北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
7.4 数列求和、数列的综合
基础篇 固本夯基
考点一 数列求和
a
1.(2021浙江,10,4分)已知数列{a n }满足a 1 =1,a n+1 = n (n∈N*).记数列{a n }的前n项和为S n ,则( )
1+√a
n
3
A. <S <3 B.3<S <4
100 100
2
9 9
C.4<S < D. <S <5
100 100
2 2
答案 A
2.(2020山东仿真联考3)已知正项数列{a}满足a >2a,S 是{a}的前n项和,则下列四个命题中错误的是(
n n+1 n n n
)
A.a >2na B.S >(1+2k)S
n+1 1 2k k
{a }
C.S
n
<2a
n
-a
1
(n≥2) D. n+1 是递增数列
a
n
答案 D
3.(2020浙江,11,4分)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列{n(n+1)}
2
就是二阶等差数列.数列{n(n+1)}(n∈N*)的前3项和是
.
2
答案 10
4.(2022届T8联考,18)设等差数列{a}的前n项和为S,已知a=3,S=5a.
n n 1 3 1
(1)求数列{a}的通项公式;
n
2
(2)设b=1+ ,数列{b}的前n项和为T.定义[x]为不超过x的最大整数,例如[0.3]=0,[1.5]=1.当[T]+[T]+…+
n S n n 1 2
n
[T]=63时,求n的值.
n
解析 (1)设等差数列{a}的公差为d,因为a=3,所以S=3a+3d=9+3d.
n 1 3 1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
又因为S=5a=15,所以9+3d=15,得d=2.
3 1
所以数列{a}的通项公式是a=3+2(n-1)=2n+1.
n n
n(n-1) 2 2 1 1
(2)因为S=3n+ ×2=n2+2n,所以b=1+ =1+ =1+ - .
n 2 n S n(n+2) n n+2
n
( 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) (1 1 ) 1 1 1
所以T=n+ 1- + - + - +…+ - + - =n+1+ - - .
n 3 2 4 3 5 n-1 n+1 n n+2 2 n+1 n+2
1 1 1 1
当n≤2时,因为- ≤ - - <0,所以[T]=n.
3 2 n+1 n+2 n
1 1 1 1
当n≥3时,因为0< - - < ,所以[T]=n+1.
2 n+1 n+2 2 n
因为[T]+[T]+…+[T]=63,
1 2 n
所以1+2+4+5+…+(n+1)=63,
(n-2)(4+n+1)
即3+ =63,即n2+3n-130=0,即(n-10)·(n+13)=0.
2
因为n∈N*,所以n=10.
5.(2022届华中师范大学琼中附中月考,17)已知等差数列{a}中,a=3,a+a=18.
n 2 4 6
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)若数列{b}满足b =2b,并且b=a,试求数列{b}的前n项和S.
n n+1 n 1 5 n n
解析 (1)设数列{a n }的公差为d,根据题意得 { a 1 +d=3, 解得{a 1 =1, ∴a n =a 1 +(n-1)d=2n-1.
2a +8d=18, d=2,
1
(2)∵b =2b,
n+1 n
∴数列{b}是公比为2的等比数列,
n
又b=a=2×5-1=9,
1 5
∴S=b (1-qn )=9(1-2n )=-9+9×2n.
n 1
1-q 1-2
6.(2022届长沙雅礼中学月考,17)已知数列{a}中,a=1,a=3,其前n项和S 满足S +S =2S+2(n≥2,n∈N*).
n 1 2 n n+1 n-1 n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)若b
n
=a
n
+2a n,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
解析 (1)由题意得S -S=S-S +2(n≥2),即a -a=2(n≥2),又a-a=3-1=2,所以a -a=2(n∈N*).所以数列{a}
n+1 n n n-1 n+1 n 2 1 n+1 n n
是以1为首项,2为公差的等差数列,所以a=2n-1(n∈N*).
n
1 1 2(4n-1)
(2)b
n
=a
n
+2a n=2n-1+22n-1=2n-1+
2
·4n,所以T
n
=[1+3+5+…+(2n-1)]+
2
×(4+42+43+…+4n)=n2+
3
.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
7.(2022届广东深圳七中月考)已知等比数列{a}中,a=1,且2a 是a 和4a 的等差中项.等差数列{b}满足
n 1 2 3 1 n
b=1,b=13.
1 7
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)求数列{a-b}的前n项和T.
n n n
解析 (1)设数列{a}的公比为q,由题意可得2×2a=a+4a,即4aq=aq2+4a,又a=1,所以q=2,则数列{a}的通
n 2 3 1 1 1 1 1 n
项公式为a=2n-1.
n
(2)设数列{b}的公差为d,由题意可得b-b=12=6d,即d=2,则数列{b}的通项公式为b=1+(n-1)×2=2n-1.
n 7 1 n n
1-2n (1+2n-1)·n
a-b=2n-1-(2n-1),则T=(20-1)+(21-3)+…+[2n-1-(2n-1)]=(20+21+…+2n-1)-(1+3+…+2n-1)= -
n n n 1-2 2
=2n-1-n2.
8.(2022届河北秦皇岛青龙8月测试,18)已知数列{a}的前n项和为S,且满足S=2a-1(n∈N*).
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式a 及S;
n n n
(2)若数列{b}满足b=|S-15|,求数列{b}的前n项和T.
n n n n n
解析 (1)当n=1时,S=2a-1,即a=1,
1 1 1
由S=2a-1得S =2a -1,两式相减得a =2a -2a,即a =2a,即数列{a}是以1为首项,2为公比的等比数列,
n n n+1 n+1 n+1 n+1 n n+1 n n
1-2n
则a=2n-1,则S= =2n-1.
n n 1-2
(2)由(1)知b=|2n-16|,则b=
{16-2n (1≤n≤4),
记{2n-16}的前n项和为A,则A=(21+22+…+2n)-16n=
n n n n
2n-16(n>4).
2·(1-2n
)
-16n=2n+1-16n-2.
1-2
则当1≤n≤4时,T=-A=16n-2n+1+2.
n n
当n>4时,T=(16-21)+(16-22)+…+(16-24)+(25-16)+(26-16)+…+(2n-16)=-A+A-A=A-2A=2n+1-16n+66,则T=
n 4 n 4 n 4 n
{16n-2n+1+2(1≤n≤4),
2n+1-16n+66(n>4).
9.(2021浙江“山水联盟”开学考)已知数列{a
n
}满足:a
1
=1, a n+1= n ;数列{b
n
}是等比数列,并满足b
1
=2,且
a n+1
n
b-1,b,b-1成等差数列.
1 4 5
(1)求数列{a},{b}的通项公式;
n n北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(2)若数列{b n }的前n项和是S n ,数列{c n }满足c n = a n a n+1 ,求证:c 1 +c 2 +…+c n <1.
a (S +2) 2
n+2 n
1
解析 (1)由于a=1,na=(n+1)a ,所以{na}是常数列,所以na=1·a=1,故a= .
1 n n+1 n n 1 n
n
设{b}的公比是q,由已知得2b=(b-1)+(b-1),所以4q3=2q4,所以q=2,故b=2n.
n 4 1 5 n
2(1-2n
)
(2)证明:由(1)得S= =2n+1-2,
n 1-2
a a n+2
则c n = n n+1 =
a (S +2) n(n+1)·2n+1
n+2 n
1 1
= - ,
n·2n (n+1)·2n+1
1 1 1 1 1 1 1
则c+c+…+c= - + - +…+ - ,所以c+c+…+c= -
1 2 n 1×2 2×22 2×22 3×23 n·2n (n+1)·2n+1 1 2 n 2
1 1
< .
(n+1)·2n+1 2
10.(2020天津,19,15分)已知{a}为等差数列,{b}为等比数列,a=b=1,a=5(a-a),b=4(b-b).
n n 1 1 5 4 3 5 4 3
(1)求{a}和{b}的通项公式;
n n
(2)记{a
n
}的前n项和为S
n
,求证:S
n
S
n+2
<
S2
(n∈N*);
n+1
{(3a
n
-2)b
n,n为奇数,
a a
(3)对任意的正整数n,设c= n n+2 求数列{c}的前2n项和.
n n
a
n-1,n为偶数.
b
n+1
解析 (1)设等差数列{a}的公差为d,等比数列{b}的公比为q.由a=1,a=5(a-a),可得d=1,从而{a}的通项公
n n 1 5 4 3 n
式为a=n.由b=1,b=4(b-b),又q≠0,可得q2-4q+4=0,解得q=2,从而{b}的通项公式为b=2n-1.
n 1 5 4 3 n n
n(n+1) 1 1 1
(2)证明:由(1)可得S= ,故SS = n(n+1)·(n+2)(n+3),S2 = (n+1)2(n+2)2,从而SS -S2 =-
n 2 n n+2 4 n+1 4 n n+2 n+1 2
(n+1)(n+2)<0,所以S
n
S
n+2
<
S2
.
n+1
(3)当n为奇数时,c n
=(3a
n
-2)b n=(3n-2)2n-1 =2n+1 -2n-1
;当n为偶数时,c n =
a
n-1=
n-1
.
a a n(n+2) n+2 n b 2n
n n+2 n+1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
对任意的正整数n,有 n c = n ( 22k 22k-2 )= 22n -1和 n c = n 2k-1=1+ 3 + 5 +…+
∑ 2k-1 ∑ - ∑ 2k ∑
k=1 k=1
2k+1 2k-1 2n+1
k=1 k=1
4k 4 42 43
2n-1
①.
4n
1 n 1 3 2n-3 2n-1
由①得 ∑c = + +…+ + ②.
4 2k 42 43 4n 4n+1
k=1
2( 1 )
1-
由①-②得3 n c =1+ 2 +…+ 2 -2n-1=4 4n -1-2n-1,从而得 n c =5-6n+5.因此,2n
∑ 2k ∑ 2k ∑
4 k=1 4 42 4n 4n+1 1 4 4n+1 k=1 9 9×4n k=1
1-
4
n n 4n 6n+5 4
c=∑c +∑c = - - .
k 2k-1 2k 2n+1 9×4n 9
k=1 k=1
4n 6n+5 4
所以,数列{c}的前2n项和为 - - .
n 2n+1 9×4n 9
考点二 数列的综合
1.(2020福建泉州线上测试)已知{a}是公差为3的等差数列.若a,a,a 成等比数列,则{a}的前10项和S =(
n 1 2 4 n 10
)
A.165 B.138 C.60 D.30
答案 A
2.数学家也有许多美丽的错误,如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:F= +1(n=0,1,2,…)是质数.直
n 22n
到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F=641×6 700 417,不是质数.现设a=log(F-1),n=1,2,…,S 表
5 n 2 n n
示数列{a}的前n项和.则使不等式 2 + 22 +…+ 2n < 2n 成立的最小正整数n的值是( )
n
S S S S S S 2 020
1 2 2 3 n n+1
A.11 B.10 C.9 D.8
答案 C
3.(2022届浙江“山水联盟”开学考,20)已知数列{a}的前n项和为S,2S=(2n+1)a-2n2(n∈N*),数列{b}满足
n n n n n
b=a,nb =ab.
1 1 n+1 n n
(1)求数列{a}和{b}的通项公式;
n n北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(2)设数列{c
n
}满足:c
1
=4,c
n+1
=c
n
-
a n(n∈N*),若不等式λ+3n+9
≥c
n
(n∈N*)恒成立,求实数λ的取值范围.
b 2n
n
解析 (1)当n=1时,2a=3a-2,∴a=2.
1 1 1
{ 2S =(2n+1)a -2n2,
当n≥2时,由 n n 得2a=(2n+1)a-(2n-1)a -2n2+2(n-1)2,即a-a =2,
n n n-1 n n-1
2S =(2n-1)a -2(n-1) 2
n-1 n-1
∴数列{a}是公差为2的等差数列,
n
∵a=2,∴a=2n.
1 n
由条件得b=2,nb =2nb,∴b =2b,即数列{b}是公比为2的等比数列,∴b=2n.
1 n+1 n n+1 n n n
a 2n n {a } 2 3 4 n
(2)由(1)得 n= = ,设数列 n 的前n项和为T n ,则T n =1+ + + +…+ ,
b 2n 2n-1 b 2 22 23 2n-1
n n
1 1 2 3 n-1 n
∴ T= + + +…+ + ,
2 n 2 22 23 2n-1 2n
1
1-
1 1 1 1 1 n 2n n n+2
∴ T=1+ + + +…+ - = - =2- ,
2 n 2 22 23 2n-1 2n 1 2n 2n
1-
2
∴T
n
=4-n+2,由c
n+1
=c
n
-
a
n得c
n+1
-c
n
=-
a
n,所以c
n
-c
n-1
=-
a
n-1,……,c
2
-c
1
=-
a
1,累加得c
n
-c
1
=-T
n-1
,即c
n
-4=-4+
2n-1 b b b b
n n n-1 1
n+1 n+1 n+1 3n+9 n-5
,∴c= ,∴λ≥ - = 对任意n∈N*恒成立,
2n-2 n 2n-2 2n-2 2n 2n
n-5 n-4 n-5 -n+6
令f(n)= ,则f(n+1)-f(n)= - = ,
2n 2n+1 2n 2n+1
∴f(1)<f(2)<…<f(6)=f(7), f(7)>f(8)>…,
1 1
∴f(n) =f(6)=f(7)= ,∴λ≥ .
max
64 64
故λ的取值范围是[ 1 ).
,+∞
64
4(2022届校际联合考试)我国南宋时期的数学家杨辉,在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,用如图
的三角形解释二项和的乘方规律,此图称为“杨辉三角”.在此图中,从第三行开始,首尾两数为1,其他各数均
为它肩上两数之和.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(1)把“杨辉三角”中第三斜列的各数取出,按原来的顺序排列得一数列:1,3,6,10,15,…,写出a 与
n
a (n∈N*,n≥2)的递推关系,并求出数列{a}的通项公式;
n-1 n
1 1 1 2n+1
(2)已知数列{b}满足b+ b+ b+…+ b=2a(n∈N*),设数列{c}满足c= ,数列{c}的前n项和为
n 1 2 2 3 3 n n n n n b b n
n n+1
n
T,若T< λ(n∈N*)恒成立,试求实数λ的取值范围.
n n n+1
解析 (1)由题意可知a=1,n≥2时,a-a =n,
1 n n-1
n(n+1) n(n+1)
所以a=(a-a )+(a -a )+…+(a-a)+a=n+(n-1)+…+2+1= ,故a= .
n n n-1 n-1 n-2 2 1 1 n
2 2
1 1 1
(2)数列{b}满足b+ b+ b+…+ b=n2+n,①
n 1 2 3 n
2 3 n
1 1 1
当n≥2时,b+ b+ b+…+ b =(n-1)2+(n-1),②
1 2 2 3 3 n-1 n-1
1
①-②得 b=2n,故b=2n2(n≥2),又n=1时亦成立,所以b=2n2(n∈N*).
n n n
n
2n+1 2n+1 1[ 1 1 ]
数列{c n }满足c n = = = - ,
b b 4n2 (n+1) 2 4 n2 (n+1) 2
n n+1
则T n = 1[ 1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 ] = 1[ 1- 1 ] ,由T n < n λ(n∈N*)恒成立,
4 22 22 32 n2 (n+1) 2 4 (n+1) 2 n+1
得 1[ 1- 1 ] < n λ,整理得λ> n+2 ,因为y= n+2 = 1( 1+ 1 )在n∈N*上单调递减,故
4 (n+1) 2 n+1 4n+4 4n+4 4 n+1
当n=1时,( n+2 ) =3,即λ>3,所以实数λ的取值范围为(3 ).
,+∞
4n+4 8 8 8
max
5.(2022届长沙长郡中学月考,18)已知数列{a}满足a -2a=0,a=8.
n n+1 n 3
