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曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
微专题
(2021天津,19,15分)已知{a }是公差为2的等差数列,其前8项和为64.{b }是公比大于
n n
0的等比数列,b =4,b -b =48.
1 3 2
(1)求{a }和{b }的通项公式;
n n
1
(2)记c
n
=b
2n
+
b
,n∈N*.
n
(i)证明{ -c }是等比数列;
c2 2n
n
(ii)证明∑ n √ a k a k+1 <2√2 (n∈N*).
k=1
c2-c
k 2k
8×(8-1)
解析 (1)由等差数列{a }的公差d=2,其前8项和S =8a + d=64,可得a =1,
n 8 1 1
2
∴a =1+2(n-1)=2n-1,
n
∵等比数列{b }的公比q>0,b =4,b -b =48,
n 1 3 2
∴4q2-4q=48⇒q=4(舍负),
∴b =4·4n-1=4n.
n
(2)证明:(i)∵b =4n,
n
1 1
∴c =b + =42n+ ,
n 2n b 4n
n
则 c2 -c 2n =( 42n+ 1 ) 2 - ( 44n+ 1 )=2·4n,
n 4n 42n
∴
c2
n+1
-c
2(n+1)=
2·4n+1
=4,
c2-c 2·4n
n 2n
又 -c =2×41=8,
c2 2
1
∴{ -c }是以8为首项,4为公比的等比数列.
c2 2n
n
(ii)设p n =
√ a
n
a
n+1 =
√(2n-1)(2n+1)
=
√4n2-1
<
√ 4n2
=√2·
c2-c 2·4n 2·4n 2·4n
n 2n
n n
,令qn= ,则pn<√2q ,
2n 2n n
n 1 2 n
∴∑qk= + +…+ ,①
k=1
2 22 2n
1 n 1 2 n
∑qk= + +…+ ,②
2
k=1
22 23 2n+1
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1( 1 )
1-
由①-②可得1 n 1 1 1 n 2 2n n n+2,
∑qk= + +…+ - = - =1-
2
k=1
2 22 2n 2n+1
1-
1 2n+1 2n+1
2
n n+2
∴∑qk=2-
<2,
k=1
2n
∴ ∑ n pk<√2∑ n qk<2√2 ,即∑ n √ a k a k+1 <2√2 .
k=1 k=1 k=1
c2-c
k 2k
名师点睛 放缩法证明数列不等式通常满足以下要求:
1.一般来说放缩法证明数列不等式,是证明前n项和的不等式,但放缩的是数列的通项.
2.放缩的结果能够计算出S .通常有两种求和类型:等比数列求和公式求和、裂项相消求
n
和.
3.放缩时不能放缩太大的幅度,应从放缩幅度最小的公式开始尝试.
4.a 放缩的符号要与其前n项和S 的符号一致.
n n
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