曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
微专题应用创新
微专题一 范围与最值问题
1.(2022长沙长郡中学一模,21)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)和圆C:(x-2)2+y2=4,点P是Γ上
的动点,当直线OP的斜率为1时,△POC的面积为4.
(1)求抛物线Γ的方程;
(2)若M、N是y轴上的动点,且圆C是△PMN的内切圆,求△PMN面积的最小值.
解析 (1)当直线OP的斜率为1时,直线OP的方程为y=x,联立{ y=x, 得P(2p,2p),由
y2=2px,
2×2p
S = =4,解得p=2,∴抛物线Γ的方程为y2=4x.
△POC
2
(2)设P(x ,y ),M(0,m),N(0,n),由题意知x >4,
0 0 0
则直线PM:y=y -mx+m,即(y -m)x-x y+mx =0.
0 0 0 0
x
0
|2(y -m)+mx |
∵直线PM与圆C相切,∴ 0 0 =2,
√(y -m)2+(-x )2
0 0
∴4(y -m)2+m2 +4mx (y -m)=4(y -m)2+4 ,
0 x2 0 0 0 x2
0 0
即(x -4)m2+4y m-4x =0,同理得(x -4)n2+4y n-4x =0.
0 0 0 0 0 0
∴m、n是方程(x -4)x2+4y x-4x =0的两个根,
0 0 0
∴m+n= -4 y -4x ,且Δ=16 +16x (x -4)=16
0 ,mn= 0 y2 0 0
x -4 x -4 0
0 0
4x ,∴S =1|m-n|·x =
x2>0恒成立,∴|m−n|=√(m+n)2-4mn= 0 △PMN 0
0 x -4 2
0
2x2
0 =2 ( x -4+ 16 +8 )≥32,当且仅当x 0 =8时取等号,则△PMN面积的最小值为32.
x -4 0 x -4
0 0
2.(2022江苏苏州常熟抽测二,22)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2 y2
+
a2 b2
=1(a>b>0)的上顶点为B,左、右焦点分别为F
1
(-c,0)、F
2
(c,0),△F
1
BF
2
是周长为4+4√2的
等腰直角三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点P(-1,-1),且互相垂直的直线l 、l 分别交椭圆C于M、N两点及S、T两点.
1 2
①若直线l 过左焦点F ,求四边形MSNT的面积;
1 1
|PM|·|PN|
②求 的最大值.
|PS|·|PT|曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解析 (1)因为△F
1
BF
2
是等腰直角三角形,且|BF
1
|=|BF
2
|=a,|F
1
F
2
|=2c,
所以由勾股定理可得 + = c,
|BF |2 |BF |2 |F F |2,即2a2=4c2,则a=√2
1 2 1 2
因为△F
1
BF
2
的周长为2a+2c=2(
x2 y2
√2+1)c=4+4√2,可得c=2,a=2√2,则b=√a2-c2=2,所以椭圆C的标准方程为 +
8 4
=1.
(2)①由题意知直线l 、l 的斜率都存在,设直线l 的方程为y=k(x+1)-1,其中
1 2 1
k≠0,M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
联立得{y=k(x+1)-1, 消y可得(2k2+1)x2+(4k2-4k)x+2k2-4k-6=0,Δ=
(4k2-4k)2
x2+2y2=8,
-4(2k2+1)(2k2-4k-6)=8(7k2+2k+3)>0,
由根与系数的关系得x +x
=4k-4k2 2k2-4k-6,
1 2 ,x1x2=
2k2+1 2k2+1
所以|MN|= √1+k2 ·√(x +x )2-4x x =
2√2·√(1+k2)(7k2+2k+3).
1 2 1 2 2k2+1
0+1 8√2
因为直线l 过左焦点F (-2,0),所以k= =−1,则|MN|= ,
1 1 -2+1 3
2√2×√2×12 8√3
又l 1⊥l
2
,所以直线l
2
的斜率为1,同理可得|ST|= = ,
3 3
1 1 8√2 8√3 32√6
因此,四边形MSNT的面积为 |MN|·|ST|= × × = .
2 2 3 3 9
②当直线l 、l 的斜率都存在时,由①得|PM|·|PN|=(1+k2)·|(x +1)(x +1)|=(1+k2)·|x x +
1 2 1 2 1 2
(x +x )+1|=5(1+k2),
1 2
2k2+1
( 1 )
5 1+
同理可得|PS|·|PT|= k2 5(k2+1),
=
1 k2+2
2· +1
k2
此时|PM|·|PN|
=
5(1+k2) · k2+2
=
k2+2
=
1
+
3 ∈(1
,2
);
|PS|·|PT| 2k2+1 5(1+k2) 2k2+1 2 2(2k2+1) 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
{
x=-1,
当直线l 1⊥x轴时,联立得{ x=-1,
解得 √14
x2+2y2=8, y=± ,
2
此时|PM|·|PN|=(√14 ) (√14 ) 5,
+1 × -1 =
2 2 2
此时直线l 的方程为y=-1,联立得{ y=-1, {x=±√6,则|PS|·|PT|=(
2 解得
x2+2y2=8, y=-1,
|PM|·|PN| 1
√6+1)×(√6−1)=5,此时 = ;
|PS|·|PT| 2
|PM|·|PN|
当直线l 1⊥y轴时,同理可得
|PS|·|PT|
=2.
1 |PM|·|PN| |PM|·|PN|
综上所述, ≤ ≤2,即 的最大值为2.
2 |PS|·|PT| |PS|·|PT|
微专题二 定点与定值问题
1.(2022全国乙,理20,文21,12分,综合性)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、
y轴,且过A(0,-2),B(3 )两点.
,-1
2
(1)求E的方程;
(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,
点H满足⃗MT=⃗TH.证明:直线HN过定点.
解析
(1)解法一:设椭圆E的方程为x2 y2
=1(a>0,b>0且a≠b),将A(0,-2),B
+
a2 b2
4
{ =1,
(3 ) b2 {a2=3, x2 y2
,-1 两点的坐标代入,得 解得 故椭圆E的方程为 +
2 9 1 b2=4, 3 4
+ =1,
4a2 b2
=1.
解法二:设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).由题意可得
1
{
4n=1, {n=
4
,
x2 y2
=1.
9m 解得 故椭圆E的方程为 +
+n=1, 1 3 4
4 m= ,
3
(2)由A(0,-2),B(3 ) 2x-2.
,-1 可得直线AB的方程=为y
2 3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
x2 y2
①若过点P(1,-2)的直线的斜率不存在,则其方程为x=1,与方程 + =1
3 4
2
{y= x-2, {x=−√6+3,
2√6 ( 2√6) ( 2√6) 3 ( 2√6)
联立,可得y=± ,结合题意可知N1, ,M 1,− ,由 得 2√6 则T -√6+3,−
3 3 3 2√6 y=− , 3
y=− , 3
3
,由⃗MT=⃗TH,
得
{-√6+3−1=x -(-√6+3),
H ( 2√6) ( 2√6)
2√6 则H -2√6+5,− ,所以直线HN的方程=为2y+
y =− , 3 3
H 3
x-2,易知直线HN过点(0,-2);
②若过点P(1,-2)的直线的斜率存在,设其方程为y+2=k(x-1),M(x ,y ),N(x ,y ).
1 1 2 2
联立
{y+2=k(x-1),
6k(2+k) 3k(k+4) -8(2+k) 4(4+4k-2k2) -24k
x2 y2 得(3k2+4)x2−6k(2+k)x+3k(k+4)=0,则x1+x2= ,x1x2= ,y1+ y2= ,y1y2= ,x1y2+x2y1=
+ =1, 3k2+4 3k2+4 3k2+4 3k2+4 3k2+4
3 4
{ y= y ,
联立 2 1 可得T (3 y 1+3,y ),由 ⃗MT =
y= x-2, 2 1
3
y - y 6k(2+k) -8(2+k) -24k 4(4+4k-2k2)
⃗TH,可 得H(3 y1+6−x1,y1),故此时直线HN的方程−为y2y= 1 2 (x−x2),将(0,−2)代入并整理得2(x1+x2)−6(y1+ y2)+x1y2+x2y1−3 y1y2−12=0,即2× −6× + −3×
3 y +6−x -x 3k2+4 3k2+4 3k2+4 3k2+4
1 1 2
-12=0恒成立,则直线HN过定点(0,-2).
综上,直线HN过定点(0,-2).
2.(2022海南新高考模拟卷一,22)已知A(-2,0),B(2,0)分别是椭圆C:
x2 y2 ( √3)在椭圆上,P
+ =1(a>b>0)的左、右顶点,F是椭圆的右焦点,点Q √3,
a2 b2 2
是椭圆上异于A、B的一点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l的方程为x=4,若直线AP与直线l交于点M,直线BP与直线l交于点N,求证:
· 为定值.
⃗MF ⃗NF
解析 (1)由题意得a=2.
又点Q( √3) 3 3 ,
√3, 在椭圆上,所以 + =1,解得b=√3
2 4 4b2
x2 y2
所以椭圆C的标准方程为 + =1.
4 3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(2)证明:设P(x
0
,y
0
),且x
0
≠±2,则x2
0+
y2
0
=1,化简得4
y2
=3(4-
x2
).设M(4,m),N(4,n),
4 3 0 0
由⃗AP,⃗AM共线知6y =m(x +2)①,
0 0
由⃗BP,⃗BN共线知2y =n(x -2)②,
0 0
①×②得mn( -4)=12 =9(4- ),所以mn=-9.
x2 y2 x2
0 0 0
又F(1,0),所以⃗MF=(-3,-m),⃗NF=(-3,-n),
所以⃗MF·⃗NF=9+mn=9-9=0,即⃗MF·⃗NF是定值0.
3.(2022江苏七市三调,21)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线E:y2=2px(p>0)和点
3
H(3,4),点Q在抛物线E上,且⃗OQ= ⃗OH.
4
(1)求E的方程;
(2)若过点H作两条直线l ,l ,l 与E相交于A,B两点,l 与E相交于C,D两点,线段AB,CD
1 2 1 2
中点的连线的斜率为k,直线AB,CD,AD,BC的斜率分别为k ,k ,k ,k ,证明:
1 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1
+ = + ,且 + − 为定值.
k k k k k k k
1 2 3 4 3 4
解析 (1)设Q(x
0
,y
0
),∵
⃗OQ=
3
⃗OH,∴(x0,y0)=
3
(3,4),∴Q
(9
,3
).
4 4 4
9
又Q在抛物线E上,∴2p· =9,∴p=2,
4
∴E的方程为y2=4x.
1
(2)证明:设直线AB的方程为x= (y-4)+3,
k
1
A(
y2
) (
y2
) (
y2
) (
y2
),
1,y ,B 2,y ,C 3,y ,D 4,y
4 1 4 2 4 3 4 4
y - y 4 4 4
∴k =
2 1 = ,同理,k2= ,k3=
,
1 y2 y2 y + y y + y y + y
2- 1 2 1 3 4 1 4
4 4
k = 4 1 1 y + y + y + y 1 1 y + y + y + y ,
4 ,∴ + = 1 2 3 4, + = 1 2 3 4
y + y k k 4 k k 4
2 3 1 2 3 4
1 1 1 1
∴ + = + .
k k k k
1 2 3 4
设AB的中点为M,CD的中点为N,∴y =y + y 2 ,
M 1 2=
2 k
1
2 4 2 4 2 2 4 2
∴x M = − +3,即M ( - +3, ) ,同理,N ( - +3, ),
k2 k k2 k k k2 k k
1 1 1 1 1 2 2 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
2 4 2 4
- - +
∴1 = k 1 2 k 1 k 2 2 k 2 = 1 + 1 -2,
k 2 2 k k
- 1 2
k k
1 2
1 1 1 1 1 1
∴ + − = + − =2为定值.
k k k k k k
3 4 1 2
4.(2022山东泰安三模,21)已知椭圆E:
x2 y2 √2 ,O为坐标原
+ =1(a>b>0)的离心率e= ,四个顶点组成的菱形面积为8√2
a2 b2 2
点.
(1)求椭圆E的方程;
8
(2)过☉O:x2+y2= 上任意点P作☉O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:⃗PM·⃗PN为定值.
3
解析 (1)由题意得2ab=8
c √2 x2 y2
√2,e= = ,a2=b2+c2,所以a=2√2,b=2,所以椭圆E的方程为 + =1.
a 2 8 4
2√6
(2)当切线l的斜率不存在时,其方程为x=± ,
3
当切线方程为x=
2√6 (2√6 ) 2√6 x2 y2 2√6,
时,P ,0 ,将x= 代入椭圆方程 + =1得y=±
3 3 3 8 4 3
不妨取M(2√6 2√6) (2√6 2√6),
, ,N ,-
3 3 3 3
则
⃗PM=
(
0,
2√6),
⃗PN=
(
0,−
2√6),∴
⃗PM
·⃗PN=− 8;
3 3 3
2√6 8
当切线方程为x=- 时,同理可得⃗PM· ⃗PN=− ,
3 3
当切线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+m,M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
{y=kx+m,
因为l与☉O相切,所以 |m|
=
2√6
,所以3m2=8k2+8,由 x2 y2
得
√k2+1 3 + =1,
8 4
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
∴x +x =- 4km 2m2-8,
1 2 ,x x =
1+2k2 1 2 1+2k2
由Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)>0,得8k2-m2+4>0,
∴m>√2或m<−√2,
又⃗PM·⃗PN=(⃗OM-⃗OP)·(⃗ON-⃗OP)曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
=|⃗OP|2-⃗OP·⃗OM-⃗OP·⃗ON+⃗OM·⃗ON
8
=|⃗OP|2-|⃗OP|2-|⃗OP|2+⃗OM·⃗ON=− +⃗OM·⃗ON,
3
⃗OM·⃗ON=x x +y y =x x +(kx +m)(kx +m)
1 2 1 2 1 2 1 2
=(1+k2)x x +km(x +x )+m2
1 2 1 2
=(1+k2)2m2-8 ( 4km ) 3m2-8k2-8 =0,
+km - +m2=
1+2k2 1+2k2 1+2k2
8 8
∴⃗PM· ⃗PN=− .综上,⃗PM· ⃗PN为定值− .
3 3
5.(2022广东深圳二调,21)已知椭圆E:
x2 y2 ( √3) ,线段AB,CD分别是它
+ =1(a>b>0)经过点M1, ,且焦距|F1F2|=2√3
a2 b2 2
的长轴和短轴.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若N(s,t)是平面上的动点,从下面两个条件中选一个,证明:直线PQ经过定点.
√3
①s=1,t≠± ,直线NA,NB与椭圆E的另一交点分别为P,Q;
2
②t=2,s∈R,直线NC,ND与椭圆E的另一交点分别为P,Q.
{1 3
+ =1,
解析 (1)解法一:由已知得 a2 4b2
a2-b2=3,
解得{a2=4, x2
+y2=1.
∴椭圆E的方程为
b2=1, 4
解法二:由题意得c=
√ 3 √ 3 4+√3 4−√3
√3,两个焦点的坐标F1(−√3,0),F2(√3,0).由椭圆的定义得,2a=|MF1|+|MF2|= (1+√3)2+ + (1-√3)2+ = +
4 4 2 2
=4,
∴b= =1,
√a2-c2=√22-(√3)2
x2
∴椭圆E的方程为 +y2=1.
4
(2)选择条件①.
√3
证明:由题意得N(1,t),t∈R,t≠± .
2
t
不妨令A(-2,0),B(2,0),则直线NA的方程为y= (x+2),直线NB的方程为y=-t(x-2).
3
