α·cos α· =2sin2α,又sin α= ,所
cosα 5
以原式=2×(3) 2 18.
=
5 25
8.(2022北京四中阶段性测试一,2)角θ的终边过点P(2,4),则tan( π)=( )
θ+
4
1 1
A.- B.-3C. D.3
3 3
y
答案 B ∵角θ的终边过点(2,4),∴tan θ= =2,
x
∴tan( π) 1+tanθ 1+2=-3.
θ+ = =
4 1-tanθ 1-2
1-2sin2α
9.(2022九师联盟4月联考,4)若tan(α-π)=2,则 =( )
1+sin2α
1 1
A.- B.-3C. D.3
3 3
答案 A 由题意得tan α=2,则
1-2sin2α sin2α+cos2α-2sin2α cos2α-sin2α cosα-sinα 1-tanα 1
= = = = =-
1+sin2α sin2α+cos2α+2sinαcosα (sinα+cosα)2 cosα+sinα 1+tanα 3
故选A.
10.(2022湘豫名校4月联考,7)若sin 10°=(1-√3tan 10°)sin(10°-α),则sin(2α+70°)=( )
1 1 7 7
A. B.- C. D.-
8 8 8 8
cos10°-√3sin10° 2sin20°
答案 C 因为sin(10°-α)· =sin(10°-α)· =4sin
cos10° cos10°
10°sin(10°-α)=sin 10°,
1 1 7
所以sin(10°-α)= ,所以sin(2α+70°)=cos(20°-2α)=1-2sin2(10°-α)=1- =
4 8 8
.故选C.
11.(2022晋中南五校联考,3)已知sin(
α+
π)
=
4,α∈(π
,
π),则cos α=( )
4 5 4 2
√2 3√2 √2 7√2
A. B. C. D.
10 10 2 10
答案 A 由α∈(π
,
π)
,得α+
π ∈(π
,
3π),
4 2 4 2 4
则cos(
α+
π)
=-
√ 1-sin2(
α+
π)
=-
3,
4 4 5
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cos α=cos[( π) π] ( π) π ( π) π 3 √2 4 √2 √2
α+ - =cos α+ cos +sin α+ sin =- × + × =
4 4 4 4 4 4 5 2 5 2 10
.故选A.
1
12.(多选)(2022河北保定部分学校期中,9)已知tan α=4,tan β=- ,则( )
4
A.tan(-α)tan β=1 B.α为锐角
C.tan( π) 3 D.tan 2α=tan 2β
β+ =
4 5
答案 ACD 因为tan α=4,tan β=-
( 1)
2× -
1 ( π) 1+tanβ 3 2tanα 2×4 8 2tanβ 4 8
,所以tan(-α)tan β=-tan αtan β=1.由题意得不出α是锐角.tan β+ = = .因为tan 2α= = =- ,tan 2β= = =-
4 4 1-tanβ 5 1-tan2α 1-42 15 1-tan2β ( 1) 2 15
1- -
4
,所以tan 2α=tan 2β.
二、填空题
1 sin2α+1
13.(2022吉林白山一模,14)已知tan α=- ,则 = .
3 cos2α
1
答案
2
解析 因为tan α=-
1 sin2α+1 2sinαcosα+sin2α+cos2α tan2α+2tanα+1 1.
,所以 = = =
3 cos2α cos2α-sin2α 1-tan2α 2
( 4π)
sin α-
14.(2022昆明第一中学适应性月考(六),14)若 7 tanα = .
=-3,则
sin ( α- 3π) tan 3π
7 7
答案 2
( 4π) 4π 4π
sin α- sinαcos -cosαsin
解析 7 7 7
=
sin ( α- 3π) sinαcos 3π -cosαsin 3π
7 7 7
=
( 3π) 3π 3π
sinα -cos -cosαsin -tanα-tan
7 7 7 3π tanα
= =-3,整理得tan α=2tan ,所以
3π 3π 3π 7 3π
sinαcos -cosαsin tanα-tan tan
7 7 7 7
=2.
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15.(2022太原一模,14)已知α为锐角,sin( π ) 3 ( π)= .
α- = ,则cos α+
12 5 6
√2
答案
10
解析 因为sin( π ) 3,α为锐角,
α- =
12 5
所以cos( π ) 4 ( π)
α- = ,则cos α+
12 5 6
=cos[( π ) π]
α- +
12 4
=√2[ ( π ) ( π )] √2.
cos α- -sin α- =
2 12 12 10
一年创新
1.(2022 5·3改编题)魏晋南北朝时期,我国数学家祖冲之利用割圆术,求出圆周率π约为
355 1-2cos27°
,是当时世界上最精确的圆周率结果,直到近千年后这一记录才被打破.若已知π的近似值还可以表示为4sin 52°,则
113 π√16-π2
的值为( )
1 1
A. B.- C.8 D.-8
8 8
答案 B 由题意得
1-2cos27° -cos14° -cos14° -cos14° cos14° 1
= = = =- =-
π√16-π2 4sin52°√16-16sin252° 8sin104° 8sin(90°+14°) 8cos14° 8
故选B.
2.(2022西安中学二模,14)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我
国数学的发展做出了巨大贡献,他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了
广泛的应用.0.618就是黄金分割比m=
√5-1 m√4-m2 =
的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则
2 1-2sin227°
.
答案 2
√5-1
解析 由题意得,2sin 18°=m= ,∴m2=4sin218°,
2
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则
m√4-m2 2sin18°√4-4sin218°
=
1-2sin227° cos54°
4sin18°cos18° 2sin36°
= = =2.
cos54° cos54°
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