北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9.2 椭圆及其性质
基础篇 固本夯基
考点一 椭圆的定义及标准方程
x2 x2
1.(2022届武汉二中月考,5)已知椭圆 +y2=1(a>1)和双曲线 -y2=1(m>0)有相同焦点,则( )
a m
A.a=m+2 B.m=a+2
C.a2=m2+2 D.m2=a2+2
答案 A
x2 y2
2.(2021新高考Ⅰ,5,5分)已知F,F 是椭圆C: + =1的两个焦点,点M在C上,则|MF|·|MF|的最大值为(
1 2 1 2
9 4
)
A.13 B.12 C.9 D.6
答案 C
x2 y2
3.(2021济南十一学校联考,3)“2<m<6”是“方程 + =1表示的曲线为椭圆”的( )
m-2 6-m
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
4.(2020广东东莞4月模拟,6)已知F、F
分别为椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点,过F 且垂直于x轴
1 2 1
a2 b2
的直线l交椭圆C于A,B两点,若△AFB是边长为4的等边三角形,则椭圆C的方程为( )
2
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
4 3 9 6
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
16 4 16 9
答案 B
y2 x2
5.(2021浙江嘉兴一中开学考)已知P为椭圆 + =1上一点,若P到一个焦点的距离为1,则P到另一个焦
9 4北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
点的距离为( )
A.3 B.5 C.8 D.12
答案 B
y2
6.(2022届广东深圳中学月考,6)已知直线l:y=x+1与曲线C:x2+ =1相交于A,B两点,F(0,-1),则△ABF的周
2
长是( )
A.2 B.2√2 C.4 D.4√2
答案 D
x2 y2
7.(多选)(2021湖北九师联盟2月质检,10)若方程 + =1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确
5-t t-1
的是( )
A.若1<t<5,则C为椭圆
B.若t<1,则C为双曲线
C.若C为双曲线,则焦距为4
D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则3<t<5
答案 BD
x2 y2
8.(2021江苏盐城伍佑中学期末,8)已知F,F 为椭圆 + =1的左、右焦点,P是椭圆上一点,若S =4,
1 2
8 4
△F
1
PF
2
则∠FPF 等于 ( )
1 2
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 D
x2 y2
9.(2019课标Ⅲ理,15,5分)设F,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MFF
1 2 1 2
36 20
为等腰三角形,则M的坐标为 .
答案 (3,√15)
10.(2022届广东深圳七中月考,21)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F,F,|FF|=4,且a= b.
1 2 1 2 √2
a2 b2
(1)求C的方程;
(2)若A,B为C上的两个动点,过F 且垂直x轴的直线是∠AFB的平分线所在直线,证明:直线AB过定点.
2 2
x2 y2
解析 (1)因为|FF|=4,所以c=2,所以a2-b2=4,又a=√2b>0,所以b2=4,则a2=8,故C的方程为 + =1.
1 2
8 4
(2)证明:由题意可知直线AB的斜率存在,F(2,0),设直线AB的方程为y=kx+m,A(x,y),B(x,y),由
2 1 1 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
{x2 y2
+ =1,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
8 4
y=kx+m,
则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=64k2-8m2+32>0,x+x=- 4km ,xx=2m2-8,
1 2 1 2
1+2k2 1+2k2
y y
设直线F 2 A,F 2 B的倾斜角分别为α,β,则α=π-β , k + k = 1 + 2 =0,所以y 1 (x 2 -2)+y 2 (x 1 -2)=0,即
F 2 A F 2 B x -2 x -2
1 2
(kx+m)(x-2)+(kx+m)(x-2)=0,所以2kxx+(m-2k)(x+x)-4m=0,所以2k·2m2-8+(2k-m)· 4km -4m=0,化
1 2 2 1 1 2 1 2
1+2k2 1+2k2
简可得m=-4k,所以直线AB的方程为y=kx-4k=k(x-4),故直线AB过定点(4,0).
11.(2020课标Ⅲ理,20,12分)已知椭圆C:x2 + y2 =1(0<m<5)的离心率为√15,A,B分别为C的左、右顶点.
25 m2 4
(1)求C的方程;
(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
y2
√25-m2 √15 25 x2
解析 (1)由题设可得 = ,得m2= ,所以C的方程为 +25 =1.
5 4 16 25
16
(2)设P(x,y),Q(6,y ),根据对称性可设y >0,由题意知y>0.
P P Q Q P
1
由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=- (x-5),
y
Q
所以|BP|=y
P√1+ y2
,|BQ|=
√1+ y2
.
Q Q
因为|BP|=|BQ|,
所以y=1,将y=1代入C的方程,解得x=3或-3.
P P P
由直线BP的方程得y =2或8.所以点P,Q的坐标分别为P(3,1),Q(6,2);P(-3,1),Q(6,8).
Q 1 1 2 2
1 √10 1 √10
|PQ|=√10,直线PQ 的方程为y= x,点A(-5,0)到直线PQ 的距离为 ,故△APQ 的面积为 × ×
1 1 1 1 3 1 1 2 1 1 2 2
5
√10= .
2
7 10 √130 1
|PQ|=√130,直线PQ 的方程为y= x+ ,点A到直线PQ 的距离为 ,故△APQ 的面积为 ×
2 2 2 2 9 3 2 2 26 2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
√130 5 5
×√130= .综上,△APQ的面积为 .
26 2 2
考点二 椭圆的几何性质
1.(2022届湖南郴州一中月考,7)已知点P是椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)上一点,点F、F 是椭圆C的左、右焦
1 2
a2 b2
点,若△PFF 的内切圆半径的最大值为a-c,则椭圆C的离心率为( )
1 2
√2 √2 √3 √3
A. B. C. D.
3 2 2 3
答案 B
2.(2018课标Ⅰ文,4,5分)已知椭圆C:x2 +y2
=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
a2 4
1 1 √2 2√2
A. B. C. D.
3 2 2 3
答案 C
3.(2019北京理,4,5分)已知椭圆x2 +y2 =1(a>b>0)的离心率为1,则( )
a2 b2 2
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
答案 B
4.(2022届湖南岳阳一中开学考,8)已知椭圆M的左,右焦点分别为F,F,若椭圆M与坐标轴分别交于
1 2
A,B,C,D四点,且从F,F,A,B,C,D这六点中,可以找到三点构成一个直角三角形,则椭圆M的离心率的可能取
1 2
值为( )
√5-1 √3 √2 1
A. B. C. D.
2 2 3 2
答案 A
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2021浙江,16,6分)已知椭圆x2 +y2 =1(a>b>0),焦点F 1 (-c,0),F 2 (c,0)(c>0).若过F 1 的直线和圆( x- 1 c ) 2
a2 b2 2
+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF⊥x轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 .
2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
2√5 √5
答案 ;
5 5
2.(2020天津,18,15分)已知椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原
a2 b2
点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点C满足3⃗OC=⃗OF,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且
P为线段AB的中点.求直线AB的方程.
解析 (1)由已知可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|可得c=b=3.又由a2=b2+c2,可得a2=18.所以,椭圆的方程为
x2 y2
+ =1.
18 9
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以AB⊥CP.依题意知,直线AB和直线CP的斜率均存在.设
{
y=kx-3,
直线AB的方程为y=kx-3.由方程组
x2 y2
消去y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得x=0或x= 12k .依
+ =1, 2k2+1
18 9
题意,可得点B的坐标为( 12k
,
6k2-3).因为P为线段AB的中点,点A的坐标为(0,-3),所以点P的坐
2k2+1 2k2+1
-3
-0
( 6k -3 ) 2k2+1
标为 , .由3⃗OC=⃗OF,得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为 ,即
2k2+1 2k2+1 6k
-1
2k2+1
3 3 1
.又因为AB⊥CP,所以k· =-1,整理得2k2-3k+1=0,解得k= ,或k=1.所以,直线
2k2-6k+1 2k2-6k+1 2
1
AB的方程为y= x-3或y=x-3.
2
3.(2018天津文,19,14分)设椭圆x2 +y2 =1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√5,|AB|=
a2 b2 3
√13.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积
是△BPQ面积的2倍,求k的值.
解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2 =5,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|= = ,得a=3,b=2.
√a2+b2 √13
a2 9
x2 y2
所以,椭圆的方程为 + =1.
9 4
(2)设点P的坐标为(x,y),点M的坐标为(x,y),由题意得,x>x>0,点Q的坐标为(-x,-y).由△BPM的面积是
1 1 2 2 2 1 1 1
△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x-x=2[x-(-x)],即x=5x.
2 1 1 1 2 1
{x2 y2
易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组{2x+3 y=6,消去y,可得x= 6 .由方程组 + =1,
2 9 4
y=kx, 3k+2
y=kx,
6
消去y,可得x= .
1
√9k2+4
8 1
由x
2
=5x
1
,可得√9k2+4=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=- 或k=- .
9 2
8
当k=- 时,x=-9<0,不合题意,舍去;
2
9
1 12 1
当k=- 时,x=12,x= ,符合题意.所以k的值为- .
2 1
2 5 2
4.(2022届广东佛山一中月考,21)已知椭圆G:x2 +y2 =1(a>b>0)的离心率为√6,且过点(3,1).
a2 b2 3
(1)求椭圆G的方程;
(2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△PAB的面积.
c √6
{e= = ,
a 3
{a2=12, x2 y2
解析 (1)由题意,知 9 1 解得 故椭圆G的方程为 + =1.
+ =1, b2=4, 12 4
a2 b2
a2=b2+c2,
(2)设直线AB的方程为y=x+n,则线段AB的中垂线方程为y=-(x+3)+2,即y=-x-1,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
{
y=x+n,
联立 x2 y2 消去y整理得4x2+6nx+3n2-12=0,
+ =1,
12 4
3n 3n2-12
设A(x,y),B(x,y),则x+x=- ,xx= ,
1 1 2 2 1 2 2 1 2 4
∴y
1
+y
2
=x
1
+x
2
+2n=n,又(x
1
+x
2,
y
1
+ y
2
)在线段AB的中垂线上,∴ 3n-1=n,可得n=2,即
2 2 2 4 4
x
1
+x
2
=-3,x
1
x
2
=0,∴|AB|=
√1+12
·
√(x +x ) 2-4x x
=3
√2
,
1 2 1 2
|-3-2+2| 3√2
又P(-3,2)到直线AB的距离d= = ,
√2 2
1 9
∴S = |AB|·d= .
△PAB
2 2
5.(2019天津理,19,14分)设椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知 |OA|=2|OB|
√3
a2 b2
(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
3
(2)设经过点F且斜率为 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直
4
线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,∵√3|OA|=2|OB|,
∴ a=2b.又由a2=b2+c2,消去b得a2=(√3 ) 2 +c2,解得c=1.所以,椭圆的离心率为1.
√3 a
2 a 2 2
(2)由(1)知,a=2c,b= c,故椭圆方程为 x2 + y2 =1.由题意知,F(-c,0),则直线l的方程为y=3(x+c).
√3
4c2 3c2 4
{
x2 y2
+ =1,
点P的坐标满足
4c2 3c2
消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x=c,x=-
13c
.
1 2
3 7
y= (x+c),
4
3 9
代入l的方程,解得y= c,y=- c.
1 2
2 14
