2026北师大版小学数学六年级上册学生AI智能体深度理解16法：第8篇｜二 分数混合运算·分数混合运算（一）——深度理解16法之「翻译模型」

北师大版义务教育教科书 · 数学 六年级上册 · 二 分数混合运算·分数混合运算（一）

🏫 学校：dxyc2360      👨‍🏫 指导教师：张元方

📖 一、开篇引言

第 21 页的插图画的是一次课外活动。三个孩子站在树下，一个人说「我们气象小组有 12 人」，旁边一个说「我们摄影小组的人数是气象小组的 ¹⁄₃」，再一个说「我们航模小组的人数是摄影小组的 ³⁄₄」。图下面印着一句问话：航模小组有多少人？说说你是如何思考的。

这一页看着简单，三个数、两个分数、一个问题，孩子张嘴就能列出一个式子。真难的地方藏在两句话里。第一句「是气象小组的 ¹⁄₃」，第二句「是摄影小组的 ³⁄₄」——这两句看上去一个模样，底下的「谁」却换了一个人。前一句拿气象小组当尺子，后一句拿摄影小组当尺子。孩子往往只记住「几分之几就用 12 去乘」，把两句合成一句「12 的 ¹⁄₃、12 的 ³⁄₄」，两把尺子当成一把用，算式就写成了 12×¹⁄₃＝4、12׳⁄₄＝9，答成 9 人。这道题的正确答案是 3 人，差了三倍。

教材很清楚孩子会在这儿出岔子，所以它没有直接给算式，先插了两问：航模小组的人数与什么有关？你能画图表示三个小组的人数关系吗？这两问不是装饰。第一问逼着孩子把「与谁有关」说出来，第二问逼着他把「谁长谁短」画出来。图画对了，比例就摆在那儿；比例摆对了，算式几乎不用想。第 22 页的「试一试」接着把这件事推进一层：整数里的运算顺序搬到分数里照样成立，同级运算从左往右，有括号先算括号里面。第 23 页那几道题，把这三页学到的东西用到城市缺水、故事书页数、两只船运货、九个人分饮料上。

还有一个错法更隐蔽。孩子算出摄影小组 4 人之后，接着算航模小组，他把 4 写在纸上，转身去乘 ¹⁄₃——因为上一句是 ¹⁄₃，手顺着上一题的习惯走。4×¹⁄₃＝⁴⁄₃，出来一个带分数，他还觉得奇怪，也不回头核。这类错不是不会算，是「单位 1 换了人」这件事没在他心里落地。分数应用题的全部麻烦，八成出在这一处。

这一篇用「翻译模型」这一法来读这三页。翻译模型说的是：理解一段话，不是把字一个一个对过去，是先把这段话的意思在自己心里立起来，再换成另一种说得通的说法。照着这个方法读第 21 页，孩子要做的不是找关键词，是干三件翻译的活：把「是……的几分之几」翻译成「乘几分之几」，把「谁的几分之几」翻译成「拿谁当单位 1」，把两句连着说的话翻译成一条连乘的链子。三件活干完，12×¹⁄₃׳⁄₄ 就不是背下来的格式，是他自己译出来的一句话。

后面几节会一直用这把尺子。第四节把三个知识点和全部算式列清；第六节说清六个难点，孩子会在哪一步错、错成什么样、怎么破；第七节收七类考题；第八节把第 21 到 23 页每一个栏目、每一道题、每一个小题都过一遍，包括「试一试」那三组判断对错的脱式、练一练第 2 题那两个线段图、第 23 页第 3 题的六道小题。家长拿着这一篇，可以一页一页对着书陪孩子走，不用另找题。

📊 二、思维导图

二 分数混合运算 · 分数混合运算（一）（第 21—23 页）内容地图

这张图把三页摊成五支。第一支是第 21 页的气象、摄影、航模三个小组，主线是「12 人 → 摄影 4 人 → 航模 3 人」，两次乘，两次换单位 1。第二支是两种写法：一步连乘 12×¹⁄₃׳⁄₄，带括号先合分数 12×（¹⁄₃׳⁄₄），两者结果一样，这是乘法结合律在分数里的样子。第三支是第 22 页的运算顺序：同级从左往右，有括号先算里面，除号第一步换成乘倒数。第四支是三个错法的来处：除号不换倒数、两个分母乱约、单位 1 换人还照老数乘。第五支是第 22、23 页那批应用题共用的翻译口诀：谁是谁的几分之几，拿后面那个人当单位 1，把整条线段画出来再乘。带孩子照图走一遍，三页的题都落在这五支上。

🔑 三、深度理解16法之「翻译模型」

翻译模型这一法，出自伽达默尔《真理与方法》里论翻译的那一段。他讲一件很朴素的事：一个人要把别人的话译成自己的语言，不能一个词一个词地搬。词搬过去，句子可能全散了。译者要做的是先把对方说的那件事在自己心里弄明白，再用自己的话把它重新说一遍，说得让人听得懂。译本好不好，不看它跟原文长得像不像，看它能不能让不懂原文的人，也看见同一件事。

这一法针对的毛病很具体：孩子读题时把汉字当密码对，对上一个关键词就动笔。「是……的几分之几」他见过，就乘；「比……多」他见过，就加；「占」他见过，就除。对的次数多了，他以为自己会了。等到第 21 页这两句话并排放着，两个「是……的几分之几」底下的「谁」不一样，他的关键词法立刻失灵，因为关键词里没有「单位 1 是谁」这条信息。

翻译模型给的办法是换一层语言。数学题用汉字说了一遍，孩子要把它译成三种更硬的语言。第一种是图的预言：三条线段，左端对齐，谁最长谁最短一眼看见，12 人那条最长，航模那条最短，短到只有 12 人的四分之一。第二种是单位 1 的话：每一句「是……的几分之几」，都把「的」字后面那个人圈出来，写上「单位 1」。第一句圈气象小组，第二句圈摄影小组，两个圈不是同一个人。第三种是算式的语言：「A 是 B 的几分之几」译成「B×几分之几＝A」。三句话译完，孩子手上就有了 12×¹⁄₃＝4、4׳⁄₄＝3，两步各自站得住。

这一法在第 22 页还有第二种用处：把「算法」译成「一句能自己检查的话」。第 22 页那三组判断对错的脱式，第一组把「÷¹⁄₃」写成了「×¹⁄₃」，第三组把两个分母 6 拿来乱约。孩子光看过程看不出错，因为每一步都长得像对的。让他把每一步译回一句白话：「除以三分之一，等于乘三」，一读就发现写成了乘三分之一，错了；「分母六和分母六，能约吗」，一读就发现两个都在下面，不能约。译回白话这个动作，比讲十遍「注意约分」管用。

落到这三页，家长可以让孩子做一件很小的事：每读一道题，先用一句自己的话把它说出来，不许用题里的原句。第 21 页那道题，孩子说成「先算出摄影小组几个人，再按摄影小组的人数算出航模小组几个人」，这句话里已经含了顺序，算式自然就出来了。第 23 页第 6 题，孩子说成「大船六趟运完的货，换小船一趟只运两吨，得跑十五趟」，说完他自己就知道该先算总吨数。翻译模型的功夫全在这句「自己的话」上。说得出来，题就通了；说不出来，算式就是猜的。

📝 四、核心概念与公式

知识点一 · 「是……的几分之几」就是乘，单位 1 在「的」字后面

「摄影小组的人数是气象小组的 ¹⁄₃」，这句里有一个「的」字。「的」字后面那个人，就是这一句里的单位 1，也就是被分的那一整份。把整份找出来，式子就固定成「整份 × 几分之几 ＝ 那部分」。第 21 页第一句的单位 1 是气象小组的 12 人，所以 12×¹⁄₃＝4（人）。第二句「航模小组的人数是摄影小组的 ³⁄₄」，单位 1 换成了摄影小组的 4 人，所以是 4׳⁄₄＝3（人）。两句都用「乘」，单位 1 却不是同一个数，这是本节最要紧的一条。

知识点二 · 连着两次乘，可以写成一串，也可以先算括号里的两个分数

12×¹⁄₃׳⁄₄ 这种写法，三个数相乘，从左往右算：先 12×¹⁄₃＝4，再 4׳⁄₄＝3。教材里笑笑用的是另一种：先把两个分数乘起来，¹⁄₃׳⁄₄＝¹⁄₄，再 12×¹⁄₄＝3。第一种算出的是中间那个小组的人数，第二步有实际意思；第二种算出的是「航模小组是气象小组的几分之几」，一步到位。两式相等，依据是乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个还是先乘后两个，结果一样。孩子能说出「¹⁄₄ 就是航模小组占气象小组的份数」，才算真懂笑笑的做法。

知识点三 · 分数混合运算的顺序，跟整数一样

第 22 页那句提示语说得很直：「分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序一样。」只有两条。一条是同级的乘除，从左往右依次算；另一条是有括号的，先把括号里面算完。像 ⁴⁄₇×（⁵⁄₈÷⁵⁄₁₄），括号里必须先算，算出 ⁷⁄₄，再乘外面的 ⁴⁄₇，得 1；要是从左边先乘，⁴⁄₇×⁵⁄₈＝⁵⁄₁₄，再除 ⁵⁄₁₄ 也能得 1，这道题两条路碰巧同答，换一道题就崩了。顺序不能靠碰巧。

知识点四 · 除以一个数，等于乘这个数的倒数

倒数就是分子分母换位置。³⁄₈ 的倒数是 ⁸⁄₃，5 的倒数是 ¹⁄₅，¹⁄₃ 的倒数是 3——整数也有倒数，写成一分之几的样子就看见了。第 22 页那三组判断题，两个错都出在这一步：第一组把「÷¹⁄₃」写成「×¹⁄₃」，倒数没取；第三组倒数取对了，后面约分时把两个分母乱约。改的办法只有一个：除号一变乘号，马上把后面那个数的分子分母倒过来写，写在旁边，改完再看一眼。

知识点五 · 分数应用题三步走：定单位 1、画线段、定顺序

第一步定单位 1：把每句「是……的几分之几」里「的」字后面那个人圈出来，一句一句圈，别合起来圈。第二步画线段：单位 1 那条画最长，下面每一条都是从上面那条里截一段，左端对齐，截下来的比例写在括号旁。第三步定顺序：图里最上面那条是已知数，往下一条一条推，先算靠上的，后算靠下的。三步做完，列式只是把图抄成数字。第 22 页练一练第 1 题、第 2 题那两个图、第 23 页第 4、5、7 题，全照这三步走。

本节公式与常用算式

第 21 页：12×¹⁄₃＝4（人）；4׳⁄₄＝3（人）；12×¹⁄₃׳⁄₄＝3（人）；12×（¹⁄₃׳⁄₄）＝12×¹⁄₄＝3（人）。第 22 页试一试：12÷⁴⁄₅÷³⁄₈＝12×⁵⁄₄×⁸⁄₃＝40；³⁄₈÷¹⁄₁₀×⁵⁄₇＝³⁄₈×10×⁵⁄₇＝⁷⁵⁄₂₈；⁴⁄₇×（⁵⁄₈÷⁵⁄₁₄）＝⁴⁄₇×⁷⁄₄＝1。三组判断：⁷⁄₈׳⁄₄÷¹⁄₃＝⁶³⁄₃₂（书上 ⁷⁄₃₂ 错）；²⁄₃÷²⁄₃÷³⁄₈＝⁸⁄₃（对）；⁵⁄₆×¹⁄₆÷³⁄₄＝⁵⁄₂₇（书上 ²⁰⁄₃ 错）。练一练：120׳⁄₅ײ⁄₃＝48（人）；10×⁴⁄₅×⁵⁄₈＝5（吨）；36׳⁄₄ײ⁄₃＝18（个）。第 23 页：660ײ⁄₃×¹⁄₄＝110（个）；820×¹⁄₄×⁸⁄₅＝328（页）；5×6＝30（吨），30÷（5ײ⁄₅）＝15（次）；3׳⁄₅＝⁹⁄₅（L），⁹⁄₅÷¹⁄₅＝9（杯）。

📜 五、教材原文

教材原文

略

为尊重教材版权、避免与原文大比例重复，第 21 页三个小组的情境图与两道括线题、第 22 页试一试的三道算式与三组判断对错的脱式、练一练第 1 题与第 2 题的两个线段图、第 23 页第 3 题的六道小题与第 4 至 7 题的四道应用题，一律不抄原文，只写题干要点。三页的栏目结构、每道题的题干、每个小题的编号，见第八节「教材内容逐点拆解」；五个知识点的说法与本节全部算式、每个结果，见第四节「核心概念与公式」。

🧩 六、重点难点分析

难点一 · 两句「是……的几分之几」，单位 1 换了人

第 21 页两句话句式一模一样，都是「……是……的几分之几」，孩子读起来顺口，脑子里的处理方式也是一样的：看到分数就乘前面的整数。第一句乘 12 没错，第二句也乘 12 就错了。错在孩子没有分辨「的」字后面站的是谁。让他把第二句里的「摄影小组」四个字用笔框起来，在旁边写一个小字「1」，这个动作一做，他立刻发现这一句的 1 不是 12，是刚刚算出来的 4。破法就是这一框：一句一框，框完再列式，两句话不能合起来框。第 23 页第 4 题「其中约 ²⁄₃ 的城市供水不足」「在这些供水不足的城市中，又约有 ¹⁄₄ 的……」是同一个结构，框错一次，660 就要被乘两次 ²⁄₃ 与 ¹⁄₄ 混着算。

难点二 · 图怎么画：左端对齐，一段一段截

第 21 页第二问要求画图表示三个小组的人数关系，教材给的线段图有个硬规矩：三条线的左端要齐。左端一齐，长短才能比出来。孩子常犯三种错：三条线各画一头，谁也看不出关系；把摄影小组画得比气象小组还长，因为「4 个人听起来也不少」；把 ¹⁄₃ 和 ³⁄₄ 都画成一样的一小段。正确的画法是先画最长那条标 12 人，再把它平均分成三份取一份标 ¹⁄₃，得摄影小组；然后把摄影小组这段再平均分成四份取三份标 ³⁄₄，得航模小组。末了那条只有第一条的四分之一长，图上看得见，孩子心里也就有数了。

难点三 · 先算什么、再算什么

第 21 页的例子，必须先算摄影小组，再算航模小组，因为没有摄影小组的人数，航模小组无从算起。这条顺序不是规定，是依赖：后一步要用前一步的结果。孩子容易在两种地方乱：一种是跳过中间量，直接 12׳⁄₄；另一种是两步都从 12 出发，把两个分数各自乘 12 再相减。破法是让他指着图说一句话：「我这一步算的是哪一条线？」说不出来，说明这一步没有着落。第 23 页第 6 题同样：先求总吨数 5×6＝30，再求小船一次运 2 吨，末了 30÷2＝15 次；也可以反过来 6÷²⁄₅＝15 次，两条路都通，前提是每一步都知道自己在算哪一件东西。

难点四 · 除号变乘号，那个数要倒过来

第 22 页第一组错题就是这个：⁷⁄₈׳⁄₄÷¹⁄₃，第二行写成 ⁷⁄₈׳⁄₄×¹⁄₃，除号改了乘号，数没倒过来。孩子改这一行时眼睛盯着除号，手已经把后面的分数抄上去了，抄的是原样。¹⁄₃ 的倒数是 3，不是 ¹⁄₃；这里最容易错，因为 ¹⁄₃ 倒过来写成 3，看着像「少写了一个分母」，孩子不敢写。破法是把倒数单独写一行，先写「÷¹⁄₃＝×3」，再往下算；写成 3 之后回代检查：除以三分之一，结果应该变大三倍，²¹⁄₃₂ 变成 ⁶³⁄₃₂，变大，对了。

难点五 · 约分只能上面跟下面约

第 22 页第三组：⁵⁄₆×¹⁄₆×⁴⁄₃，书上得 ²⁰⁄₃，正确答案是 ⁵⁄₂₇。错在把两个 6 当成一对约掉了——两个 6 都在分母上，约掉等于凭空把分母变小，数就变大了十倍。孩子对「约分」这两个字的印象是「看见相同的数就划掉」，不看位置。破法是把三个分数写成一条长分数线：分子 5×1×4，分母 6×6×3，然后只做上下斜线约分，横着的一律不动。真算一遍：分子 20，分母 108，约去 4，得 ⁵⁄₂₇。估一下也能发现：三个真分数相乘，结果一定比最小的那个还小，⁵⁄₂₇ 小于 ¹⁄₆，合理；²⁰⁄₃ 是六还多，明显不对。

难点六 · 括号里的先算，括号外面的后乘

带括号的题，孩子不是不知道「先算括号」，是算着算着忘了括号还在。第 22 页试一试第三题 ⁴⁄₇×（⁵⁄₈÷⁵⁄₁₄），括号里要先把除以 ⁵⁄₁₄ 换成乘 ¹⁴⁄₅，⁵⁄₈×¹⁴⁄₅＝⁷⁄₄，再乘 ⁴⁄₇ 得 1。有人图快，把括号一撕，三项一起排成 ⁴⁄₇×⁵⁄₈×¹⁴⁄₅，这道题碰巧还是 1，孩子以为方法对，下一题 12÷（³⁄₄÷¹⁄₅）照这么撕，12÷³⁄₄÷¹⁄₅ 得 ¹⁴⁴⁄₁₅，与正确答案 ¹⁶⁄₅ 差得远。破法是拿笔把括号圈住，括号里的算完，在括号上方写结果，括号先别擦，写完再擦。第 23 页第 3 题的（3）（4）（5）三个小题都带括号，正是练这个动作的地方。

❓ 七、常考易考题与易错题

题型一 · 连着两个「是……的几分之几」，求第三个量

例题：气象小组 12 人，摄影小组是气象小组的 ¹⁄₃，航模小组是摄影小组的 ³⁄₄，航模小组几人？答：12×¹⁄₃׳⁄₄＝3（人）。易错：写成 12×¹⁄₃＝4、12׳⁄₄＝9，答 9 人。错因：第二句的单位 1 已经不是 12，孩子把两句合成一句。纠法：每句圈出「的」字后面那个人，圈完再列式；算完看一眼图，航模那条线段最短，9 人比摄影小组 4 人还多，图上一眼就不对。

题型二 · 把两个分数先乘起来，一次乘完

例题：同上题，要求用笑笑的方法算。答：¹⁄₃׳⁄₄＝¹⁄₄，12×¹⁄₄＝3（人）。易错：算出 12×¹⁄₄＝3，却说不出 ¹⁄₄ 是什么意思；或者把两个分数相乘时忘了约分，写成 12׳⁄₁₂ 再算，能算对但绕。错因：只会算不会说，算式成立的理由不清楚。纠法：让孩子用一句话解释 ¹⁄₄：「航模小组的人数是气象小组的四分之一」，说出来这一问就通了。第 23 页第 4、5 题都能用这个法子一步到位。

题型三 · 连乘连除，同级从左往右

例题：12÷⁴⁄₅÷³⁄₈。答：12×⁵⁄₄×⁸⁄₃＝40。易错：先把两个除数乘起来，变成 12÷（⁴⁄₅׳⁄₈）＝12÷³⁄₁₀＝40，答案碰巧一样，孩子记成「连除可以先除以后面两个的积」；换一道 12÷⁴⁄₅÷³⁄₈ 之外的题，例如 6÷¹⁄₂÷¹⁄₃，先乘后两个得 6÷¹⁄₆＝36，从左往右得 12÷¹⁄₃＝36，也巧。真正的分辨要看括号：有括号才先算。错因：把「碰巧相等」当成规律。纠法：只认两条——同级从左往右，有括号先算括号。别记别的。

题型四 · 判断改错：这一步错在哪儿

例题：⁵⁄₆×¹⁄₆÷³⁄₄，书上的过程是 ⁵⁄₆×¹⁄₆×⁴⁄₃＝²⁰⁄₃，对吗？答：不对，正确答案 ⁵⁄₂₇。倒数换对了，约分错了，两个 6 都在分母上不能约。易错：只答「不对」不指出哪一步；或者把错因说成「算错了」。错因：孩子检查时只重算一遍，不逐步核。纠法：逼他指到具体那一行，并用一句话说出原因：「这一步把两个分母约掉了」。指得出、说得出，才算会判断。

题型五 · 看图列式：从线段图上读数

例题：第 22 页练一练第 2 题的图（1）：苹果下方括号标 10 吨，香蕉上方括号标 ⁴⁄₅，西瓜下方括号标 ? 吨。答：10×⁴⁄₅×⁵⁄₈＝5（吨）。易错：把分数写在谁的上方当成「谁是多少」，写成 10×⁵⁄₈；或者三个分数都乘在 10 上。错因：没看懂括号与分数各管哪一段。纠法：规则只有一条：分数写在某条上方，就管那条与它上面那条的关系；? 在哪条，要求的就是哪条。照这条读，图上的数就变成了 10→⁴⁄₅→⁵⁄₈→?。

题型六 · 总量除以每份，够不够

例题：第 23 页第 7 题：3 瓶饮料，每瓶 ³⁄₅ L，每杯 ¹⁄₅ L，9 人每人一杯够吗？答：3׳⁄₅＝⁹⁄₅（L），⁹⁄₅÷¹⁄₅＝9（杯），正好够。易错：拿 3÷¹⁄₅＝15，忘了每瓶不到 1 L；或者只算 ³⁄₅÷¹⁄₅＝3 杯，漏了瓶数。错因：总量没先算出来就动手除。纠法：这类题先写一行「一共多少」，再写一行「能分几份」，两行不许合。算完比一比：9 杯对 9 人，够。

题型七 · 运货、做工：几次才能完

例题：第 23 页第 6 题：大船一次运 5 吨，小船一次运的是大船的 ²⁄₅，大船 6 次运完的货，改用小船几次运完？答：5×6＝30（吨），5ײ⁄₅＝2（吨），30÷2＝15（次）；也可 6÷²⁄₅＝15（次）。易错：6ײ⁄₅＝¹²⁄₅，答 2 次多；或者 30÷²⁄₅＝75，把「小船运的是大船的 ²⁄₅」当成了「小船载重 ²⁄₅ 吨」。错因：单位 1 找错，把比例当成了绝对量。纠法：先问「²⁄₅ 说的是谁的 ²⁄₅」，答「大船 5 吨的 ²⁄₅」，再乘。小船一趟装得少，趟数应该变多，15 大于 6，合理。

📄 八、教材内容逐点拆解

栏目一 · 三个小组的情境（第 21 页）

这一页上半是一幅活动图：树下站着三个孩子，一人一句把条件说完。气象小组有 12 人，这是唯一的绝对数；摄影小组的人数是气象小组的 ¹⁄₃；航模小组的人数是摄影小组的 ³⁄₄。图旁边有两个小气泡，一个问「航模小组的人数与什么有关呢」，一个答「航模小组的人数是摄影小组的 ³⁄₄，可以先算出摄影小组的人数……」。这两句气泡是教材给孩子搭的梯子，把「求第三个量」拆成两步。带这一栏，先让孩子把三句话抄成三行，每行前面标一个数：12、¹⁄₃、³⁄₄，标完问一句「这三行里，哪一行是完整的数」，他能指出只有第一行。剩下两行都是「谁的几分之几」，都得先找那个「谁」。

第 21 页 第 1 问 · 航模小组有多少人？说说你是如何思考的。

题目原文要点：「航模小组有多少人？说说你是如何思考的。」考查什么：两个连续的部分与整体关系，能不能分辨两句里的单位 1 不是同一个数。思路：先找「航模小组的人数与什么有关」——与摄影小组有关，摄影小组又与气象小组有关，链条从已知的 12 人往下走。分步过程：①第一句：摄影小组是气象小组的 ¹⁄₃，单位 1 是气象小组的 12 人，12×¹⁄₃＝4（人）；②第二句：航模小组是摄影小组的 ³⁄₄，单位 1 换成了摄影小组的 4 人，4׳⁄₄＝3（人）；③答：航模小组有 3 人。易错：把两句合成一句，12׳⁄₄＝9（人）；或者第二步仍乘 12 的 ¹⁄₃，得 ⁴⁄₃。验算：画一条 12 人的长线，先截三分之一得 4 人，再从这 4 人里截四分之三得 3 人；3 人必须是全场最少的那一条，且 3＜4＜12，符合「一次比一次少」。

带这一问，重点不在答案，在「说说你是如何思考的」这半句。孩子答出 3 人很容易，讲清怎么想到的很难。让他照这个句式说：「我先看航模小组跟谁比，再想摄影小组跟谁比，从 12 人往下算两次。」说得出来，说明他看见了链条；说不出来，说明他是照例题套的，换个数就倒。家长可以立刻改一个数试他：气象小组 24 人，其余条件不变，航模小组几人？答 6 人。再改成 9 人，答 ⁹⁄₄ 人——出现分数，孩子会愣一下，正好说明这题的本质是连乘，不是整数的巧合。

第 21 页 第 2 问 · 你能画图表示航模小组与气象小组、摄影小组之间的人数关系吗？

题目原文要点：「你能画图表示航模小组与气象小组、摄影小组之间的人数关系吗？」教材给了两幅示范图：左边是三根等长的色条，从上到下依次标 ¹⁄₃、³⁄₄；右边是线段图，第一行「气象小组」整条标 12 人，第二行「摄影小组」取前者的 ¹⁄₃，第三行「航模小组」再取第二行的 ³⁄₄，末端标「? 人」。考查什么：把文字关系转成图形关系，看谁是谁的一部分。思路：三层线段，左端对齐，一层比一层短，短多少由分数的分母决定。分步过程：①画最长一条，标「气象小组 12 人」；②把它平均分三份，取一份，另起一行、左端对齐，标「摄影小组」；③把摄影小组那一段平均分四份，取三份，第三行左端对齐，末端打问号标「? 人」。易错：三行左端不对齐；把 ¹⁄₃ 与 ³⁄₄ 画成一样长；第三行画得比第二行长。验算：量一量，第二行应约是第一行的三分之一，第三行应约是第二行的四分之三，也就是第一行的四分之一。

这一问是本节最该花时间的地方。孩子画对了图，后面的算式就是抄图；画不对，算式只能靠背。带画图有个小窍门：先不写数，只画三条线，左端对齐，长短按感觉排；排完再把 12 人填到最长那条，把 ¹⁄₃ 填在第二行左端，³⁄₄ 填在第三行左端。图上的分数一律写在「从上面那条里截多少」的位置，不写在中间。还有一个反查的办法：画完让孩子用手指点第三行，说「这一条是第一条的几分之几」，答案是 ¹⁄₄。他能说出来，笑笑那一步的算式就不用另讲了。

第 21 页 第 3 问 · 请列式解决问题。

题目原文要点：「请列式解决问题。」教材给了两种写法。第一种：12×¹⁄₃׳⁄₄＝3（人）；第二种是笑笑的做法：12×（¹⁄₃׳⁄₄）＝12×¹⁄₄＝3（人）。末行留「答：________」。考查什么：连乘的两种写法与乘法结合律；能不能说清括号里 ¹⁄₄ 的意思。思路：第一种按事情发生的顺序算，先摄影后航模；第二种先把两个份额合起来，看航模占气象的几分之几。分步过程：①12×¹⁄₃＝4；②4׳⁄₄＝3；③换写法：¹⁄₃׳⁄₄，3 与 3 约去，得 ¹⁄₄；④12×¹⁄₄＝3；⑤答：航模小组有 3 人。易错：写成 12×¹⁄₃＋12׳⁄₄；括号里的两个分数不约分硬乘，得 ³⁄₁₂ 再算；答句写成「3」。验算：两条路都得 3，互相对得上；再用除法回推，3÷³⁄₄＝4，4÷¹⁄₃＝12，回到原数。

带这一问，最值得问的一句是「你能看懂笑笑的方法吗？」孩子说「能」，你别放过，追一句「那 ¹⁄₄ 是谁的 ¹⁄₄」。答「气象小组的」才对；答「摄影小组的」，说明他只跟着算，没跟着想。第二种写法的好处在这里显出来：第一步就算出了「航模占气象的份额」，一步到位，中间那个摄影小组不出现；第一种写法的好处是每一步都有实在的人在里面，孩子不容易糊。两种都让孩子写一遍，写完对着图核一遍，这一节的主干就算立住了。第 23 页第 4、5 题，正是这两种写法的延伸。

栏目二 · 试一试「请你试着做一做」（第 22 页）

第 22 页顶上绿标签「试一试」，配一句「请你试着做一做」，旁边一位老人提示：「分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序一样。」这一栏三道题都是同级运算，没有加减，考的是从左往右与除号换倒数这两件事。三道题的答案分别是 40、⁷⁵⁄₂₈、1，都不难，难在第一步改得对不对。

试一试 第 1 题 · 12÷⁴⁄₅÷³⁄₈

题目原文要点：12÷⁴⁄₅÷³⁄₈，两个除号连用，无括号。考查什么：连除从左往右，每个除号各自换成乘倒数。思路：两个除号一起换，换成 12×⁵⁄₄×⁸⁄₃，再一次性约分。分步过程：①÷⁴⁄₅ 换 ×⁵⁄₄，÷³⁄₈ 换 ×⁸⁄₃；②12 与 4 约，得 3；3 与 3 约，得 1；③剩 5×8＝40。易错：只换第一个除号，第二个照抄成 ÷³⁄₈；把 ³⁄₈ 的倒数写成 ³⁄₈ 不动；先算 12×⁵⁄₄＝15 再除，也能得 40，但中间多了小数风险。验算：12÷⁴⁄₅＝15，15÷³⁄₈＝40；再反推 40׳⁄₈＝15，15×⁴⁄₅＝12，回到 12。

带这一题，先让孩子把两个除号都用笔圈一下，圈完在下面写两个倒数：⁵⁄₄、⁸⁄₃。圈两个、写两个，这是防漏的固定动作。还要说清一件反常识的事：除以一个真分数，结果会变大。12 除以不到 1 的数，得 15，再除以 ³⁄₈，得 40，一路变大。孩子若算出比 12 小的数，不用细看就知道错了。这个「变大变小」的直觉，比验算更快。

试一试 第 2 题 · ³⁄₈÷¹⁄₁₀×⁵⁄₇

题目原文要点：³⁄₈÷¹⁄₁₀×⁵⁄₇，一除一乘，从左往右。考查什么：除与乘混在一起时，顺序按从左往右，不能先乘后除；除以 ¹⁄₁₀ 等于乘 10。思路：第一步把除号换掉，³⁄₈×10×⁵⁄₇，然后上下约分。分步过程：①³⁄₈×10＝³⁰⁄₈＝¹⁵⁄₄；②¹⁵⁄₄×⁵⁄₇＝⁷⁵⁄₂₈；也可以一次约分：10 与 8 约去 2，剩 5 与 4，得 ^3×5×5⁄_4×7＝⁷⁵⁄₂₈。易错：先算 ¹⁄₁₀×⁵⁄₇＝¹⁄₁₄，再 ³⁄₈÷¹⁄₁₄＝²¹⁄₄，结果大错；把 10 的倒数写成 ¹⁰⁄₁ 再乘，绕。验算：⁷⁵⁄₂₈ 化成带分数是 2 又 ¹⁹⁄₂₈；原式 ³⁄₈÷¹⁄₁₀＝¹⁵⁄₄ 约 3.75，再乘 ⁵⁄₇ 约 0.714，积约 2.68，与 2 又 ¹⁹⁄₂₈ 相符。

这一题专门治「先乘后除」的毛病。孩子看见乘号就想先乘，因为乘法口诀熟。让他把式子念成一句白话：「先除以十分之一，再乘七分之五。」念的时候手不许动笔，念完再写。从左往右这条规矩，靠念句子来守，比靠记条文可靠。答案 ⁷⁵⁄₂₈ 是最简分数，28 与 75 没有公因数，孩子若写成 ¹⁵⁰⁄₅₆，说明约分没做完，让他除一下公因数 2。

试一试 第 3 题 · ⁴⁄₇×（⁵⁄₈÷⁵⁄₁₄）

题目原文要点：⁴⁄₇×（⁵⁄₈÷⁵⁄₁₄），带括号。考查什么：有括号先算括号里面；括号里是除法，先换倒数。思路：括号里 ⁵⁄₈÷⁵⁄₁₄＝⁵⁄₈×¹⁴⁄₅，两个 5 约去，8 与 14 约去 2，得 ⁷⁄₄；再乘外面的 ⁴⁄₇，得 1。分步过程：①括号内换倒数：⁵⁄₈×¹⁴⁄₅；②约分：5 与 5 约尽，14 与 8 约 2，得 ⁷⁄₄；③⁴⁄₇×⁷⁄₄＝1。易错：把括号撕掉，写成 ⁴⁄₇×⁵⁄₈÷⁵⁄₁₄，碰巧也得 1，孩子以为方法对；括号里先乘后除，得 ²⁵⁄₁₁₂，再乘外面的 ⁴⁄₇，答错。验算：括号里 0.625÷0.357 约 1.75，乘 ⁴⁄₇（约 0.571）得 1；两个分数 ⁴⁄₇ 与 ⁷⁄₄ 互为倒数，乘积必为 1，这条路也能自查。

这一题的答案 1 太干净，容易让孩子以为「带括号的题答案都是 1」。带这一题，讲完要立刻加一道对照：⁴⁄₇×（⁵⁄₉÷⁵⁄₁₄），括号里得 ¹⁴⁄₉，乘 ⁴⁄₇ 得 ⁸⁄₉，答案不再是 1 了，一样要按顺序算。括号的作用是改顺序，不是凑整数。孩子把这一层分清，第 23 页第 3 题里的（3）（4）（5）三个带括号的小题就顺手了。

栏目三 · 「下面几道题算得对吗」（第 22 页）

这一栏三组脱式计算，写在蓝色便签上，旁边两个孩子各说一句：男孩说「注意哟！除以一个数，等于乘这个数的倒数」，女孩说「做完后可以再检查一遍」。题面问两句：算得对吗？计算时有什么好办法可以减少错误？三组的答案是一错一对再一错，不是全错，也不是全对。家长带孩子做这一栏，不要急着说答案，先让他逐行读，读完只问一句「这一步跟上一行一样吗」。

判断改错 第 1 组 · ⁷⁄₈׳⁄₄÷¹⁄₃（书上答 ⁷⁄₃₂）

题目原文要点：原式 ⁷⁄₈׳⁄₄÷¹⁄₃，第二行写成 ⁷⁄₈׳⁄₄×¹⁄₃，第三行得 ⁷⁄₃₂。考查什么：能不能看出除号改了乘号、数却没取倒数。思路：挨行比对原式与第二行，只盯着除号那个位置。分步过程：①原式 ÷¹⁄₃，¹⁄₃ 的倒数是 3，第二行应写 ×3；②书上写成 ×¹⁄₃，错；③按错的写下去，²¹⁄₃₂×¹⁄₃＝⁷⁄₃₂，与书上一致，说明错就错在这一处；④正解：⁷⁄₈׳⁄₄×3＝⁶³⁄₃₂。易错：只答「算错了」不指出哪一行；以为 ¹⁄₃ 的倒数还是 ¹⁄₃；算出 ⁶³⁄₃₂ 后不敢写，觉得分数该比 1 小。验算：除以 ¹⁄₃ 等于乘 3，结果应比 ²¹⁄₃₂ 大三倍，⁶³⁄₃₂ 约 1.97，合理。

带这一组，关键是让孩子自己发现「错在倒数」这件事，别替他指。给他一支笔，让他把原式的 ¹⁄₃ 和第二行的 ¹⁄₃ 圈起来对比，两处一模一样，他立刻明白：除号换了，数没跟着换。再让他把「÷¹⁄₃＝×3」这半句写在旁边，写出来，以后遇到 ¹⁄₂、¹⁄₅ 也照这个位置改。孩子怕写整数 3，是怕「分母不见了」；让他把 3 写成 ³⁄₁，分母就回来了，心里踏实，算的时候再省掉。

判断改错 第 2 组 · ²⁄₃÷²⁄₃÷³⁄₈（书上答 ⁸⁄₃）

题目原文要点：原式 ²⁄₃÷²⁄₃÷³⁄₈，第二行 ²⁄₃׳⁄₂×⁸⁄₃，第三行 ⁸⁄₃。考查什么：判断对错也要有依据，不能因为「书上常错」就判错。思路：两个除号各换一次倒数，前一个换成 ³⁄₂，后一个换成 ⁸⁄₃，两处都对。分步过程：①²⁄₃÷²⁄₃＝1；②1÷³⁄₈＝⁸⁄₃；③用乘倒数验一遍：²⁄₃׳⁄₂×⁸⁄₃，前两个约尽得 1，1×⁸⁄₃＝⁸⁄₃，与书上一致；④这一组算对了。易错：把这一组也判成错，理由是「看起来乱」；把 ÷³⁄₈ 的倒数写成 ³⁄₈；不验算就下结论。验算：原式前半得 1，除以真分数结果变大，⁸⁄₃ 大于 1，符合；化成带分数是 2 又 ²⁄₃。

这一组是全栏最值钱的一组。孩子做判断题有个坏习惯：三题里总想挑出两个错，见这组过程长、数字杂，就判错。带这一组要教他一个态度：对错只看每一步换得对不对，不看它长得顺不顺眼。让他把两处倒数各打一个对勾，两个勾都在，就得判对。家长可以顺手问他一句：「如果这题真的要错，最容易错在哪？」答「第二个除号的倒数」，这一问就把风险点也点出来了。

判断改错 第 3 组 · ⁵⁄₆×¹⁄₆÷³⁄₄（书上答 ²⁰⁄₃）

题目原文要点：原式 ⁵⁄₆×¹⁄₆÷³⁄₄，第二行 ⁵⁄₆×¹⁄₆×⁴⁄₃，第三行得 ²⁰⁄₃。考查什么：倒数这一步对了，约分那一步错了，看孩子能不能分开判断。思路：先把三个分数乘成一条长分数，再上下约，不许横着约。分步过程：①÷³⁄₄ 换 ×⁴⁄₃，这一行没错；②写成 ^5×1×4⁄_6×6×3；③分子 20，分母 108；④20 与 108 约去 4，得 ⁵⁄₂₇；⑤书上 ²⁰⁄₃ 错在把两个分母 6 约掉了，分母只剩 3。易错：看不出错在哪一行，只说答案不对；约分时两个 6 划掉；把 ²⁰⁄₃ 化成 6 又 ²⁄₃ 后觉得「差不多」，放过。验算：写成一条长分数后，分子 20 小于分母 108，积必定小于 1；书上 ²⁰⁄₃ 大于 1，一眼就能否掉。⁵⁄₂₇ 约 0.19，与 ⁵⁄₆×¹⁄₆＝⁵⁄₃₆ 再乘 ⁴⁄₃ 的量级对得上。

这一组要教的是「约分的位置」。孩子的眼睛看到两个 6 就手痒，跟看到两个 5 一样。让他把乘法写成一条长分数线，分子在上、分母在下，约分的斜线只许画成上下方向，画成横的一律擦掉。再补一句判断：一个小于 1 的数乘另一个小于 1 的数，积更小，⁵⁄₆×¹⁄₆ 已经很小，再乘 ⁴⁄₃（略大于 1）也不会突然变大到 6 以上。²⁰⁄₃ 这种答案，用眼睛就能否掉。

栏目四 · 练一练（第 22 页）

练一练两题。第 1 题全是汉字与分数，考翻译；第 2 题全是图，考读图。两题一起做，正好把「文字译成图、图译成算式」这一来一回走完。

练一练 第 1 题（1）· 画图表示科技组与美术组、合唱组之间的人数关系

题目原文要点：「实验小学合唱组有 120 人，美术组的人数是合唱组的 ³⁄₅，科技组的人数是美术组的 ²⁄₃。」第（1）小题要求画图表示三组之间的人数关系。考查什么：把两句文字译成三层线段，左端对齐，逐层截取。思路：与第 21 页的图一模一样的画法，只是分数换成了 ³⁄₅ 与 ²⁄₃。分步过程：①画最长一条标「合唱组 120 人」；②平均分五份取三份，左端对齐另起一行标「美术组」，旁注 ³⁄₅；③把美术组那段平均分三份取两份，第三行标「科技组」，旁注 ²⁄₃，末端打问号。易错：三层左端不对齐；把 ³⁄₅ 写在美术组的中段而不是左端；科技组画得比美术组长。验算：看图估算，美术组约占合唱组的六成，科技组约占美术组的三分之二，也就是合唱组的 ²⁄₅，图上第三行应略短于第一行的一半。

这一小题不要求算，只要求画，很多孩子跳过不画直接算，算完再补一张图应付。让他先画、后算，两种顺序的效果差很远：先画的孩子算完会用图核对，先算的孩子算完就交。画图这一问，考的不是美术，是把「谁是谁的几分之几」摆到明处。画的时候让他把两句话抄在线段下面，一句对一行，抄完他自己会看见两个「的」字后面不是同一个人。

练一练 第 1 题（2）· 算一算科技组有多少人

题目原文要点：「算一算科技组有多少人。」考查什么：连乘两步，单位 1 换一次。思路：先美术组，后科技组；也可以先合两个分数再一次乘。分步过程：①美术组：120׳⁄₅＝72（人）；②科技组：72ײ⁄₃＝48（人）；③合写：120׳⁄₅ײ⁄₃＝48（人）；④另一种：³⁄₅ײ⁄₃＝²⁄₅，120ײ⁄₅＝48（人）；⑤答：科技组有 48 人。易错：120ײ⁄₃＝80，把第二句的单位 1 当成合唱组；只算到 72 就收笔；答句漏单位「人」。验算：48÷²⁄₃＝72，72÷³⁄₅＝120，两步回推都对；48 人少于 72 人少于 120 人，与图一致。

这一小题与第 21 页那道题同构，差别只在数字。孩子若在这题上还错，说明第 21 页没通，得退回去重画一次图。带的时候可以问一句「48 人是合唱组的几分之几」，答 ²⁄₅；这一问把笑笑的写法也复习了。同一道题问三个层次：先算谁、结果是多少、这个结果是第一个数的几分之几，三层都答得出，才算把连乘吃透。

练一练 第 2 题（1）· 看图列式计算（苹果 10 吨）

题目原文要点：图上是三条横条，从上到下写着苹果、香蕉、西瓜。苹果条下的括号标「10 吨」，香蕉条上的括号标 ⁴⁄₅，西瓜条下的括号标「? 吨」。考查什么：从图上读出两次「是上面那条的几分之几」，再列连乘。思路：分数标在谁的上面，就管谁与它上面那条的关系；问号在哪条，就求哪条。分步过程：①香蕉是苹果的 ⁴⁄₅：10×⁴⁄₅＝8（吨）；②西瓜是香蕉的 ⁵⁄₈：8×⁵⁄₈＝5（吨）；③合写：10×⁴⁄₅×⁵⁄₈＝5（吨）；④答：西瓜重 5 吨。易错：10×⁵⁄₈＝²⁵⁄₄，把西瓜直接当成苹果的 ⁵⁄₈；两个分数都乘在 10 上再相加；答句写「5」不带单位。验算：5÷⁵⁄₈＝8，8÷⁴⁄₅＝10，回到苹果的 10 吨；图上西瓜条最短，5 吨小于 8 吨小于 10 吨，对得上。

带这一图，先不让孩子写算式，只让他用手指从上往下点三次，每点一次说一句「它是上面那个的几分之几」。三句说完，算式自己出来。图里的分数位置是有讲究的：标在两条之间的分数，管的是下面那条。孩子搞不清这一点，就会把 ⁴⁄₅ 与 ⁵⁄₈ 一起乘在 10 上，虽然偶尔碰对，图的用处就白费了。

练一练 第 2 题（2）· 看图列式计算（排球 36 个）

题目原文要点：三条横条，从上到下写着排球、足球、篮球。排球条下的括号标「36 个」，足球条上的括号标 ³⁄₄，篮球条下的括号标「? 个」；篮球条与足球条按刻度对齐，长度是足球条的三分之二。考查什么：同上一图，数字换成个数，第二层分数要靠着刻度读出来。思路：足球＝36׳⁄₄，篮球＝足球ײ⁄₃。分步过程：①足球：36׳⁄₄＝27（个）；②篮球：27ײ⁄₃＝18（个）；③合写：36׳⁄₄ײ⁄₃＝18（个）；④答：篮球有 18 个。易错：36ײ⁄₃＝24，把篮球当成排球的 ²⁄₃；只算到 27 个；把 ³⁄₄ 与 ²⁄₃ 都乘 36 再加。验算：18÷²⁄₃＝27，27÷³⁄₄＝36，两步回推对上；三条线长短是 36＞27＞18，图上最短那条打问号，与答案一致。

这一图的第二层分数没印在字面上，要靠刻度读。带的时候不妨让孩子自己量：拿尺子量足球条几厘米、篮球条几厘米，除一除，看看是不是三分之二。量一遍，孩子就明白图上的长短不是随便画的，是照着分数画的。这一步做过一次，以后遇到没印分数的图，他也知道去看刻度。

栏目五 · 第 23 页第 3 题（六道计算）

第 23 页的题接着练，第 3 题六道小题排在一个浅蓝框里，两行三列，全是乘除混合。这一栏不考应用题，只考手上的功夫：先看顺序，再看括号，除号一律换倒数，约分只上下约。六道的答案依次是 ³⁄₂、³⁄₂、20、8、¹⁶⁄₅、³⁄₈，前两道同答，容易让孩子以为是巧合，其实两道各走各的路。

第 3 题（1）· ⁹⁄₁₀×⁵⁄₆÷¹⁄₂

题目原文要点：⁹⁄₁₀×⁵⁄₆÷¹⁄₂，无括号，同级从左往右。考查什么：乘除混排的顺序与两次约分。思路：先把 ÷¹⁄₂ 换成 ×2，三个数一次排开再约。分步过程：①⁹⁄₁₀×⁵⁄₆，9 与 6 约去 3，得 ³⁄₁₀ 与 ⁵⁄₂；5 与 10 约去 5，得 ³⁄₂ 与 ¹⁄₂，乘积 ³⁄₄；②³⁄₄×2＝³⁄₂。易错：先算 ⁵⁄₆÷¹⁄₂ 再乘，虽得同一答案，习惯不好；把 ×2 写成 ×¹⁄₂。验算：³⁄₂×¹⁄₂＝³⁄₄，³⁄₄÷⁵⁄₆＝⁹⁄₁₀，回到原式第一个数。

第 3 题（2）· ⁵⁄₉׳⁄₅×⁹⁄₂

题目原文要点：⁵⁄₉׳⁄₅×⁹⁄₂，三个分数连乘，无括号。考查什么：连乘时把分子分母一次约干净，别一步一停。思路：分子是 5×3×9，分母是 9×5×2，5 与 5 约、9 与 9 约，只剩 ³⁄₂。分步过程：①写成 ^5×3×9⁄_9×5×2；②5 与 5 约尽，9 与 9 约尽；③剩 ³⁄₂。易错：一步步算，⁵⁄₉׳⁄₅ 约成 ¹⁄₃ 后忘乘第三个数；先乘前两个得 ¹⁄₃，再乘 ⁹⁄₂ 时把 3 与 9 约成 1 与 3，得 ³⁄₂，也可以，但容易丢。验算：³⁄₂÷⁹⁄₂＝¹⁄₃，¹⁄₃÷³⁄₅＝⁵⁄₉，对得上。

第 3 题（3）· 2÷（²⁄₅×¹⁄₄）

题目原文要点：2÷（²⁄₅×¹⁄₄），括号外是除号，括号里是乘。考查什么：先算括号，括号算出的分数再当除数，取它的倒数。思路：括号里 ²⁄₅×¹⁄₄＝¹⁄₁₀，2÷¹⁄₁₀＝2×10。分步过程：①括号内：2 与 4 约去 2，得 ¹⁄₁₀；②2÷¹⁄₁₀ 换 2×10；③得 20。易错：把括号拆开写成 2÷²⁄₅×¹⁄₄，得 ¹⁄₅，与 20 差百倍；忘记 ¹⁄₁₀ 的倒数是 10。验算：20×¹⁄₁₀＝2，回到被除数；除以一个很小的数，商变大，20 远大于 2，方向对。

第 3 题（4）· ⁴⁄₇×（1÷¹⁄₁₄）

题目原文要点：⁴⁄₇×（1÷¹⁄₁₄），括号里 1 除以一个真分数。考查什么：整数 1 当被除数，1÷¹⁄₁₄＝14，这一步很多孩子算成 ¹⁄₁₄。思路：1 除以几分之一，等于那个分数的分母。分步过程：①括号内：1÷¹⁄₁₄＝1×14＝14；②⁴⁄₇×14，14 与 7 约去 7，得 4×2＝8。易错：1÷¹⁄₁₄ 写成 ¹⁄₁₄；把 1 当成 1 个整体硬约；算出 8 后不敢信，觉得分数题答案不该是整数。验算：8÷14＝⁴⁄₇，8÷⁴⁄₇＝14，两条都通。

第 3 题（5）· 12÷（³⁄₄÷¹⁄₅）

题目原文要点：12÷（³⁄₄÷¹⁄₅），括号里两个分数相除。考查什么：括号里也要换倒数，换完再算，算完再取一次倒数当除数。思路：³⁄₄÷¹⁄₅＝³⁄₄×5＝¹⁵⁄₄；12÷¹⁵⁄₄＝12×⁴⁄₁₅。分步过程：①括号内换倒数：³⁄₄×5＝¹⁵⁄₄；②12÷¹⁵⁄₄＝12×⁴⁄₁₅；③12 与 15 约去 3，得 4 与 5，结果 ¹⁶⁄₅。易错：括号撕掉，12÷³⁄₄÷¹⁄₅＝¹⁴⁴⁄₁₅，答 ⁴⁸⁄₅；括号算完忘了再换倒数，直接 12÷¹⁵⁄₄ 写成 12×¹⁵⁄₄。验算：¹⁶⁄₅×¹⁵⁄₄＝²⁴⁰⁄₂₀＝12；¹⁶⁄₅ 化成带分数是 3 又 ¹⁄₅，比 12 小很多，因为除数是 3.75，合理。

第 3 题（6）· ⁵⁄₈×6×¹⁄₁₀

题目原文要点：⁵⁄₈×6×¹⁄₁₀，整数 6 夹在中间。考查什么：整数与分数一起约分，整数 6 要看成分子。思路：写成 ^5×6×1⁄_8×10，6 与 8 约去 2，5 与 10 约去 5。分步过程：①^5×6×1⁄_8×10；②6 与 8 约去 2，得 3 与 4；5 与 10 约去 5，得 1 与 2；③^1×3×1⁄_4×2＝³⁄₈。易错：把 6 与 ⁵⁄₈ 的 5 约，位置错；先算 ⁵⁄₈×6＝³⁰⁄₈＝¹⁵⁄₄，再乘 ¹⁄₁₀ 得 ¹⁵⁄₄₀，约成 ³⁄₈，也对，但中间数大。验算：³⁄₈÷¹⁄₁₀＝³⁰⁄₈＝¹⁵⁄₄，¹⁵⁄₄÷6＝⁵⁄₈，回到原式。

六道小题，带的时候不必全做，挑三道就够：一道连除（第（1））、一道整数被除（第（4））、一道整数夹在乘数里（第（6））。这三道分别对应三种手病：除号不换倒数、1 除以分数算反、整数不与分母约。三道都过，另外三道基本不会错。做完让孩子自己在题号旁打勾，勾错了自己找，比家长指着改有效。

第 4 题 · 全国严重缺水的城市大约有多少个

题目原文要点：「我国约有 660 个城市，其中约 ²⁄₃ 的城市供水不足。在这些供水不足的城市中，又约有 ¹⁄₄ 的城市严重缺水。全国严重缺水的城市大约有多少个？」考查什么：两句连续的部分与整体，单位 1 从全国城市换成供水不足的城市。思路：先算供水不足的城市有几个，再算其中有几个严重缺水。分步过程：①660ײ⁄₃＝440（个）；②440×¹⁄₄＝110（个）；③合写：660ײ⁄₃×¹⁄₄＝110（个）；④答：全国严重缺水的城市大约有 110 个。易错：660×¹⁄₄＝165，把第二句的单位 1 当成 660；两句相加 660ײ⁄₃＋660×¹⁄₄；答句丢掉「大约」。验算：110÷¹⁄₄＝440，440÷²⁄₃＝660；110 小于 440 小于 660，逐层变小，合理。

这道题的「在这些供水不足的城市中」八个字，是全题的关键。孩子读题爱跳字，一跳就把单位 1 读丢了。让他把这八个字用波浪线画出来，在旁边写一句「换尺子了」。「其中」「在这些……中」「又」这类词，都是换单位 1 的信号。本节出现的所有应用题，只要看见这类词，就重新问一遍「现在是拿谁当一整份」。

第 5 题 · 第二周看了多少页

题目原文要点：「一本故事书有 820 页，第一周看了全书的 ¹⁄₄，第二周看的是第一周的 ⁸⁄₅，第二周看了多少页？」考查什么：第二句的几分之几大于 1，孩子会怀疑自己算错。思路：820 的 ¹⁄₄ 是第一周，第一周的 ⁸⁄₅ 是第二周，第二周比第一周多。分步过程：①第一周：820×¹⁄₄＝205（页）；②第二周：205×⁸⁄₅，205 与 5 约去 5 得 41，41×8＝328（页）；③合写：820×¹⁄₄×⁸⁄₅＝328（页）；④答：第二周看了 328 页。易错：820×⁸⁄₅＝1312，超过全书页数；把 ⁸⁄₅ 当成小于 1 而缩小；算出 328 后因为「比第一周多」而改小。验算：328÷⁸⁄₅＝205，205÷¹⁄₄＝820；两周合看 205＋328＝533 页，没超过 820，合理。

这道题专门治一个错觉：孩子以为「几分之几」一定小于 1，乘完一定变小。⁸⁄₅ 大于 1，乘完变大，第二周比第一周多看了 123 页。带的时候加一句：「⁸⁄₅ 是八份里的五份吗？」孩子会答「不是，是五份里的八份」，这一答就把大于 1 的意思说清了。分数不一定是真分数，这是本节唯一一道明着破这条错觉的题。

第 6 题 · 改用小船运，几次才能运完

题目原文要点：「有两只船，大船一次可以运载 5 吨货物，小船一次运载的货物量是大船的 ²⁄₅。大船 6 次运完的货物，如果改用小船运，几次才能运完？」考查什么：先求总量、再求每份、末了用除法求份数；也可以直接用次数的倍数关系。思路：总货 5×6＝30 吨，小船一次装 5ײ⁄₅＝2 吨，30÷2＝15 次。分步过程：①总量：5×6＝30（吨）；②小船一次：5ײ⁄₅＝2（吨）；③次数：30÷2＝15（次）；④另一条路：小船一趟是大船的 ²⁄₅，趟数就是大船的 ⁵⁄₂ 倍，6×⁵⁄₂＝15（次）；⑤答：小船 15 次才能运完。易错：6ײ⁄₅＝¹²⁄₅，答 2 次多；30÷²⁄₅＝75，把 ²⁄₅ 当成了吨数；算出 15 次后觉得「太多了」而改成 3 次。验算：15×2＝30 吨，与 5×6 相等；小船装得少，趟数必然多，15 大于 6，方向对。

这道题两条路都值得走一遍。第一条路算吨数，踏实，每一步都有单位；第二条路比倍数，快，一趟装 ²⁄₅，趟数就乘 ⁵⁄₂，6 变 15。第二条路孩子容易懂反，把趟数也乘 ²⁄₅。带的时候用一句话把方向扳正：装得少，跑的趟数就多，所以乘的是倒过来的那个分数。这句话与第 22 页「除以一个数等于乘它的倒数」是同一件事，题目换了件衣服。

第 7 题 · 每人一杯，够吗

题目原文要点：客厅里一群孩子分饮料。气泡一：「有 3 瓶饮料，每瓶 ³⁄₅ L。」气泡二：「每杯 ¹⁄₅ L。」气泡三：「每人一杯，够吗？」图中沙发上坐 8 人，右侧站 1 人，茶几上画了 9 只杯子。考查什么：先求总量、再按份数分，末了做一次比较判断。思路：总量 3׳⁄₅＝⁹⁄₅ L，一杯 ¹⁄₅ L，能倒几杯就看 ⁹⁄₅ 里有几个 ¹⁄₅。分步过程：①总量：3׳⁄₅＝⁹⁄₅（L）；②杯数：⁹⁄₅÷¹⁄₅＝⁹⁄₅×5＝9（杯）；③人数：8＋1＝9（人）；④比较：9 杯对 9 人，正好够；⑤答：每人一杯够，正好倒 9 杯。易错：3÷¹⁄₅＝15，忘了每瓶不到 1 L；只算 ³⁄₅÷¹⁄₅＝3，漏了瓶数；数人数只数沙发上 8 人，答「够，还多一杯」。验算：9×¹⁄₅＝⁹⁄₅ L，与 3 瓶总量相等；⁹⁄₅ L 是 1.8 L，一瓶 ³⁄₅ L 是 0.6 L，三瓶 1.8 L，一杯 0.2 L，1.8÷0.2＝9，对得上。

这道题最容易被孩子做成「够」或「不够」的猜。带的时候先把两件事分开：一共多少升，一杯多少升。两行写完再除，答案自己出来。「够吗」这类题，结论要带个数：够，因为能倒 9 杯，正好 9 人。只答「够」不给数，等于没答。顺便让孩子数一遍图里的人，站着的那个也算，数漏一个，结论就反了。

🛠 九、五步学习法

第一步：每天锻炼一个小时

这一节的内容不重，三页纸，五道应用题，六道计算。真正费神的地方是「读题时脑子里要一起记着两把尺子」，这种活儿很耗神。孩子的注意力有个上限，连着做四十分钟分数应用题，第二十分钟以后错的都是同一个错：单位 1 换了人，他还拿旧数去乘。每天一小时的锻炼，不是为了体格，是为了把这段注意力的续航撑住。跑一跑、跳一跳，回来再做两道题，出错率明显不一样。这一节可以拆成三次做：第 21 页一次，第 22 页一次，第 23 页一次，每次不超过二十五分钟。中间隔一次活动，比比一次做完三页效果好。锻炼与做题别挤在一个时段，运动完歇十分钟再坐下，手稳、眼稳、心也稳。

第二步：扎实掌握第一个知识点

本节第一个知识点只有一句话：「是……的几分之几」就是乘，「的」字后面那个是单位 1。这一句没吃透，第 22 页的判断题会错，第 23 页的应用题也会错，错的是同一处。扎实的意思不是背下来，是能当场用。检验的办法很简单：拿第 21 页那两句，让孩子把两个「的」字后面的人各圈一次，圈完用手指着问「这一句拿谁当一整份」，两问都答对，第一个知识点就算立住了。再往下才动第 22 页的运算顺序与倒数。倒过来做——先练一堆计算，再回头补概念——孩子会把分数题当成算术，遇到应用题照旧找关键词，白练。第一个知识点值得花一整段时间，宁可这一节只做第 21 页，也别三页一起糊过去。

第三步：能积微者速成

积微，就是把大块的东西切成小块，一天啃一点。这三页可以切成五块：第 21 页的情境与画图、第 21 页的两种列式、第 22 页试一试三道、第 22 页三组判断改错、第 23 页的应用题。一天一块，五天走完，每天十五分钟。切小块的好处在于每一步都能查。今天只做「画图」这一块，画完对着第 21 页的图比一比，三条线左端齐不齐、长短对不对，一句话就能判。要是五块挤在一天，画歪了也没时间改，错了就过去了。分数这块知识，错一次不改，下次还错，因为孩子记住的是错的画法。积微还有一层意思：把易错的小动作单独拎出来练。比如「除号换乘号时把后面的数倒过来写」，每天写五遍，写一周，手就顺了。这种小动作不占时间，攒起来管用。

第四步：运用对标思维突破学习困境

对标，就是找一件已经做对的事，拿它跟眼前这件做错的事比。这一节最好用的对标物，是第 21 页那道已经算对的题。孩子在第 22 页练一练第 1 题上错了，别急着讲新方法，让他把第 21 页的题重做一遍，做对了，再把两题并排放着看：一样的结构，一样的两次乘，差别只在数字与「的单位 1 是谁」。看清这一点，他自己会说「我第二句乘错了人」。对标还能用在计算上：第 22 页那三组判断，第二组是对的，第一组和第三组是错的，三组并排，对的那组就是标尺。让孩子拿第二组去量第一组，量出的差别是「除号换了、数没换」；拿第二组去量第三组，量出的差别是「约分约错了位置」。同一页纸上就有对的样例，不必另找材料。

第五步：运用杠铃法则缓解学习疲劳

杠铃法则说的是两头重、中间轻：难的集中做一小段，容易的集中做一小段，中间留出松的时间。这一节可以这么排：先做十分钟最难的，第 23 页第 6 题那种要转两道弯的应用题；再做五分钟最容易的，第 23 页第 3 题里（2）（4）（6）那种一步约分就完的计算；中间那段时间让孩子把第 21 页的图重画一遍，画图不算难，也不算闲，正好缓一缓。这样的排法，比从易到难一路推上去省力，因为最难的放在开头，脑子最清楚；最容易的放在后面，收个尾，孩子有成就感。反过来排——先做十道简单计算，再攻应用题——孩子做到应用题时手已经酸了，脑子也木了，错得莫名其妙。杠铃法则不是偷懒的借口，是把力气用在刀刃上：难点集中攻，易点集中收，中间那段松的，反而是记牢的时候。

💡 十、费曼技巧应用

自问一 · 第 21 页那两句话，单位 1 各是谁？

能一口答出「第一句是气象小组的 12 人，第二句是摄影小组的 4 人」，说明孩子分辨得出两把尺子。参考答案就这两句，一个字都不用多。答不出、或者答成「都是 12 人」，说明他只记住了句式，没记住人。这时候别讲道理，让他把第 21 页第 2 问的图画一遍，画到第三行时问「这一行是从哪一行截下来的」，手会带他答对。

自问二 · 笑笑那个 ¹⁄₄ 是什么意思？

答「航模小组的人数是气象小组的四分之一」，说明他懂了两步合成一步的道理。这个 ¹⁄₄ 不是随便约出来的数，它是两个份额相乘的结果，代表末了一个小组占最上面那个小组多少。答成「四个小组里的一份」「平均分成四份」，说明他把份额当成了人数。破法是回到图上点一点：第三行整条是第一行的四分之一，一条线的事，指一下就明白。

自问三 · 为什么除以一个数要乘它的倒数？

能说出「除以 ³⁄₈ 就是问 ³⁄₈ 的几倍，一个数里有多少个 ³⁄₈，就是乘 ⁸⁄₃」，说明他懂意思。答「老师说的」「书上就这么写」，说明只记了条文。破法用第 23 页第 6 题：小船一趟装 ²⁄₅，大船的趟数乘 ⁵⁄₂ 才得小船趟数，装得少、跑得多，倒数就是「翻过来看」。

自问四 · 第 22 页第三组错在哪一步？

答「错在把两个分母 6 约掉了，正确答案 ⁵⁄₂₇」，说明他能定位错误。只答「算错了」「答案不对」，说明他只会比对结果，不会看过程。这一问最见功夫，因为书上的过程看着很像对的。破法让他把三个分数摆成一条长分数线，分子一行、分母一行，摆完自己就看见两个 6 都在下面。

自问五 · 第 23 页第 7 题，凭什么说够？

答「三瓶一共 ⁹⁄₅ L，一杯 ¹⁄₅ L，能倒 9 杯，正好 9 个人」，说明他会先算总量再分份，还会数人数。答「差不多够」「看瓶子大小」，说明他没把题当数学题做。破法是让他写两行：一行「一共多少升」，一行「能倒几杯」，写完再回答够不够。这两行写惯了，以后的分装题都能照这个骨架走。

🎯 十一、方法总结与知识脉络

这一节一句话说得完：一句话里的「的」字后面是谁，就拿谁当一整份，乘那个分数；两句连着说，就乘两次，单位 1 换两次。第 21 页的气象、摄影、航模三个小组，是这句话最干净的样例；第 22 页那三道算式与三组判断，是这句话在计算上的样子；第 23 页那几道应用题，是这句话穿上生活的外衣。

往前往后看，这条线是连着的。前面学过「求一个数的几分之几是多少」，用乘法一次；这一节把一次变成两次、三次，把乘变成一个链条。往后第 9 篇「分数混合运算（二）」要反过来用：已知末了的结果，倒着求最上面的整体，那时候除法登场，「谁是单位 1」这个问题会变得更难，因为单位 1 藏在问号里。再往后学比与比例、百分数，用的还是同一件事。所以这三页不能只当成几道题做过去，它是后面所有分数应用题的骨架。

给家长一句实在话：这三页纸，别急着让孩子算得快。算得快不难，难的是算之前那一句「现在是拿谁当一整份」。孩子每题都能答出这一句，慢一点没关系，到了六年级下学期学百分数与比例，他会自己快起来；答不出这一句，算得再快，题型一变就倒。分数这一章，赢在图上，输也在图上。

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