曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第四章 一元函数的导数及其应用
4.1 导数的概念和运算
五年高考
考点 导数的概念和运算
1.(2020课标Ⅰ理,6,5分,基础性)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为(
)
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
答案 B
2.(2019课标Ⅱ文,10,5分,基础性)曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为( )
A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0
答案 C
3.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分,综合性)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为
y=2x+b,则( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
答案 D
4.(2018课标Ⅰ理,5,5分,综合性)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)
在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
答案 D
5.(2021新高考Ⅰ,7,5分,创新性)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )
A.eb<a B.ea<b
C.0<a<eb D.0<b<ea
答案 D
6. (2010江西,5,5分,综合性)等比数列{a }中,a =2,a =4,函数f(x)=x(x-a )(x-a )…(x-a ),
n 1 8 1 2 8
则f '(0)=( )
A.26B.29C.212 D.215
答案 C
7.(2022新高考Ⅰ,15,5分,综合性)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值
范围是 .
答案 (-∞,-4)∪(0,+∞)
8.(2022新高考Ⅱ,14,5分,基础性)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ,
.
1 1
答案 y= x;y=− x(不分先后)
e e曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
2x-1
9.(2021全国甲理,13,5分,基础性)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为 .
x+2
答案 y=5x+2
10.(2020课标Ⅰ文,15,5分,基础性)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的
方程为 .
答案 y=2x
11.(2019江苏,11,5分,综合性)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线
在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .
答案 (e,1)
12.(2021新高考Ⅱ,16,5分,应用性)已知函数f(x)=|ex-1|,x <0,x >0,函数f(x)的图象在点
1 2
|AM|
A(x , f(x ))和点B(x , f(x ))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则
1 1 2 2 |BN|
的取值范围是 .
答案 (0,1)
ex e
13.(2020课标Ⅲ文,15,5分,基础性)设函数f(x)= .若f '(1)= ,则a= .
x+a 4
答案 1
14.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=ex·ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为
.
答案 e
15.(2013江西,13,5分,综合性)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f '(1)=
.
答案 2
16.(2022全国甲文,20,12分,综合性)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x ,
1
f(x ))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.
1
(1)若x =-1,求a;
1
(2)求a的取值范围.
解析 解法一:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x )= -x ,则曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切
1 x3 1 1 1
1
线方程为y-( -x )=(3 -1)(x-x ),即y=(3 -1)x-2 ①.
x3 1 x2 1 x2 x3
1 1 1 1
因为曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以
1 1
{y=(3x2-1)x-2x3,
有且仅有一组解,
1 1
y=x2+a
即 方程 x 2 -(3 -1)x+2 +a=0 有两个相等的实数根 ,
x2 x3
1 1
从而Δ=(3
x2
-1)2-4(2
x3
+a)=0⇔4a=9
x4
-8
x3
-6
x2
+1.
1 1 1 1 1
(1)若x =-1,则4a=12⇔a=3.
1
(2)4a=9 -8 -6 +1,
x4 x3 x2
1 1 1
令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
令h'(x)>0,得-
1 1 ( 1 ) ( 1)
<x<0或x>1,令h'(x)<0,得x<− 或0<x<1,所以h(x)在 - ,0 和(1,+∞)上单调递增,在 -∞,-
3 3 3 3
和(0,1)上单调递减,
又h(1)=-4,h( 1) 20,所以h(x)≥-4,
- =
3 27
所以a≥-1.
解法二:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x )= -x ,则曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切线方程为
1 x3 1 1 1
1
y-( -x )=(3 -1)(x-x ),即y=(3 -1)x-2 ①,
x3 1 x2 1 x2 x3
1 1 1 1
设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x , +a),
2 x2
2
又g'(x )=2x ,
2 2
则切线可表示为y-( +a)=2x (x-x ),即y=2x x- +a②,
x2 2 2 2 x2
2 2
{ 3x2-1=2x ,
因为①②表示同一直线方程,所以 1 2
-2x3=-x2+a,
1 2
则(3
x2
-1)2-8
x3
=4a⇔4a=9
x4
-8
x3
-6
x2
+1.
1 1 1 1 1
下面同解法一.
易错警示 不能认为两曲线的公切线切点相同.
三年模拟
A组 考点基础题组
考点 导数的概念和运算
1.(2022长沙长郡中学阶段考试,2)一个质点做直线运动,其位移s(单位:米)与时间t(单位:
秒)满足关系式s=t4+(3t-1)3,则当t=1秒时,该质点的瞬时速度为( )
A.16米/秒 B.40米/秒
C.9米/秒 D.36米/秒
答案 B
2
2.(2022重庆八中月考)已知函数f(x)=2xf '(3)- x2+ln x(f '(x)是f(x)的导函数),则f(1)=(
9
)
20 11 7 16
A.- B.− C. D.
9 9 9 9
答案 D
3.(2022广州一模,4)曲线y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A.y=3x+3 B.y=3x+1
C.y=-3x-1 D.y=-3x-3
答案 A
4.(2022福建莆田二模,5)下列直线中,既不是曲线C :y=ex的切线,也不是曲线C :y=ln x的
1 2
切线的是( )
A.y=x+1 B.y=x-1
C.y=ex D.y=e(x-2)
答案 D
5.(2022湖北黄冈蕲春实验高级中学一模,13)函数f(x)=ax3+x2-3x在x=-1处的导数为-2,则
曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 .
答案 2x-y-3=0
2
6.(2022广东揭阳、梅州丰顺3月联考,14)函数f(x)=x+ 的图象在x=1处的切线方程
x+1
为 .
答案 x-2y+3=0
7.(2022河北邯郸一模,13)函数f(x)=x3-3x2的图象在点(-1, f(-1))处的切线方程为 .
答案 9x-y+5=0
8.(2022湖北八市联考,13)已知函数f(x)=2ln x+x,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为
.
答案 3x-y-2=0
9.(2022山东临沂一模,13)函数f(x)=xln(-x),则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为
.
答案 2x-y+e=0
10.(2021湖南衡阳联考(一),14)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=1, f(x)的导函数为
f '(x),则f '(-2 019)-f '(2 021)= .
答案 0
11.(2021百校大联考(六),14)函数y=xe2x的图象在点(1,m)处的切线方程为 .
答案 3e2x-y-2e2=0
B组 综合应用题组
时间:25分钟 分值35分
一、单项选择题(每小题5分,共20分)
1.(2022广东3月联考,6)吹气球时,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系是
4 4π
V= πr3.当V = L时,气球的瞬时膨胀率为( )
3 3
1 1
A. dm/LB. dm/L
4π 3
C.3 L/dm D.4π L/dm
答案 A
2.(2022湖南衡阳一模,2)若曲线y=ex-1+ln x在点(1,1)处的切线与直线ax+y=0平行,则a=(
)曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A.-1 B.1 C.-2 D.2
答案 C
3.(2022湖南三湘名校联盟联考,8)设函数f(x)=2sin α-1x2+(2-sin α-3)x(α∈R)的图象在点(1,
f(1))处的切线为l,则l的倾斜角θ的最小值是( )
π π 5π 3π
A. B. C. D.
4 3 6 4
答案 D
4.(2022重庆八中联考)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的
“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系,是微积分学重要的理论基础,其中拉格
朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的
图象不间断,在开区间(a,b)内可导,则在区间(a,b)内至少存在一个点ξ∈(a,b),使得f(b)-
f(a)=f '(ξ)·(b-a),ξ称为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的中值点.则函数f(x)=tan x在区间
[ π π]上的中值点的个数为( )
- ,
4 4
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
二、多项选择题(共5分)
5.(2022山东烟台二中期末,11)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得f(x)的图象在这两点
处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sin2x
B.y=tan x
C.y=|x-1|,x∈(-2,+∞)
x+2
D.y=ex-ln x
答案 ACD
三、填空题(每小题5分,共10分)
6.(2022江苏苏州昆山中学2月阶段性调研,16)若曲线C :y=-
1
1 3 PQ
(x<0)在点P处的切线与曲线2:Cy= (x>0)交于点Q,直线PQ与y轴交于,则点R
x x PR
= .
答案 2
7.(2022海南学业水平诊断(三),16)已知函数f(x)=ex-b和g(x)=ln(x+a)-b3,其中a,b为常数
a
且b>0.若存在斜率为1的直线与曲线y=f(x),y=g(x)都相切,则 的最小值为 .
b
答案 2
一年创新曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
lim f (2)-f (2-Δx)
1.(2022 5·3原创题)设函数f(x)存在导函数,且满足 =-1,则曲线
Δx→0
2Δx
y=f(x)在点(2, f(2))处的切线斜率为( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
答案 D
1
2.(2022 5·3原创题)若f(x)=x2e1-mx+mx,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线y=- x垂
2
直,则m=( )
A.1 B.2或1 C.-1或2 D.2
答案 B
