曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
微专题应用创新
微专题一 分清变与不变,破解翻折问题
1.(多选)(2022山东滨州二模,12)在边长为4的正方形ABCD中,如图1所示,E,F,M分别
为BC,CD,BE的中点,分别沿AE,AF及EF所在直线把△AEB,△AFD和△EFC折起,使
B,C,D三点重合于点P,得到三棱锥P-AEF,如图2所示,则下列结论中正确的是( )
图1
图2
A.PA⊥EF
B.三棱锥M-AEF的体积为4
C.三棱锥P-AEF外接球的表面积为24π
D.过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π,6π]
答案 ACD
2.(2022山东肥城市教学研究中心高考适应性训练(一),19)如图1,已知等边△ABC的边长
1 2
为3,点M,N分别是边AB,AC上的点,且满足⃗BM=2⃗MA,⃗BN= ⃗BA+ ⃗BC,如图2,将
3 3
△AMN沿MN折起到△A'MN的位置.
图1 图2
(1)求证:平面A'BM⊥平面BCNM;
(2)给出三个条件:①A'M⊥CN;②平面A'MN⊥平面BCNM;③四棱锥A'-BCNM的体积为
7√3
,从中任选一个,求平面A'BC和平面A'CN的夹角的余弦值.
12
1 2
解析 (1)证明:等边△ABC中,由⃗BN= ⃗BA+ ⃗BC,得⃗BN-⃗BA=2(⃗BC-⃗BN),即⃗AN=2⃗NC,
3 3
所以AN=2,NC=1,由⃗BM=2⃗MA,得BM=2,MA=1.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
在△AMN中,AM=1,AN=2,∠A=60°,由余弦定理得MN=√3
,∴MN2+AM2=AN2,∴MN⊥AB,∴MN⊥A'M,MN⊥BM,又BM∩A'M=M,BM,A'M⊂平面
A'BM,
∴MN⊥平面A'BM,
又MN⊂平面BCNM,∴平面A'BM⊥平面BCNM.
(2)若选择条件①A'M⊥CN.
∵A'M⊥CN,A'M⊥MN,CN,MN⊂平面BCNM,CN∩MN=N,
∴A'M⊥平面BCNM,∴A'M⊥BM,结合(1)知,MA',MB,MN两两垂直,以M为坐标原
点,MB,MN,MA'所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
M(0,0,0),A'(0,0,1),B(2,0,0),C(1 3√3 ) ,0).
, ,0 ,N(0,√3
2 2
则⃗A'C= (1
,
3√3
,-1
),
⃗BC=
(
-
3
,
3√3
,0
),
2 2 2 2
设平面A'BC的法向量为n =(x ,y ,z ),
1 1 1 1
{ n ·⃗BC=- 3 x + 3√3 y =0,
则 1 2 1 2 1
1 3√3
n ·⃗A'C= x + y -z =0,
1 2 1 2 1 1
令y =1,则x =
1 1
√3,z1=2√3,即n1=(√3,1,2√3),同理,平 面A'CN的一个法向量2为= n
(−√3,1,√3),设平面A'BC和 平 '面CNA的 夹 角,则为cθos θ=
| n
1
·n
2
|
=
|-3+1+6|
=
√7
,故平面A'BC和 平 '面CNA的夹角的余弦值
√
为
7
|n |·|n | 4×√7 7 7
1 2
.
若选择条件②平面A'MN⊥平面BCNM.
∵平面A'MN⊥平面BCNM,平面A'MN∩平面BCNM=MN,A'M⊂平面
A'MN,A'M⊥MN,∴A'M⊥平面BCNM,
∴A'M⊥BM,结合(1)可知,MA',MB,MN两两垂直,
下面同选条件①.
7√3
若选择条件③四棱锥A'-BCNM的体积为 .
12
7√3 7√3
易得四边形BCNM的面积S= ,又四棱锥A'−BCNM的 体 积 为,所以,四棱锥
4 12
A'-BCNM的高为1,即点A'到底面BCNM的距离为1,
又因为A'M=1,∴A'M⊥平面BCNM,∴A'M⊥BM,曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
结合(1)可知,MA',MB,MN两两垂直,
下同选条件①.
3.(2022河北保定二模,20)如图1,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AC=2AB=12,E,F都在AC上,且
AE∶EF∶FC=3∶4∶5,EB∥FG,将△AEB,△CFG分别沿EB,FG折起,使得点A,C在点P处
重合,得到四棱锥P-EFGB,如图2.
图1
图2
(1)证明:EF⊥PB;
(2)若M为PB的中点,求钝二面角B-FM-E的余弦值.
解析 (1)证明:由AE∶EF∶FC=3∶4∶5,AC=12,得PE=AE=3,EF=4,PF=FC=5,则
AE AB 1
PF2=PE2+EF2,所以PE⊥EF.因为 = = ,∠A=∠A,所以△ABE∽△ACB,所以BE⊥AC,即
AB AC 2
BE⊥EF.又PE∩BE=E,所以EF⊥平面PEB,因为PB⊂平面PEB,所以EF⊥PB.
(2)以E为坐标原点,以⃗EF,⃗EB,⃗EP的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐
标系E-xyz,
则E(0,0,0),F(4,0,0),P(0,0,3),B(0,3 ( 3√3 3),则 =(4,0,0),
√3,0),M 0, , ⃗EF
2 2
( 3√3 3), ,0), =(4,0,-3).
⃗EM= 0, , ⃗BF=(4,−3√3 ⃗PF
2 2
平面BFM即平面BFP,设平面BFM的法向量为m=(x ,y ,z ),则m·⃗BF=0,m·
1 1 1
⃗PF=0,得 {4x 1 -3√3 y 1 =0, 令y1=4,得m=(3√3,4,4√3 ).
4x -3z =0.
1 1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
设平面EFM的法向量为n=(x ,y ,z ),则n·⃗EF=0,n·
2 2 2
{ 4x =0,
2
).
⃗EM=0,即
3√3 3
令y2=1,得n=(0,1,−√3
y + z =0,
2 2 2 2
m·n 4-12 4√91
因为cos<m,n>= = =− ,
|m||n| √91×2 91
4√91
所以钝二面角B-FM-E的余弦值为- .
91
微专题二 巧建系妙设点,速破动态变化问题
2π
1.(2022辽宁鞍山二模,19)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD= ,四边形ACFE为矩
3
形,且CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1.
(1)求证:EF⊥平面BCF;
(2)点M在线段EF上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角
最大?并求此时锐二面角的余弦值.
2π 2π
解析 (1)证明:在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=BC=1,∠BCD= ,所以∠ADC= ,所
3 3
π π π
以∠BAC=∠ACD= .又因为∠ABC=π-∠BCD= ,则∠ACB=π-∠ABC-∠BAC= ,所以
6 3 2
AC⊥BC,因为CF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥CF.因为BC∩CF=C,所以AC⊥平
面BCF,
因为四边形ACFE为矩形,所以AC∥EF,因此EF⊥平面BCF.
(2)由(1)知CF,AC,CB两两垂直.以点C为坐标原点,CA、CB、CF所在直线分别为x、
y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A( ,0,1),则 ,1,0),
√3,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),F(0,0,1),E(√3 ⃗AB=(−√3
设点M(t,0,1),其中0≤t≤ , ,0,1),
√3 ⃗AM=(t−√3
设平面MAB的法向量为m=(x,y,z),曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
则
{ m·⃗AB=−√3x+ y=0, |m·n| 1
取x=1,可 得m=(1,√3,√3−t),易知平面FCB的一个法向量=(1为,0n,0).所 以c<oms,n>= =
m·⃗AM=(t-√3)x+z=0, |m||n| √4+(t-√3)2
所以当t=0,即M与F重合时,cos<m,n>取最小值,此时平面MAB与平面FCB所成锐二面
√7
角最大,此时平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值为 .
7
2.(2022辽宁东北育才学校二模,20)如图,△ABC是边长为6的正三角形,点E,F,N分别在
边AB,AC,BC上,且AE=AF=BN=4,M为BC边的中点,AM交EF于点O,沿EF将三角形
AEF折到三角形DEF的位置,使DM=√15.
(1)证明:平面DEF⊥平面BEFC;
DP
(2)试探究在线段DM上是否存在点P,使二面角P-EN-B的大小为60°?若存在,求出
PM
的值;若不存在,请说明理由.
解析 (1)证明:在△DOM中,易得DO=2√3,OM=√3,DM=√15,由DM2=DO2+OM2,得
DO⊥OM,
又∵AE=AF=4,AB=AC=6,∴EF∥BC,
又M为BC中点,∴AM⊥BC,∴DO⊥EF,∵EF∩OM=O,EF,OM⊂平面BEFC,∴DO⊥平面
BEFC,又DO⊂平面DEF,∴平面DEF⊥平面BEFC.
(2)由(1)知DO⊥平面BEFC,以O为原点,以⃗OE,⃗OM,
⃗OD的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系−Oxyz,则D(0,0,2√3),M(0,√3,0),E(2,0,0),N(−1,√3
0),∴ ), ), ,0),设 =λ (0≤λ≤1),∴
⃗DM=(0,√3,−2√3 ⃗ED=(−2,0,2√3 ⃗EN=(−3,√3 ⃗DP ⃗DM
λ),∴ = +
⃗DP=(0,√3λ,−2√3 ⃗EP ⃗ED ⃗DP=
(−2,√3λ,2√3−2√3λ).
设平面ENP的法向量为m=(x,y,z),则
{ m·⃗EN=−3x+√3 y=0, ( 2−3λ ),
取x=1,可 得m= 1,√3,
m·⃗EP=−2x+√3λy+(2√3-2√3λ)z=0, 2√3-2√3λ
易得平面ENB的一个法向量为n=(0,0,1),
又二面角P-EN-B的大小为60°,曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
| 2−3λ |
1 2√3-2√3λ 6 6 DP
∴ = ,解得λ=2(舍去)或λ= .此时⃗DP= ⃗DM,所以
2 √ ( 2−3λ ) 2 7 7 PM
1+3+
2√3-2√3λ
=6.
