星海高级中学2025-2026学年高二数学上学期期中试卷

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试卷题目及答案：

2025-2026学年苏州工业园区星海高级中学高二（上）期中数学.zip

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答案汇总

01选择题

第1题【考点】两直线垂直

与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线可设为 Bx−Ay+m=0（交换系数、变号），代入已知点求出 m 即可。熟练掌握垂直直线的设法能大幅提高解题速度。

第2题【考点】两直线平行

两直线平行需满足交叉系数之积相等，解出参数后必须逐一代回检验是否与其中一条重合，重合的要舍去。

第3题【考点】等差数列前n项的性质

S₁₈=0 等价于 a₁+a₁₈=0，即 a₉+a₁₀=0。结合 a₁>0 得公差为负，前9项为正、第10项起为负，从而 S₉ 最大；用 S₂ₙ₋₁=(2n−1)aₙ 及逐项符号可判断各选项。

第4题【考点】直线与圆的位置关系

判断直线与圆的位置关系，比较圆心到直线的距离 d 与半径 r：dr 相离。

第5题【考点】椭圆上的最值问题

椭圆上的点可用参数形式 P(2cosθ, sinθ) 表示，把距离平方化为 cosθ 的二次函数，在 [−1,1] 上求最值。这是处理椭圆上动点距离最值的常用手段。

第6题【考点】圆的弦长与等差数列

过圆内定点 P 的弦中，最短弦垂直于 OP（长 2√(r²−OP²)），最长弦为直径。21条弦长成递增等差数列，两端固定后公差 d=(a₂₁−a₁)/20 有最大值，且公差必须为正，从而得取值范围。

第7题【考点】等比数列前n和的比值结构

等比数列的前n项和是关于 n 的 (qⁿ型−常数) 结构，故 An/Bn=(2ⁿ+a)/(3ⁿ+b) 时可设 An=(2ⁿ+a)m、Bn=(3ⁿ+b)m，再用 aₙ=Aₙ−Aₙ₋₁ 求指定项的比。

第8题【考点】椭圆的性质与特殊位置法

对“任意点都成立”的选择题，可取特殊位置探求常数：取 P 为椭圆上顶点，则 PQ 为短半轴、AQ=BQ 为长半轴，算出 PQ²/(AQ·BQ) 再与选项对照，体现特殊化思想。

第9题【考点】平行四边形与向量相等

已知三顶点求平行四边形第四顶点，需分“哪个点是对角线交点对应端点”三种情况：AB=DC、AC=BD、AC=DB，用向量相等的坐标关系分别求解，谨防漏解。

第10题【考点】圆的切线、切点弦与轨迹

切线长 √(|MP|²−r²) 可得四边形周长与面积的函数关系；切点弦 AB 所在直线可由以 PM 为直径的圆与圆 M 联立相减得到；由 MP 与 AB 交点 C 满足的关系消参得 C 的轨迹（圆），再用圆外一点到圆上点距离的最大值判断各选项。

第11题【考点】新定义数列（M值数列）

紧扣定义“bₖ 为前 k 项的最大值”：递减数列的 M值数列为常数列，递增数列的 M值数列等于原数列；计数问题按每个位置的可选取值分类相乘；含 (−2)ⁿ 的逐段最大值要分奇偶项讨论再分组求和。

02填空题

第12题【考点】等差数列的基本量

把两个条件化为关于 a₁ 和公差 d 的方程组，解出基本量后代入求和公式。等差数列问题抓住“基本量思想”即可。

第13题【考点】椭圆的离心率范围

∠B₁PA₂ 为钝角等价于对应向量数量积为负，用 a,b,c 表示坐标后代入，结合 b²=a²−c² 化为关于离心率 e 的不等式，注意 0<e<1 的隐含限制。<="" p="">

第14题【考点】圆的弦中点轨迹与距离转化

|MN|=2√2 恰为 2√(r²−2)，说明 CM⊥CN，弦中点 P 的轨迹是半径 √2 的圆；|x₁+y₁|+|x₂+y₂| 借助点到直线 x+y=0 的距离表示为 2√2d，转化为圆上的点到定直线距离的范围问题。

03解答题

第15题【考点】直线垂直的证明与直线关于坐标轴对称

第(1)问先由点在直线上定出 a，再验证两直线斜率之积为 −1。第(2)问化为斜截式后利用“关于 x 轴对称的两直线：斜率互为相反数、截距互为相反数”列方程组求 a,b。

第16题【考点】递推数列构造等差与错位相减

第(1)问对 an+1=4−4/an 两侧同时减 2 变形，构造 {1/(an−2)} 为公差 1/2 的等差数列。第(2)问求出 an=2/n+2 后得 bn·2ⁿ=n·2ⁿ，属“等差×等比”结构，用错位相减法求和。

第17题【考点】圆的方程与光线反射

第(1)问由圆心在直线 √3x+y=0 及截两坐标轴的弦长（结合垂径定理）列方程组解出圆心与半径。第(2)问利用入射光线关于镜面 x+y−4=0 的对称性，求 M 的对称点 M′，过 M′ 作圆的切线即反射光线；注意斜率不存在与存在两种情况。

第18题【考点】圆与圆的位置关系及弦长比

第(1)问由两圆上点距离的最大值 = 两圆心距 + 两半径之和定出圆 O₁ 半径。第(2)问分斜率不存在与存在，用圆心距等于半径求切线。第(3)问设 y=kx+m，用垂径定理表示两弦长，由 d/d₁=2 整理出 18k+m=0 或 6k+m=0，即直线过定点 (18,0) 或 (6,0)。

第19题【考点】等比数列、恒成立与对称数列

第(1)问由等差中项列 q+q²=6，结合单增取 q=2。第(2)问分离参数后按 n 的奇偶分类，借助数列 {(n+3)/2ⁿ⁻¹} 的单调性求两侧界，得 −2<λ<7/2。第(3)问利用对称数列“首尾对称相等”的结构，把 S₂ₖ₋₁ 表示为 2k(9−k)−8，解方程得 k=4 或 5。