注册电气工程师（发输变电）基础考试 · 2027 备考

第 10 天教案与训练题　·　叠加定理的限制

日期 2026-11-13（周五）　｜　阶段：W1 第 5 天（阶段一 筑基）　｜　计划时长 60 min

起点假设：跨专业、零基础，无教材无网课；预备 4 天、M0 摸底与 W1 前四天已完成，本教案即当天唯一读物

配套：《2027 逐日学习计划》W1 表第 5 行（15 默写 → 35 新题 → 10 登记）；当天产出：出声复述《历年考点试题集》专业基础第 5 题 + 三份写在纸上的短过程

一、今天要达到的 6 个目标（可自测）

六条里第 2、5 条是今天的主考点：置零的三种手续是动手第一步，『功率不能叠加』是第 5 题的考点本身；第 3、4 条是一对——分电路各算一遍之后必须再验一遍，今天这个电路特意选成四份数全是整数，就是为了让你把力气花在手序而不是算术上；第 1 条的前提（线性）与第 6 条的反向提问习惯，是明年大题与小题共用的判据。今天不学新定律：叠加定理是把第 6~8 天的单回路、并联分流、节点法三样基本功各调用一次的手续，而它管不到功率这一条限制，就是第 5 题的全部内容。

1. 能一句话说出叠加定理说什么、前提是什么：线性电路里任一支路的电压或电流等于每只独立源单独作用时该量之和；一次只留一只源，其余独立源全部置零（图 1）。

2. 能把『不作用』写成三种手续并说清为什么不能反过来：电压源置零 = 短接、电流源置零 = 断开、实际源只短电动势而内阻保留、受控源一律保留（图 2）。

3. 能独立算完两张分电路并写全四份数：分电路一 i₁ = 2 A、u₁ = 8 V；分电路二 u₂ = 4 V、i₂ = 1 A；并指出 2 Ω 支路第二份是 −2 A（图 3、图 4）。

4. 能把两份数对齐相加并用另一种方法独立验算：i = 2 + 1 = 3 A、u = 8 + 4 = 12 V，节点法给同一个数；顺带说清 n − 1 个节点方程与 b − n + 1 个回路方程这笔账（图 5）。

5. 能用交叉项解释『功率不能叠加』：16 + 4 = 20 W 不等于 36 W，少的是 2 × 8 × 4 ÷ 4 = 16 W；并说清正确手续是先叠加求总量、再算功率（图 6）。

6. 能走完第 5 题的逐选项判定并指出本题是反向提问，完成今天的硬性产出——四句出声复述加三份写在纸上的短过程（图 7、图 8）。

二、开课 5 分钟体检（缺哪块先补哪块，别硬撑）

体检五项里有三项是昨天的账（第 1、2、5 项），第 4 项是今天的验算工具，第 3 项是今天置零规矩的根据：正因为理想电压源端电压恒定、内阻为 0，把它『变成 0 V』才等价于接一根导线；也正因为理想电流源端电流恒定，把它『变成 0 A』才等价于把这条支路拿走。第 3 项说不出来就回第 6 天卡 1 重抄一遍再开课——今天整节课的手续都从这两条性质出发，而不是从背规矩出发。

三、60 分钟时间轴

常规日 60 min 的切分与前四天相同：15 默写、35 新内容、10 登记。今天的讲授段几乎全程在动笔：图 3、图 4 各算一遍，图 5 再验一遍，图 6 算三次功率，一共要写十二行式子——叠加定理没有新公式，学的是『拆、算、加、验』四步手续，所以手不能停。优先级：D1 的四句复述 + 卡 2 的三种置零手续 > A/B 两组 > 其余。任何一组超时就砍讲授里的换数验算，不砍训练；最后 2 min 只做登记。

四、教案正文（讲给自己听的脚本 + 8 张简图）

用法同前：每一小节先读『本质一句话』，再把式子抄到纸上，最后合上文档用『讲给自己听』那句复述。今天只有一条新定理、零条新公式：全部内容是『拆—算—加—验』四步手续，以及一条限制（功率不在它的适用范围内）——而第 5 题考的正是这条限制。

今天有 8 张简图，画图就是手续本身：图 1 要照原电路画一张总纲并把两只源圈出来；图 2 只看不画，四格各填一句手续；图 3 与图 4 要各算一遍并写出四份数，其中 2 Ω 支路那份必须带负号；图 5 要把账本两行填满再独立解一遍节点法；图 6 要写功率三行（20、16、36）；图 7 只看不画，四个选项各说一句判定；图 8 只看不画，认清今天在第 5 格、本周五题收尾。数对不上就是算错了，回去重算。

第四节的 ②⑤ 两小节是今天的主考点：置零的三条手续与功率不能叠加的理由，合起来正好覆盖第 5 题的四个选项。建议把卡 2 与卡 4 抄两遍：第一遍照抄，第二遍合上文档凭记忆写；『先叠加、后算功率』这七个字加上『算完换一种方法验一遍』是今天唯一要带进考场的动作序列。

①　叠加定理说什么：一次只留一只源，各算一遍再把响应相加

本质一句话　线性电路里，任一支路的电压或电流，等于每只独立源单独作用时该电压或电流之和；做法是画几张分电路——每次只留一只独立源，其余独立源全部置零。

样板电路（图 1）　12 V 电动势串 2 Ω 是一条支路，3 A 电流源把电流注入同一个节点，节点上挂着对地的 4 Ω。两只源同时在场，直接算要先设未知量再列方程；叠加定理说：先只留 12 V 算一遍，再只留 3 A 算一遍，两份结果相加就是答案。

为什么允许拆　电阻的 u–i 关系是过原点的直线（u = Ri），KCL 与 KVL 也都是线性方程，所以『各源单独作用的解之和』代回原方程组仍然成立。本例一路算到底：i = 2 + 1 = 3 A、u = 8 + 4 = 12 V，与节点法独立算出的完全相同（图 5）。

前提只有一条　电路必须是线性的：电阻值是常数，没有二极管这类非线性元件，也没有铁芯饱和这类问题。含受控源的电路仍是线性的，照样能用叠加——只是受控源不许置零（图 2 第四格）。做题先问一句『这题的电路线性吗』，不是线性，叠加定理整条失效。

讲给自己听　『叠加定理 = 一次只留一只独立源，其余置零，各算一遍，再把同一个元件、同一个参考方向上的分量相加。前提是线性电路，管的是电压和电流。』

图 1　叠加定理的总纲：一只 12 V 串 2 Ω 与一只 3 A 共同作用在对地 4 Ω 上，拆成两张分电路各算一遍再相加，i = 2 + 1 = 3 A、u = 8 + 4 = 12 V，功率不能这样加

②　『不作用』= 置零：谁短路、谁开路、谁必须留着

本质一句话　置零是让这只独立源的『出力』变成 0，而不是把它从电路里抹掉：电压源置零后 u = 0，等于一根导线；电流源置零后 i = 0，等于支路断开。

为什么不能反过来（图 2）　理想电压源置零，要求的是 u = 0 而电流随便流——正是一根短路线；若改成开路，就等于强行把这条支路的电流也加成 0，而原电路里它的电流一般不是 0，电路被改掉了。理想电流源置零，要求 i = 0 而两端电压随便取——正是断开；若改成短接，等于把两个节点并成一个，拓扑变了，别处电流会顺着短路线跑掉。

实际源要分两只元件　12 V 串 2 Ω 这一支里，置零只短掉电动势 U_S，内阻 2 Ω 留在原支路（图 4）。这一条不是细节：正因为 2 Ω 留着，它才与 4 Ω 构成并联，才有 2 并 4 = 4/3 Ω 这一步；把整支抹掉等于把该支路开路，今天 B4 会当场算错给你看。

受控源一律保留　受控源不是激励，它的值由控制量决定，所以每张分电路里它都原样在场；而且控制量必须换成分量——第 7 天说过『控制量要用各分电路的分量表示』。本例若还有一只受控电压源 2u（u 是 4 Ω 上的电压），分电路一里写 2 × 8 = 16 V，分电路二里写 2 × 4 = 8 V，最后再相加。

讲给自己听　『电压源置零 = 短接，电流源置零 = 断开，实际源只短电动势、内阻留着，受控源原样不动且控制量要跟着分量变。一句话：置零是把出力变成 0，不是把元件拿走。』

图 2　『不作用』的三条规矩：理想电压源短路、实际源只短电动势而内阻保留、电流源开路、受控源必须原样保留

③　两张分电路各算一遍：四份数与一个必须带负号的分量

本质一句话　每张分电路只剩一只源，算法退回到第 6~8 天的基本功：一个回路就用除法，两只电阻并联就用并联电阻与分流公式。

分电路一（图 3）　把 3 A 开路，它那条支路整条断开，12 V 与 2 Ω 仍串在一起，电路只剩一个单回路：12 V 串 2 Ω 串 4 Ω。所以 i₁ = 12 ÷ (2 + 4) = 2 A，4 Ω 上的电压 u₁ = 2 × 4 = 8 V。这一步没有任何新东西——叠加定理的价值就是把原电路削成这种一眼能算的形状。

分电路二（图 4）　把 12 V 短接，2 Ω 直接落到地上，与 4 Ω 并联：2 并 4 = 2 × 4 ÷ (2 + 4) = 4/3 Ω。3 A 全部灌进这只等效电阻，节点电压 u₂ = 3 × 4/3 = 4 V；再分回 4 Ω，i₂ = 4 ÷ 4 = 1 A。用分流公式核对：3 × 2 ÷ (2 + 4) = 1 A，两条路给同一个数。

必须带负号的那一份　2 Ω 支路在分电路一里电流是 2 A（从电源流向节点），在分电路二里电流大小也是 4 ÷ 2 = 2 A，但方向反过来（从节点经 2 Ω 流进短接的源），按『从电源流向节点』为正就是 −2 A。相加得 2 + (−2) = 0 A，而整体解算这条支路是 (12 − 12) ÷ 2 = 0 A——完全一致。『同一参考方向』这四个字，分量里方向相反的那一支才真正考到你。

讲给自己听　『分电路一 i₁ = 2 A、u₁ = 8 V；分电路二 u₂ = 4 V、i₂ = 1 A；2 Ω 那条支路第二份是 −2 A。每张分电路里电阻一律原样不动，只动独立源。』

图 3　分电路一：只留 12 V（3 A 开路），退化成单回路，i₁ = 12 ÷ (2 + 4) = 2 A、u₁ = 2 × 4 = 8 V

图 4　分电路二：只留 3 A（12 V 短路），2 Ω 与 4 Ω 变成并联，2 并 4 = 4/3 Ω、u₂ = 3 × 4/3 = 4 V、i₂ = 4 ÷ 4 = 1 A

④　相加、验算与方程账：为什么算完必须换一种方法再核一遍

本质一句话　分量相加只能对同一元件、同一参考方向的量做；算完立刻用另一种方法独立验一遍，两个数一样才继续往下走。

账本（图 5）　4 Ω 上的电流 i = 2 + 1 = 3 A；节点电压 u = 8 + 4 = 12 V。两张分电路的读数一栏一栏对齐写，不凭记忆口算——图 5 的表格就是这个动作的纸面版本。

节点法独立验算　第 7 天的手续：一个未知节点电压 u，一行 KCL (u − 12) ÷ 2 + u ÷ 4 = 3，两边乘 4 得 2(u − 12) + u = 12，即 3u = 36，u = 12 V，于是 i = 12 ÷ 4 = 3 A。与叠加结果一字不差——两条独立路线撞上同一个数，才敢往下算功率。

方程账（下周一的预习）　支路电流法的未知量有 b 个：KCL 只能提供 n − 1 个独立方程（参考节点那一行的方程是其余各行的线性组合，列了也不独立），剩下的 b − n + 1 个由 KVL 补足，两者相加 (n − 1) + (b − n + 1) = b 正好补齐。n = 4、b = 7 就是 3 个节点方程加 4 个回路方程。叠加定理省的就是这笔账：把『一次解 b 元方程组』换成『几只单源电路各解一次』，每次的方程都少而结构更简单。

讲给自己听　『先对齐相加（同元件、同方向），再换一种方法独立验算：节点法给 u = 12 V、i = 3 A，与叠加一致才过关。对不上先查份数与方向，不许改答案凑数。』

图 5　同一元件、同一参考方向的两份数对齐相加得 i = 3 A、u = 12 V，再用第 7 天的节点法独立验算 (u − 12) ÷ 2 + u ÷ 4 = 3 → u = 12 V，两条路线一字不差

⑤　功率为什么不能叠加：展开必出的交叉项

本质一句话　功率是电压电流的二次关系（P = u × i、P = u × u ÷ R、P = i × i × R），把和式展开必然多出交叉项，所以各分量的功率之和不等于实际功率——这就是第 5 题的 D 项错在哪。

4 Ω 上的三行（图 6）　实际 u = 8 + 4 = 12 V，P = 12 × 12 ÷ 4 = 36 W；两份各算：P₁ = 8 × 8 ÷ 4 = 16 W、P₂ = 4 × 4 ÷ 4 = 4 W，相加 20 W；少掉的 16 W 正是交叉项 2 × u₁ × u₂ ÷ 4 = 2 × 8 × 4 ÷ 4 = 16 W。16 + 4 + 16 = 36，账就平了。

2 Ω 上反过来错　该支路两份电流是 2 A 与 −2 A，各自的功率都是 2 × 2 × 2 = 8 W，相加 16 W；实际电流 2 + (−2) = 0 A，功率 0 × 0 × 2 = 0 W。这里不是少算而是多算 16 W，因为交叉项 2 × 2 × (−2) × 2 = −16 W。同一道题里两处一个少 16 W、一个多 16 W，说明『分量功率相加』错得没有规律。

必须点破的一个巧合　把两只电阻的分量功率全加起来 16 + 4 + 8 + 8 = 36 W，恰好等于实际总功率 36 + 0 = 36 W。这是上面两处交叉项 +16 与 −16 相消的结果，不是『功率也能叠加』的证据。换个电路就不成立：一只 1 Ω 电阻串两只同向 1 V 电源，分电路各 1 × 1 × 1 = 1 W，相加 2 W，而实际 i = 1 + 1 = 2 A、P = 2 × 2 × 1 = 4 W，总量也对不上。规矩只有一条：先用叠加求出总电压或总电流，再算功率。

讲给自己听　『叠加只管电压与电流。要算功率，必须等总量出来再算：先叠加、后算功率，顺序不许颠倒；分量功率相加少了交叉项，可能少算也可能多算。』

图 6　功率为什么不能叠加：4 Ω 上两份功率 16 W 与 4 W 相加得 20 W，实际是 12 × 12 ÷ 4 = 36 W，差的正是交叉项 2 × 8 × 4 ÷ 4 = 16 W

⑥　第 5 题逐选项判定，与今天的产出

原题（反向提问）　关于叠加定理，下列叙述错误的是（）。A 理想电压源不作用时按短路处理；B 受控源应保留在各分电路中，不能单独置零；C 线性电阻电路中电压、电流可分别计算后相加；D 可用于计算功率。题干问『错误的是』，四格里三对一错——读题先把『错误』两字圈出来，第 3 天功率符号那题也是这种问法，明年还会考。

逐选项判定（图 7）　A 对：图 2 第一格，u = 0 而电流任取就是短路线；B 对：图 2 第四格，受控源不是激励，两张分电路里都原样在场；C 对：图 1 与图 5 说的主张，本例 2 + 1 = 3 A、8 + 4 = 12 V；D 错：图 6 的三个数 16 + 4 = 20 W 不等于 36 W，漏的是交叉项 16 W。本题答案 D。

三个对选项怎么用　A、B、C 不是废话：A 与 B 合起来就是『谁短路、谁开路、谁保留』这张表，C 是定理本身。把它们当检查清单用——做完一张分电路，顺手问三句：电压源短了吗、电流源断了吗、受控源还在吗。

本周路线（图 8）　周一到周五按题号 1→5 推进，今天 1.2 第 5 题做完，本周五题就齐了。明天周六二刷本周五题加错题本题号（3.5 h：2 h 把本周主线小节串成导图 + 1.5 h 限时切片）；周日换公共基础第 1~3 题（向量垂直、柱面识别、平面距离）；下周一回到 1.2 第 6 题『独立方程数』，今天第四节④那笔方程账就是它的预习。

今天的产出　三样：① 出声复述第 5 题四句（每句带理由）；② 纸上默写三条置零规矩加本例四份数（2 A、8 V、1 A、4 V）与两个总数（3 A、12 V）；③ 纸上写功率三行（16 + 4 = 20、交叉项 16、实际 36）。只写答案不算过。

讲给自己听　『第 5 题选 D：功率与激励是二次关系，各分量功率之和不等于总功率。A、B、C 分别是图 2 第一格、第四格与图 1 的主张，三条都对。』

图 7　试题集·专业基础第 5 题逐选项：A、B、C 三条叙述都对，只有 D『可用于计算功率』说错——本题要选的正是 D

图 8　W1 路线：周五在第 5 格，本周五题（第 1~5 题）今天收尾；常规日 60 min = 15 默写 + 35 新内容 + 10 登记

五、今天的 6 张公式卡（全文抄到卡片上）

抄卡规则同前：一张 A4 折 8 格，今天占 6 格。卡 2 是今天最要紧的一张——第 5 题的 A、B 两个选项直接考它，而明年大题里画分电路时，置零接错一次就整题重算；卡 3 的四份数要连着那个 −2 A 一起默，因为『同一参考方向』的坑只有出现反向分量时才咬人；卡 4 的三个数（20、16、36）是第 5 题 D 项的完整证据，背下三个数比背下结论耐用。

卡 1　叠加定理说什么与它的前提　线性电路里，任一支路的电压或电流 = 每只独立源单独作用时该量之和。一次只留一只独立源，其余置零；几只源就画几张分电路。本例 i = 2 + 1 = 3 A、u = 8 + 4 = 12 V。前提：电路必须线性

卡 2　『不作用』= 置零的三条手续　电压源置零 = 短接（u = 0 而 i 任取）；电流源置零 = 断开（i = 0 而 u 任取）；实际源只短电动势 U_S、内阻 R 留在原支路；受控源一律保留且控制量换成分量。反过来接就改掉电路

卡 3　本例四份数与那个负分量　分电路一（3 A 开路，单回路）：i₁ = 12 ÷ (2 + 4) = 2 A、u₁ = 2 × 4 = 8 V。分电路二（12 V 短路，2 并 4 = 4/3 Ω）：u₂ = 3 × 4/3 = 4 V、i₂ = 4 ÷ 4 = 1 A。2 Ω 支路：2 + (−2) = 0 A，与 (12 − 12) ÷ 2 = 0 A 一致

卡 4　功率不能叠加的算术　4 Ω：实际 P = 12 × 12 ÷ 4 = 36 W，两份 8 × 8 ÷ 4 = 16 W 与 4 × 4 ÷ 4 = 4 W 相加只有 20 W，差交叉项 2 × 8 × 4 ÷ 4 = 16 W。2 Ω：两份 8 + 8 = 16 W，实际 0 W。手续永远是先叠加求总量、再算功率

卡 5　验算与方程账　节点法独立验算：(u − 12) ÷ 2 + u ÷ 4 = 3 → 3u = 36 → u = 12 V、i = 3 A，与叠加一致。方程账：KCL 有 n − 1 个独立方程、KVL 补 b − n + 1 个，相加 = b（n = 4、b = 7 → 3 与 4）

卡 6　第 5 题四句与本周路线　A 对（电压源不作用 = 短路）、B 对（受控源保留不置零）、C 对（线性电路电压电流可分别算再相加）、D 错（可用于计算功率）→ 选 D。周一~周五第 1~5 题今天收尾；周六二刷五题；周日公共第 1~3 题；下周一 1.2 第 6 题『独立方程数』

六、9 个易错点（考前会反复踩，今天先记牢）

七、训练题（21 题，答案与解析紧随每题）

自测办法同前：拿一张纸盖住答案再做。常规日只有 35 min 新内容，题量与前四天相同（21 题）。D 组四样产出（D1 的出声复述、D2~D4 的三份短过程）一件不许省——它们是逐日计划 W1 第 5 行的当天产出。A2 做错说明『同一参考方向』还没落到笔上，回第四节③末段重算那条 −2 A；B4 做错是今天最值钱的收获——你已经见过一次『接错置零不会被报错，只会被验算抓住』；C3 做错要警惕：那说明你把一个巧合当成了规律，比不会做更麻烦。E3、E4 今天不做，周六二刷开头 10 min 里做，做完把错因登记进错题本。

A 组　叠加手续走一遍（5 题，每题 2 分钟内）

A1　用叠加定理求样板电路 4 Ω 上的电流：写出两张分电路各是什么、置零怎么做、两份数各多少、最后相加得多少。

【答案】分电路一（3 A 开路）：i₁ = 12 ÷ (2 + 4) = 2 A；分电路二（12 V 短路，2 并 4 = 4/3 Ω）：u₂ = 3 × 4/3 = 4 V → i₂ = 4 ÷ 4 = 1 A；相加 i = 2 + 1 = 3 A。

【解析】这就是今天的主手续：拆（两张分电路）→ 算（各一遍）→ 加（同元件同方向）→ 验（下一题做）。四步里最容易漏的是『拆』之前的那句『几只源画几张图』。

A2　接 A1：按『从 12 V 电源流向节点』为正，写出 2 Ω 支路在两张分电路里的电流与总电流，并用整体解核对。

【答案】分电路一 +2 A；分电路二 −2 A（实际从节点经 2 Ω 流向被短接的源）；总电流 2 + (−2) = 0 A。整体核对：该支路两端都是 12 V，(12 − 12) ÷ 2 = 0 A ✓。

【解析】这一题是今天唯一真正考『同一参考方向』的地方：分量方向相反时，相加会得 0，而不是你以为的最大值。明年大题里最容易整题反号的就是这一步。

A3　把负载 4 Ω 换成 8 Ω，用叠加重算节点电压 u，并用节点法核对。

【答案】分电路一：i₁ = 12 ÷ (2 + 8) = 1.2 A → u₁ = 1.2 × 8 = 9.6 V；分电路二：2 并 8 = 1.6 Ω → u₂ = 3 × 1.6 = 4.8 V；u = 9.6 + 4.8 = 14.4 V。核对：(u − 12) ÷ 2 + u ÷ 8 = 3 → 4(u − 12) + u = 24 → 5u = 72 → u = 14.4 V ✓。

【解析】换一只电阻，四份数全部要重算——这就是易错点第 8 条。顺便看出：电流源那一份 u₂ 只随并联电阻变，电压源那一份 u₁ 随分压变，两条规律各自独立。

A4　若原电路还挂着一只受控电压源 2u（u 是 4 Ω 上的电压），两张分电路里它各取多少？能不能像独立源那样置零？

【答案】分电路一里控制量是 u₁ = 8 V → 受控源 2 × 8 = 16 V；分电路二里控制量是 u₂ = 4 V → 2 × 4 = 8 V。不能置零：它必须原样留在每张分电路里，只是控制量换成分量。

【解析】受控源不是激励，置零它等于凭空改掉一条支路的电压。第 5 题的 B 项考的就是这一句，而 W2 周三（1.2 第 8 题『含受控源端口电阻』）会整题考这个规矩。

A5　一个电路有 n = 4 个节点、b = 7 条支路：支路电流法要列几个 KCL 方程、几个 KVL 方程？两者相加等于多少？叠加定理省的是哪笔账？

【答案】KCL 独立方程 n − 1 = 3 个；KVL 独立方程 b − n + 1 = 7 − 4 + 1 = 4 个；3 + 4 = 7 = b，正好对上 b 个支路未知量。叠加把『一次解 b 元方程组』换成『每只源单独作用各解一次』，每次结构更简单。

【解析】参考节点那一行的 KCL 是其余各行的和，列了不独立，所以只有 n − 1 个——这一问就是下周一 1.2 第 6 题的内容，今天先把道理说清，周一只做换数的同型题。

B 组　置零的三条手续（4 题）

B1　四只元件分别怎么置零：① 理想电压源 12 V；② 实际电压源 12 V 串 2 Ω；③ 理想电流源 3 A；④ 受控电压源 2i。

【答案】① 短接成导线；② 只短 12 V 电动势，2 Ω 留在原支路；③ 断开这条支路；④ 不置零，原样保留（其值随控制量 i 的分量变）。

【解析】四格就是图 2 与第 5 题 A、B 两个选项的完整版。②与④的区别要能一口说出：②是激励与内阻两只元件，只短激励；④根本不是激励。

B2　为什么电压源置零不能开路、电流源置零不能短路？各用一句话说清。

【答案】电压源置零要求 u = 0 而电流仍任取，开路会把电流强加成 0，与原电路该支路的一般电流不符；电流源置零要求 i = 0 而电压仍任取，短路等于把两个节点并成一个，会改掉拓扑。

【解析】判据是一句话：置零只取消『出力』这一条约束，另一条约束（电流任取 / 电压任取）必须原样保留。背住这句，两条规矩就不用死记。

B3　样板电路两张分电路里，2 Ω 与 4 Ω 各是什么接法？各写出电阻组合与那一步的读数。

【答案】分电路一（3 A 开路）：2 Ω 与 4 Ω 串联成 6 Ω，i₁ = 12 ÷ 6 = 2 A、u₁ = 8 V；分电路二（12 V 短路）：2 Ω 与 4 Ω 并联成 4/3 Ω，u₂ = 3 × 4/3 = 4 V、i₂ = 1 A。

【解析】同一对电阻在两张分电路里接法不同——这不是记性活，而是置零改变了连接方式。图 3 与图 4 画的正是这两种接法，画图时把电阻位置照原电路摆好再动源。

B4　自检练习：若把 12 V 误按『开路』处理（整支拿走），分电路二会得到什么 u₂？相加后的总电压与节点法的 12 V 差多少？

【答案】拿走 2 Ω 支路后，3 A 只能全部流过 4 Ω：u₂ = 3 × 4 = 12 V；与分电路一相加得 8 + 12 = 20 V，比节点法的 12 V 多出 8 V。

【解析】这一题就是易错点第 9 条的现场版：接错置零不会报错，只会给你一个错数——但只要换一种方法独立算一遍，20 V 与 12 V 一比当场暴露。验算不是形式主义，是错题探测器。

C 组　功率与相加（4 题）

C1　样板电路 4 Ω 上的功率：分别用『两份相加』与『先求总量再算』两种做法，写出三个数并指出差在哪。

【答案】两份相加：8 × 8 ÷ 4 = 16 W、4 × 4 ÷ 4 = 4 W，合计 20 W；先求总量：u = 12 V → P = 12 × 12 ÷ 4 = 36 W；差 16 W = 交叉项 2 × 8 × 4 ÷ 4。

【解析】16 + 4 + 16 = 36，交叉项补上就平了——这就是第 5 题 D 项为什么错的全部理由。记住顺序：先叠加、后算功率。

C2　样板电路 2 Ω 上的功率：两份相加得多少、实际是多少？这次是多算还是少算，为什么？

【答案】两份都是 2 × 2 × 2 = 8 W，相加 16 W；实际电流 0 A → 0 W。这次是多算 16 W，因为两份电流方向相反，交叉项 2 × 2 × (−2) × 2 = −16 W。

【解析】C1 少算 16 W、C2 多算 16 W：分量功率相加的误差方向不定，所以没有任何『折中』可用。顺带一个物理直觉：这条支路两端电位相同（都是 12 V），确实一点功率也不消耗。

C3　把两只电阻的分量功率全加起来 16 + 4 + 8 + 8 = 36 W，恰好等于实际总功率 36 + 0 = 36 W。能不能因此说『单个元件不行，但总功率可以叠加』？

【答案】不能。这里相消是本例的巧合：两处交叉项 +16 W 与 −16 W 刚好抵消。反例：一只 1 Ω 电阻串两只同向 1 V 电源，两份各 1 W 相加 2 W，实际 i = 2 A → P = 4 W，总量也对不上。

【解析】这一问是今天最深的一坑：碰巧对上一次的数最容易变成错误的规律。判据仍然是那句『先叠加求总量、再算功率』——它永远成立，而总量相消不成立。

C4　用电源侧把账平一遍：样板电路里 12 V 电源与 3 A 电源各发出多少功率？与两只电阻消耗之和核对。

【答案】12 V 支路电流 0 A → 发出 12 × 0 = 0 W；3 A 电源两端电压等于节点电压 12 V → 发出 12 × 3 = 36 W；电阻侧 4 Ω 消耗 36 W、2 Ω 消耗 0 W，合计 36 W ✓ 平账。

【解析】第 8 天那笔『发出 = 消耗』的账在叠加之后照样要平——而且这是最省事的验收：若你的分量功率相加得 20 W，与电源侧的 36 W 一比，缺口 16 W 立刻看得见。

D 组　今天的产出：四句复述 + 三份短过程（4 题）

D1　出声复述试题集·专业基础第 5 题：D 为什么错，A、B、C 各为什么对，共四句，不看文档说。

【答案】D 错：功率与激励是二次关系，P = u × u ÷ R，分量功率之和少了交叉项，本例 16 + 4 = 20 W 不等于 36 W；A 对：电压源不作用就是 u = 0 而电流任取，等于短接；B 对：受控源不是激励，各分电路都要保留；C 对：线性电路里电压、电流可各算一份再相加，本例 2 + 1 = 3 A。

【解析】复述标准：四句都说出来、每句带理由才算过；只说『选 D』不算。说不上来就回图 7 把四个格子各读一遍再复述——明年换个说法重考，认理由比认答案有用。

D2　纸上默写两样：① 三条置零手续（含受控源那一句）；② 本例四份数与两个总数。

【答案】① 电压源置零 = 短接；电流源置零 = 断开；实际源只短电动势、内阻保留；受控源一律保留且控制量换成分量。② i₁ = 2 A、u₁ = 8 V；u₂ = 4 V、i₂ = 1 A；i = 3 A、u = 12 V。

【解析】七行写全才算过。①是手续、②是证据；②里若把 2 Ω 支路的 −2 A 也补上，说明你连最阴的那个分量都记住了（A2 的负号）。

D3　纸上写功率三行：① 两份相加；② 交叉项；③ 实际功率。再补一句正确手续。

【答案】① 8 × 8 ÷ 4 = 16 W、4 × 4 ÷ 4 = 4 W，合计 20 W；② 2 × 8 × 4 ÷ 4 = 16 W；③ 12 × 12 ÷ 4 = 36 W。手续：先用叠加求出总电压或总电流，再算功率。

【解析】三行缺一不可，③ 才是答案、① 只是陷阱。写完用『① 加交叉项 = ③』自检：20 + 16 = 36 ✓，这一行等式就是『交叉项补上就平了』的算术证明。

D4　纸上写一遍完整验算：节点法一行方程、解、与叠加结果核对的一句话。

【答案】(u − 12) ÷ 2 + u ÷ 4 = 3 → 两边乘 4：2(u − 12) + u = 12 → 3u = 36 → u = 12 V、i = 12 ÷ 4 = 3 A；与叠加的 u = 8 + 4 = 12 V、i = 2 + 1 = 3 A 完全一致。

【解析】从今天起『两条独立路线撞同一个数』是本课程每次化简后的固定收尾动作。写这一题时注意：节点法里 (u − 12) ÷ 2 这一项正是 2 Ω 支路的电流，它等于 0——与 A2 的 2 + (−2) 呼应。

E 组　考场四选一（今天做 E1、E2；E3、E4 并入周六二刷开头）

E1　关于叠加定理，下列叙述错误的是（）。

A. 理想电压源不作用时按短路处理

B. 受控源应保留在各分电路中，不能单独置零

C. 线性电阻电路中电压、电流可分别计算后相加

D. 可用于计算功率

【答案】D

【解析】D. 可用于计算功率。功率与激励是二次关系（P = u × i = u × u ÷ R），各分量功率之和不等于总功率：本例 4 Ω 上两份 16 W 与 4 W 相加得 20 W，实际是 12 × 12 ÷ 4 = 36 W，少的是交叉项 16 W。A 对：电压源不作用时 u = 0 而电流任取，按短路处理；B 对：受控源不是激励，各分电路中应保留、不能单独置零；C 对：线性电阻电路里电压、电流可分别计算后相加。这就是试题集·专业基础第 5 题原题，题干问『错误的是』，今天应当秒答。

E2　用叠加定理求样板电路（12 V 串 2 Ω 支路与 3 A 电流源共同作用在对地 4 Ω 上）中 4 Ω 的电流，结果为（）。

A. 3 A

B. 2 A

C. 1 A

D. 5 A

【答案】A

【解析】A. 3 A。分电路一（3 A 开路）i₁ = 12 ÷ (2 + 4) = 2 A；分电路二（12 V 短路，2 并 4 = 4/3 Ω）u₂ = 3 × 4/3 = 4 V → i₂ = 1 A；相加 i = 2 + 1 = 3 A。B 只算了 12 V 单独作用那一份；C 只算了 3 A 单独作用那一份；D 把电流源的全值 3 A 直接加到 2 A 上，忘了分电路二里 4 Ω 只分到 1 A。

E3　在含受控源的线性电路中使用叠加定理时，对受控源的正确处理是（）。

A. 与独立源一样置零

B. 保留在各分电路中，不能单独置零

C. 只在第一张分电路中保留

D. 先等效成一只电阻再参与叠加

【答案】B

【解析】B. 保留在各分电路中，不能单独置零。受控源的值由控制量决定，不是独立激励，所以每张分电路里它都原样在场，只是控制量要换成该分电路的分量（如 A4 里的 2 × u₁ 与 2 × u₂）。A 把它当激励处理；C 只在一张分电路保留，等于改掉了两张分电路的拓扑；D 把受控源当电阻变换，混淆了源与元件。

E4　某线性电阻在两张分电路上的电压分别为 6 V 与 3 V（方向相同），则该电阻上『实际功率』与『两份功率相加』分别为（）。

A. 27 W 与 15 W

B. 15 W 与 27 W

C. 27 W 与 27 W

D. 12 W 与 27 W

【答案】A

【解析】A. 27 W 与 15 W。取 R = 3 Ω：实际 u = 6 + 3 = 9 V → P = 9 × 9 ÷ 3 = 27 W；两份相加 6 × 6 ÷ 3 = 12 W 与 3 × 3 ÷ 3 = 3 W，合计 15 W；差的 12 W 是交叉项 2 × 6 × 3 ÷ 3。B 把两个数调了位置；C 假设功率也能叠加；D 把交叉项本身当成了实际功率。换任何一只 R，两个数按同比例变，结论不变：分量功率之和总是少了交叉项。

八、口头复述（合上文档说这 6 句）

合上文档把这六句说给自己听。第 2 句是今天最要紧的：三种手续一句判据，明年画分电路时每次都要用；第 3 句必须连着 −2 A 一起说，只说『方向要一致』而不给例子，考场上照样会漏；第 5 句要连着三个数说（20、16、36），这是第 5 题 D 项的证据链；第 6 句连着『题干问的是错误的那一句』说。说不出来的那句回对应小节重读一遍再复述，不要往下赶——明天周六二刷本周五题，这六句就是二刷时的口试题目。

1. 叠加定理：线性电路里任一支路的电压或电流 = 每只独立源单独作用时该量之和；一次只留一只源，几只源画几张分电路。本例 i = 2 + 1 = 3 A、u = 8 + 4 = 12 V。

2. 『不作用』= 置零：电压源短接、电流源断开、实际源只短电动势而内阻保留、受控源一律保留且控制量换成分量。判据：置零只取消『出力』这一条约束，另一条约束必须原样保留。

3. 四份数与那个负分量：分电路一 i₁ = 2 A、u₁ = 8 V；分电路二 u₂ = 4 V、i₂ = 1 A；2 Ω 支路 2 + (−2) = 0 A，与 (12 − 12) ÷ 2 = 0 A 一致——相加必须同元件、同参考方向。

4. 算完换一种方法独立验算：节点法 (u − 12) ÷ 2 + u ÷ 4 = 3 → 3u = 36 → u = 12 V、i = 3 A，与叠加一字不差才继续；对不上先查份数与方向，不许改答案凑数。

5. 功率不能叠加：4 Ω 上 16 + 4 = 20 W 不等于实际 36 W，少的是交叉项 2 × 8 × 4 ÷ 4 = 16 W；2 Ω 上 8 + 8 = 16 W 而实际 0 W，多算 16 W。手续永远是先叠加求总量、再算功率。

6. 第 5 题选 D：A、B、C 三条叙述分别对应图 2 第一格、第四格与定理本身，都对；D 把二次关系的功率当成可加量，漏了交叉项。本周五题今天收尾，明天周六二刷。

九、术语表 5 条（今天的产出之一）

五条术语抄进术语表本，『对应位置』那栏一并写上。『叠加定理』『分电路』『置零』这三个词从今天起不再重新定义：W2 周一的独立方程数、周二的戴维南等效、周三的含受控源端口电阻都会直接沿用；『交叉项』是明年功率类大题里判断题的关键词，『独立方程数』则是周一第 6 题的题目本身，今天先把来路说清，周一只做换数的同型题。

十、达标线与未达标预案

五组达标线不同是因为用途不同：A 是手续（拆—算—加—验四步），B 是置零的判据（画错分电路就整题重算），C 是今天最深的坑（功率与巧合），D 是当天产出（必须全对且写过程），E 是考场格式演练。E1 就是试题集·专业基础第 5 题原题——今天做错的唯一借口是没读第四节⑥。低于达标线的组按右栏处理，不要靠『再看一遍』糊过去；明天周六二刷会把本周五题再考一次。

特别提示：今天最值钱的动作有两个——『先叠加、后算功率』这条顺序，和『算完换一种方法独立验一遍』这个收尾。前者挡住 D 项那类把二次量当线性量加的错，后者挡住 B4 那类接错置零却毫无察觉的错（20 V 与 12 V 一比就露）。卡 2 与卡 4 建议写在卡片最上面一行：前者管『分电路怎么画』，后者管『画完能算什么不能算什么』，下周的戴维南等效与最大功率传输每一步都要用这两张。

十一、与明天的衔接

· 明天（11-14 周六）是二刷日，本周无新题：把 1.1 与 1.2 的五题（第 1~5 题）连同错题本里的题号重做一遍，3.5 h 切成 2 h 把本周主线小节串成导图（合上书讲给自己听）+ 1.5 h 限时切片。

· 今天没做完的部分（E3、E4 与任何超时的组）一律并入明天开头 10 min，不在工作日熬夜补；二刷时先做今天登记进错题本的题号，再做第 1~5 题——顺序按错因排，不按题号排。

· 周日（11-15）换公共基础：空间解析几何第 1~3 题（向量垂直、柱面识别、平面距离），同样是 3.5 h，节奏 1 h 副线新题 + 1 h 对照原卷 + 30 min 错题二刷 + 30 min 排下周。

· 下周一（11-16）回到 1.2 第 6 题『独立方程数』：今天第四节④那笔 n − 1 与 b − n + 1 的账就是预习，周二的戴维南等效会把今天的叠加当成起手工具——两条路线（叠加与戴维南）在 W2 会并排出现。

· 错题本继续三栏：题号、错因（功率当成可加 / 置零接反 / 内阻一起短掉 / 受控源被置零 / 方向没带负号 五选一）、『第几周再刷』。同一错因出现两次，说明那一小节要提前补——二刷前先看一眼错因栏。

本题目与解析均为自编可复算题，非机构汇编转录；数值经逐项核算（当天出图脚本末尾的 check() 内含同一组断言，图上数字与本文数字同源）。E1 是对《历年考点试题集》专业基础第 5 题的原题演练，解析按本教案的口径重写；本周日程与『15 默写 + 35 新内容 + 10 登记』的节奏取自《2027 逐日学习计划》W1 表第 5 行。