蓝以中高等代数简明教程 第五章习题一题19

此题需要用到第题的结论

. 设是数域上的维线性空间，是内的双线性函数。对的子空间，定义

证明：为的子空间。如果为内满秩双线性函数，证明：，同时又有。

证为的子空间

证毕。同理可证亦为的子空间。

证满秩

1. 设的一组基为

   再拓充到的一组基为在这组基下的矩阵为满秩矩阵。

2. 设，在上述一组基下的坐标为。则

1. 为基的坐标，故为的第行。故由

   可知，为的第到行组成的矩阵。显然，。

2. 为满秩矩阵，故的秩为，解空间的秩为。即。同理可证。

证

1. 和，则有，故知

故的一组基同时也是的一组基，。同理可证。

下面运用第题的结论来证明第题

. 设是数域上的维线性空间，是的两个子空间，为内的双线性函数，使用上题记号。证明：

如果满秩，则

证

1. 和，则有，故。

2. 同理有，故。

3. 和，则有

故。

1. 故，同理可证。

证满秩

1. 和，则有

故。

1. 根据题的结论，有

2. 而子空间和的和秩

1. 而上面已证得，故

1. ，，故的一组基同时也是的一组基，。同理可证。