曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
6.2 平面向量的数量积及其应用
五年高考
考点一 数量积的定义及夹角与模问题
1.(2022全国乙理,3,5分,基础性)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=√3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 C
2.(2022全国乙文,3,5分,基础性)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
3.(2020课标Ⅱ文,5,5分,基础性)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂
直的是( )
A.a+2b B.2a+b
C.a-2b D.2a-b
答案 D
4.(2019课标Ⅱ理,3,5分,基础性)已知⃗AB=(2,3),⃗AC=(3,t),|⃗BC|=1,则⃗AB·⃗BC=( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案 C
5. (多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分,综合性)已知O为坐标原点,点P (cos α,sin α),P (cos β,
1 2
-sin β),P (cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )
3
A.| |=| | B.| |=| |
⃗OP ⃗OP ⃗AP ⃗AP
1 2 1 2
C. · = · D. · = ·
⃗OA ⃗OP ⃗OP ⃗OP ⃗OA ⃗OP ⃗OP ⃗OP
3 1 2 1 2 3
答案 AC
1
6.(2022全国甲理,13,5分,基础性)设向量a,b的夹角的余弦值为 ,且|a|=1,|b|=3,则
3
(2a+b)·b= .
答案 11
7.(2021全国甲文,13,5分,基础性)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|= .
答案 3√2
8.(2021全国乙理,14,5分,基础性)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3
答案
5
9.(2020课标Ⅱ理,13,5分,基础性)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=
.
√2
答案
2
考点二 数量积的综合应用
1.(2022新高考Ⅱ,4,5分,综合性)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=(
)
A.-6 B.-5 C.5 D.6
答案 C
2.(2014四川,7,5分,基础性)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等
于c与b的夹角,则m=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 D
3.(2020新高考Ⅰ,7,5分,综合性)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则⃗AP
· 的取值范围是( )
⃗AB
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
答案 A
4.(2022全国甲文,13,5分,基础性)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m= .
3
答案 -
4
5.(2021新高考Ⅱ,15,5分,基础性)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a=
.
9
答案 -
2
6.(2021浙江,17,4分,综合性)已知平面向量a,b,c(c≠0)满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,(a-b)·c=0.
记平面向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,d-a在c方向上的投影为z,则x2+y2+z2的
最小值是 .
2
答案
5
三年模拟曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A组 考点基础题组
考点一 数量积的定义及夹角与模问题
1.(2022江苏泰州二调,3)已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案 B
2.(2022福建龙岩一模,3)已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=1,|2a-b|=√19,则|b|=( )
A.5 B.3√2 C.4 D.3
答案 A
3.(2022湖北八市联考,4)若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a⊥(a+b),则a与b的夹角为( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
答案 C
4.(多选)(2022湖北黄冈蕲春实验高级中学一模,10)已知向量a=(3,m),b=(n,1),若
a-2b=(-1,-6),则下列结论中正确的是( )
A. |b|=|a|
√5
B.(5a-2b)⊥b
3√130
C.cos<b,a-b>=-
130
D.a∥(3a+2b)
答案 ABC
5.(2020广东新兴第一中学期末,3)在平行四边形ABCD中,⃗AB=(1,2),⃗AD=(-4,2),则该四
边形的面积为( )
A.√5B.2√5
C.5 D.10
答案 D
π
6.(2022湖南三湘名校联盟联考,13)已知向量a与b的夹角为 ,|a|=1,a·(a+b)=2,则|b|=
3
.
答案 2
7.(2021济南十一学校联考,13)已知向量m=(-1,2),n=(2,λ),若m⊥n,则2m+n与m夹角
的余弦值为 .曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
2√5
答案
5
考点二 数量积的综合应用
1.(2022湖南邵阳一模,5)在▱ABCD中,⃗AC=(1,2),⃗BD=(3,4),则⃗AB·⃗AD=( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-2
答案 A
2.(2022福州一模,7)已知平面向量a,b,c均为单位向量,且|a-b|=1,则(a-b)·(b-c)的最大
值为( )
1 1 3
A. B. C.1D.
4 2 2
答案 B
3.(2021辽宁开原三模,7)设a,b,c为单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为( )
A.-2 B.√2-2
C.-1 D.1-√2
答案 D
4.(2022江苏苏州常熟抽测二,15)已知平行四边形ABCD中,⃗AB·⃗AD=3,点P满足⃗PA·⃗PC
=4,则⃗PB·⃗PD= .
答案 7
B组 综合应用题组
时间:35分钟 分值50分
一、单项选择题(每小题5分,共25分)
1.(2022八省八校第二次联考二,4)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边
π
AB,AD向外分别作正方形ABEF,ADMN,其中AB=2,AD=1,∠BAD= ,则⃗AC·⃗FN=( )
4
A.-2√2B.2√2
C.0 D.-1
答案 C
2.(2022山东烟台、德州一模,4)若非零向量a,b满足|a|=|b|,(a-2b)⊥a,则向量a与b的夹
角为( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
答案 B
π
3.(2022广东佛山二模,8)△ABC中,AB=√2,∠ACB= ,O是△ABC外接圆的圆心,则⃗OC·
4
+ · 的最大值为( )
⃗AB ⃗CA ⃗CB
A.0 B.1 C.3 D.5
答案 C
4.(2022安徽示范高中皖北协作区3月联考,10)△ABC是等腰直角三角形,AB=BC=4,
1
⃗CD= (⃗CA+⃗CB),⃗AE=x⃗AD+y⃗AC,其中2x+y=1,则⃗EA·⃗EB的最小值是( )
2
20 84
A.- B.− C.-3 D.-4
9 25
答案 B
5.(2022重庆一中月考,8)已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4,在以三角形
ABC的中心为圆心,r(0<r≤1)为半径的圆上有一个动点M,则|⃗MA+⃗MB+3⃗MC|的最大值为
( )
A.13 B.√89C.5√11D.√11+6
答案 A
二、多项选择题(每小题5分,共10分)
6.(2022山东潍坊一模,10)已知向量 =(1,2),将 绕原点O旋转-30°,30°,60°到 ,
⃗OP ⃗OP ⃗OP
1
, 的位置,则( )
⃗OP ⃗OP
2 3
A. · =0
⃗OP ⃗OP
1 3
B.| |=| |
⃗PP ⃗PP
1 2
C. · = ·
⃗OP ⃗OP ⃗OP ⃗OP
3 1 2
D.点P 的坐标为(√3-1 1+2√3)
1 ,
2 2
答案 ABC
7.(2022辽宁名校联盟3月联考,10)古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑有
一定影响,下图是受“八卦”的启示,设计的正八边形的八角窗.若O是正八边形
ABCDEFGH的中心,且|⃗AB|=1,则( )
A.{⃗AH,⃗CF}能构成向量的一个基底曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
B.⃗OD·⃗OF=0
C.⃗OA+⃗OC=√3⃗OB
√2
D.⃗AC·⃗CD=
2
答案 BD
三、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2022华大新高考联盟3月教学质量测评,14)已知平面向量a,b,c满足b⊥c,|b|=|c|=2,
若a·b=a·c=8,则|a|= .
答案 4√2
9.(2022广东汕头一模,14)已知四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3CD=3,AD=BC=√2,点E是
CD的中点,则⃗AE·⃗BD= .
答案 -2
π
10.(2022湖南邵阳一模,16)已知a,b,c是平面向量,a与c是单位向量,且<a,c>= ,若b2-
2
8b·c+15=0,则|a-b|的最小值为 .
答案 √17-1
一年创新
1
1.(2022 5·3原创题)在平面内,a=- c,|a|=|b|=|d|=1,a+b+c+d=0,则b·d= .
2
1
答案 -
2
1
2.(2022 5·3原创题)已知e ,e 为平面内两个单位向量,且e ·e = ,平面中向量b满足
1 2 1 2 2
(b-2e
1
)⊥(b-4e
2
),则|b|的取值范围是 .
答案 [√7−√3,√7+√3]
3.(2022 5·3原创题)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,∠BCD=60°,∠ADC=150°,
2√3
⃗BE=3⃗EC,CD= ,BE=√3,若点F为边AD上的动点,则⃗EF·⃗BF的取值范围为
3
.
答案 [15 ]
,4
16
