曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第七章 数 列
7.1 等差数列
五年高考
考点一 等差数列及其前n项和
1.(2015重庆,2,5分,基础性)在等差数列{a }中,若a =4,a =2,则a =( )
n 2 4 6
A.-1 B.0 C.1 D.6
答案 B
2.(2015浙江,3,5分,基础性)已知{a }是等差数列,公差d不为零,前n项和是S .若a ,a ,a
n n 3 4 8
成等比数列,则( )
A.a d>0,dS >0 B.a d<0,dS <0
1 4 1 4
C.a d>0,dS <0 D.a d<0,dS >0
1 4 1 4
答案 B
3.(2014辽宁,8,5分,基础性)设等差数列{a n }的公差为d.若数列{2a 1 a n}为递减数列,则(
)
A.d<0 B.d>0
C.a d<0 D.a d>0
1 1
答案 C
4.(2019课标Ⅰ理,9,5分,基础性)记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S =0,a =5,则( )
n n 4 5
A.a =2n-5 B.a =3n-10
n n
1
C.S =2n2-8n D.S = n2-2n
n n
2
答案 A
5.(2022全国乙文,13,5分,基础性)记S 为等差数列{a }的前n项和.若2S =3S +6,则公差
n n 3 2
d= .
答案 2
6.(2020江苏,11,5分,综合性)设{a }是公差为d的等差数列,{b }是公比为q的等比数列.
n n
已知数列{a
n
+b
n
}的前n项和S
n
=n2-n+2n-1(n∈N*),则d+q的值是 .
答案 4
7.(2020课标Ⅱ文,14,5分,基础性)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a =-2,a +a =2,则
n n 1 2 6
S = .
10
答案 25
8.(2020新高考Ⅰ,14,5分,综合性)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列
{a },则{a }的前n项和为 .
n n
答案 3n2-2n
9.(2019课标Ⅲ文,14,5分,基础性)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a =5,a =13,则S =
n n 3 7 10
.
答案 100曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
10.(2019课标Ⅲ理,14,5分,基础性)记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,若a
1
≠0,a
2
=3a
1
,则 S
10
=
S
5
.
答案 4
2S
11.(2022全国甲,理17,文18,12分,基础性)记S 为数列{a }的前n项和.已知 n+n=2a +1.
n n n
n
(1)证明:{a }是等差数列;
n
(2)若a ,a ,a 成等比数列,求S 的最小值.
4 7 9 n
2S
解析 (1)证明:由已知条件 n+n=2a +1可得,
n
n
2S =2na +n-n2①,当n≥2时,由①可得2S =2(n-1)·a +(n-1)-(n-1)2②,由a =S -S 及①-②
n n n-1 n-1 n n n-1
可得,(2n-2)a
n
-(2n-2)a
n-1
=2n-2,n≥2,且n∈N*,
即a -a =1,因此{a }是等差数列,公差为1.
n n-1 n
(2)∵a
4
,a
7
,a
9
成等比数列,且a
4
=a
1
+3,a
7
=a
1
+6,a
9
=a
1
+8,∴
a2
=a
4
·a
9
,即(a
1
+6)2=(a
1
+3)(a
1
+8),
7
解得a =-12,∴等差数列{a }的通项公式为a =-12+(n-1)·1=n-13,
1 n n
∴S
n
= (a
1
+a
n
)n
=
1
n2−
25
n=
1(
n-
25) 2
−
625,
2 2 2 2 2 8
∵n∈N*,∴当n=12或n=13时,S
n
最小,
最小值为-78.
12.(2021新高考Ⅱ,17,综合性)记S 为公差不为零的等差数列{a }的前n项和,若
n n
a =S ,a ·a =S .
3 5 2 4 4
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求使得S >a 成立的n的最小值.
n n
解析 (1)设等差数列{a }的公差为
n
d,d≠0.a
3
=S 5⇒a
1
+2d=5a
1
+10d⇒4a
1
+8d=0⇒a
1
+2d=0⇒a
1
=-2d,①a
2
·a
4
=S 4⇒(a
1
+d)(a
1
+3d)=4a
1
+6d,
②
将①代入②得-d2=-2d⇒d=0(舍)或d=2,
∴a =-2d=-4,∴a =-4+(n-1)×2=2n-6.
1 n
(2)由(1)知a =2n-6,
n
n(n-1)
S =na + d=-4n+n(n-1)=n2-5n.
n 1
2
S >a ⇔n2-5n>2n-6⇔n2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0,
n n
解得n<1(舍)或n>6,∵n为正整数,∴n的最小值为7.
考点二 等差数列的性质及应用
1.(2022新高考Ⅱ,3,5分,创新性)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,
相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中
DD ,CC ,BB ,AA 是举,OD ,DC ,CB ,BA 是相等的步,相邻桁的举步之比分别为
1 1 1 1 1 1 1 1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
DD CC BB A A =k .已知k ,k ,k 成公差为0.1的等差数列,且直
1=0.5, 1 =k1, 1=k2, 1 3 1 2 3
OD DC CB BA
1 1 1 1
线OA的斜率为0.725,则k =( )
3
图1
图2
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
答案 D
2.(2011全国,4,5分,基础性)设S 为等差数列{a }的前n项和,若a =1,公差d=2,S -S =24,
n n 1 k+2 k
则k=( )
A.8 B.7 C.6 D.5
答案 D
3.(2013课标全国Ⅰ,7,5分,基础性)设等差数列{a }的前n项和为S ,若
n n
S =-2,S =0,S =3,则m=( )
m-1 m m+1
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
4.(2020课标Ⅱ理,4,5分,应用性)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三
层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向
外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加
9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(
)
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
答案 C
5.(2020北京,8,4分,综合性)在等差数列{a }中,a =-9,a =-1.记T =a a …a (n=1,2,…),则数列
n 1 5 n 1 2 n
{T }( )
n曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项
答案 B
6.(2019江苏,8,5分,基础性)已知数列{a
n
}(n∈N*)是等差数列,S
n
是其前n项和.若
a a +a =0,S =27,则S 的值是 .
2 5 8 9 8
答案 16
7.(2021新高考Ⅰ,17,10分,综合性)已知数列{a n }满足a 1 =1,a n+1 ={a n +1,n为奇数,
a +2,n为偶数.
n
(1)记b =a ,写出b ,b ,并求数列{b }的通项公式;
n 2n 1 2 n
(2)求{a }的前20项和.
n
解析 (1)由题意得a =a +2,a =a +1,
2n+1 2n 2n+2 2n+1
所以a =a +3,即b =b +3,且b =a =a +1=2,
2n+2 2n n+1 n 1 2 1
所以数列{b }是以2为首项,3为公差的等差数列,
n
所以b =2,b =5,b =2+(n-1)×3=3n-1.
1 2 n
(2)当n为奇数时,a =a -1.
n n+1
设数列{a }的前n项和为S ,
n n
则S =a +a +…+a
20 1 2 20
=(a +a +…+a )+(a +a +…+a )
1 3 19 2 4 20
=[(a -1)+(a -1)+…+(a -1)]+(a +a +…+a )
2 4 20 2 4 20
=2(a +a +…+a )-10,
2 4 20
10×9
由(1)可知a +a +…+a =b +b +…+b =10×2+ ×3=155,故S =2×155-10=300,即{a }的
2 4 20 1 2 10 20 n
2
前20项和为300.
解题关键 一是对已知关系式进行转化,进而利用等差数列定义求得数列{b }的通项公
n
式;二是利用分组求和的方式对S 进行重组变形,结合a 与b 的关系求得结果.
20 n n
8.(2021全国甲理,18,12分,综合性)已知数列{a }的各项均为正数,记S 为{a }的前n项和,
n n n
从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{a }是等差数列;②数列{ }是等差数列;③a =3a .
n √S 2 1
n
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
解析 选①②作为条件,证明③.
证明:设等差数列{a }的公差为d,因为{
n
√S }是等差数列,所以2√S =√S +√S ,即2√2a +d=√a +√3a +3d,两边平方,得4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2√a (3a +3d),整理得4a1+d=2√a (3a +3d)
n 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1
两边平方,得16 +8a d+d2=4(3 +3a d),化简得4 -4a d+d2=0,即 =0,所以
a2 1 a2 1 a2 1 (2a -d)2
1 1 1 1
d=2a ,则a =a +d=3a .
1 2 1 1
选①③作为条件,证明②.
证明:设等差数列{a }的公差为d.
n
因为a =3a ,即a +d=3a ,所以d=2a .
2 1 1 1 1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
n(n-1) n(n-1)
所以等差数列{a }的前n项和S =na + d=na1+ ·2a =n2a .又a >0,所以
n n 1 1 1 1
2 2
.
√S =n√a
n 1
则 的等差数列.
√S −√S =(n+1)√a −n√a =√a ,所以数列{√S }是公差为√a
n+1 n 1 1 1 n 1
选②③作为条件,证明①.
证明:设等差数列{
√S }的公差为d,因为√S =√a ,√S =√a +a =√a +3a =2√a ,所以d=√S −√S =2√a −√a =√a ,则等差数列{√S }的通项公式为√S =√a +(n−1)√a =n√a
n 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 n n 1 1 1
所以S =n2a ,当n≥2时,a =S -S =n2a -(n-1)2a =(2n-1)a ,且当n=1时,上式也成立,所以数列
n 1 n n n-1 1 1 1
{a }的通项公式为a =(2n-1)a ,则a -a =(2n+1)a -(2n-1)a =2a ,所以数列{a }是公差为2a
n n 1 n+1 n 1 1 1 n 1
的等差数列.
方法总结 证明数列{a }是等差数列的方法:
n
(1)定义法:证明a
n
-a
n-1
=d(n≥2,n∈N*)或a
n+1
-a
n
=d(n∈N*);
(2)等差中项法:证明2a
n
=a
n-1
+a
n+1
(n≥2,n∈N*).
三年模拟
A组 考点基础题组
考点一 等差数列及其前n项和
1.(2022湖南省名校第二次大联考,3)设等差数列{a }的前n项和为S ,且2a -a =4,则S =(
n n 7 11 5
)
A.15 B.20 C.25 D.30
答案 B
2.(多选)(2022福州一模,10)已知等差数列{a }的前n项和为S ,公差d≠0,若S ≤S ,则( )
n n n 6
A.a <0 B.d<0
1
C.a =0 D.S ≤0
6 13
答案 BD
3.(2022江苏苏州常熟抽测二,13)已知等差数列{a }的前n项和为S ,若a =1,S =12,则a =
n n 2 6 8
.
答案 5
考点二 等差数列的性质及应用
1.(2022八省八校联考二,3)记S 为等差数列{a }的前n项和,且满足a <0,S =S ,则当S 取
n n 1 3 9 n
得最小值时,n的值为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 B
2.(2022河北邯郸一模,7)“中国剩余定理”又称“孙子定理”,可见于中国南北朝时期的
数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题,原文如下:今有物不知其数,
三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?现有一个相关的问题:将1到2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
022这2 022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列,构
成一个数列,则该数列的项数为( )
A.132 B.133 C.134 D.135
答案 C
3.(2022江苏泰州二调,6)已知等差数列{a }的公差为d,前n项和为S ,则“d>0”是
n n
“S +S >2S ”的( )
n 3n 2n
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
4.(2022上海杨浦二模,14)数列{a }为等差数列,a >0且公差d>0,若lg a ,lg a ,lg a 也是等
n 1 1 3 6
差数列,则其公差为( )
2 3
A.lg d B.lg(2d) C.lg D.lg
3 2
答案 D
5.(多选)(2022福建名校联盟全国优质校大联考,11)已知{a }是正项等差数列,其公差为d,
n
若存在常数,使得对任意正整数n均有 2 c a ,则以下判断正确的是( )
= + n
a a c
n+1 n
A.d>0 B.d=0
C.c≥2 D.0<c<2
答案 BD
6.(多选)(2022湖北黄冈蕲春实验高级中学一模,11)已知单调递增数列{a }满足a =2a -
n n+2 n+1
a
n
(n∈N*),其前n项和为S
n
,则下列说法正确的是( )
1
A.若a ,a 为方程x2+2x-35=0的两根,则2a + a =3
2 6 3 6
2
B.若a +a <0,S >0,则a 是数列{a }中最大的负数项
9 5 14 7 n
7
C.若S =4S ,则S -S = S
6 3 12 9 6
4
D.S =2(S -S )
9 6 3
答案 BC
7.(2020广东揭阳摸底,4)已知等差数列{a }的前n项和S 满足S =5,S =20,则a 等于(
n n 4 9 7
)
A.-3 B.-5 C.3 D.5
答案 C
B组 综合应用题组
时间:40分钟 分值55分
一、单项选择题(每小题5分,共25分)曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1.(2022辽宁二轮复习联考(二)新高考卷,7)已知等差数列{a }的前n项和为S ,若
n n
a =2,2S =S +a ,则a =( )
1 3 2 4 2 022
A.-6 065 B.-6 061 C.6 061 D.6 065
答案 B
2.(2022辽宁名校联盟3月联考,5)设S 是等差数列{a }的前n项和,a =-7,S =2a .当|S |取得
n n 2 5 1 n
最小值时,n=( )
A.10 B.9 C.8 D.7
答案 C
3.(2022山东聊城二中第一次测试,8)在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取该数列
的项:第一次取1;第二次取2个连续的偶数2,4;第三次取3个连续的奇数5,7,9;第四次取
4个连续的偶数10,12,14,16;第五次取5个连续的奇数17,19,21,23,25.按此规律取下去,得
到一个数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,…,则这个数列中的第2 022个数是( )
A.3 974 B.3 976 C.3 978 D.3 980
答案 D
1
4.(2022广东金山中学期末,7)已知数列{a },a = ,其中f(n)为最接近√n的整数,若
n n f (n)
{a }的前m项和为10,则m=( )
n
A.15 B.20 C.30 D.40
答案 C
5.(2021重庆二模,4)已知公差不为0的等差数列{a }中,a +a =a ,a = ,则a =( )
n 2 4 6 9 a2 10
6
5
A. B.5 C.10 D.40
2
答案 A
二、多项选择题(每小题5分,共15分)
6.(2022重庆金太阳联考,11)朱世杰是历史上伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》
卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日
差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修
筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天比前一天多派7人,官府向修筑堤坝的每人
每天发放大米3升.”则下列结论正确的有( )
A.将这1 864人派遣完需要16天
B.第十天派往筑堤的人数为134
C.官府前6天共发放1 467升大米
D.官府前6天比后6天少发放1 260升大米
答案 ACD
7.(2022河北九师联盟一模,9)已知等差数列{a }的前n项和为S ,且满足a =-4,S =-40,则(
n n 5 5
)
A.a =6
10
B.S =-30
10
C.当且仅当n=6时,S 取最小值
n
D.a +a +a +a +a +a =0
5 6 7 8 9 10
答案 AB
