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2024 年中考押题预测卷【湖南卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（共30分，每题3分）,每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1． 的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了相反数的定义．根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【详解】解： 的相反数是2024，故选：A．
2．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图
不同的几何体．
【详解】解：A、正三棱柱的主视图是三角形，左视图是矩形，本选项符合题意；
B、圆柱的主视图与左视图都是长方形，本选项不合题意；
C、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不合题意；
D、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不合题意．故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法．根据合并同类
项法则；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，等于把积中的每
一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、 ，故此选项不符合题意；B、 ，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；D、 ，故此选项不符合题意；故选：B．
4．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2023
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与判别式 的关系，
当 ，方程无实数根； ，方程有两个相等的实数根； ，方程有
两个不相等的实数根．
根据判别式的意义得到 ，然后解关于 的不等式，最后对选项进行判断即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，∴
解得 ．∴m的值可能是0．故选：A．
5．如图，在矩形 中，对角线 相交于点O，点E，F分别是 的中点，若 ，
，则 的长度是（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．根据矩形的性质以及勾股定理，可
得 ， ，再由三角形中位线定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ，∵ ， ，
∴ ，∴ ，∵点E，F分别是 的中点，∴ ．
故选：B．
6．将一块三角板 和一把直尺按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点 和点 ，
另一边与三角板的两直角边分别交于点 和点 ，若 ，则 的大小是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形的外角的性质和平行线的性质，根据三角形的外角的性质可得： ，
再根据平行线的性质可知 ，从而得解．
【详解】解：依题意得： ， ， ，∴ ，
∴ ，故选：A．
7．某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是120元，若按进价计，其中一件盈利 ，
另一件亏本 ，则两件上衣的进价之和为（ ）
A．230元 B．240元 C．250元 D．260元
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据题意可分别设进价，由售价及盈亏情况可分别求出进价，再
求和即可．
【详解】解：设盈利 的那件进价为 元，亏本 的那件进价为 元，则
，解得 ，故两件上衣进价之和为： （元）．
故选：C．
8．下列说法正确的是（ ）
A．可能性是99%的事件在一次实验中一定会发生
B．了解全国中学生的视力情况，采用全面调查的方式
C．了解举水河的水质情况，采用抽样调查的方式
D．从 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查，样本容量为 2000
【答案】C
【分析】本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，样本容量的概念，根据概率的意义，全等调查与
抽样调查，样本容量的概念，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、可能性为 的事件在一次实验中不一定会发生，故A说法错误，不符合题意；
B、了解全国中学生的视力情况，采用抽样调查的方式，故B说法错误，不符合题意；
C、了解举水河的水质情况，采用抽样调查的方式，故C说法正确，符合题意；
D、从 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查，样本容量为 100；故D说法错误，不符合题意；
故选：C．
9．如图， 四边形 是 的内接四边形， 若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得 ，再根据圆
周角定理可得 ，即可求解，掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是 的内接四边形， ，∴
，
∴ ，故选：A．
10．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，
E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S AOD＝S OECF；其中正确结论的个数（
四边形
） △
A．1 B．3 C．2 D．0
【答案】C
【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理证出 ，再根据全等三角形的性质可得
，然后根据角的和差可得 ，由此可判断结论①；先根据相似三角形的判定可得
，再根据相似三角形的性质可得 ，从而可得 ，假设 ，
从而可得 ，然后根据线段垂直平分线的判定与性质可得 ，最后在 中，根据
得出 ，由此得出矛盾，即可判断结论②；先根据三角形全等的判定定理证出
，再根据全等三角形的性质可得 ，由此即可得判断结论③．
【详解】解： 四边形 是正方形， ，
， ，即 ，在 和 中， ，， ， ，
， ，结论①正确；在 和 中，
， ， ，即 ，假设 ，则
，
垂直平分 ， ，又 在 中， ， ，这与 相矛盾，
则假设不成立，结论②错误； ， ，
，在 和 中， ， ，
， ，即 ，结论③正确；综上，正确结论的个数
为2个，故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．圆锥的底面半径是 ，母线长 ，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
【答案】
【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，然后解关于 的方程即可．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，根据题意得 解得 ，
即圆锥的侧面展开图的圆心角为 ．故答案为： ．
13．直线l：y＝x+1与直线l：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 ．
1 2
【答案】x≥1【分析】将P(a，2)代入直线l：y＝x+1中求出a＝1，然后再根据图像越在上方，其对应的函数值越大即
1
可求解．
【详解】解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，从图中直接看出，在P点右侧时，直线l：y＝
1
x+1在直线l：y＝mx+n的上方，即当x≥1时，x+1≥mx+n，故答案为：x≥1．
2
14．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽 是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点
A，D时，恰好与 边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
【答案】10
【分析】连接 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，则点 为餐盘与 边的切点，由
矩形的性质得 ， ， ，则四边形 是矩形， ，得
， ， ，设餐盘的半径为 ，则 ， ，然后由
勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】由题意得： ， ，
如图，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
则 ， 餐盘与 边相切， 点 为切点， 四边形 是矩形， ，
， ， 四边形 是矩形， ， ， ，
，设餐盘的半径为 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，解得： ， 餐盘的半径为 ，
故答案为：10．
15．一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一
个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 ．
【答案】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下：红球 白球 蓝球
（红球，红
红球 （白球，红球） （蓝球，红球）
球）
（红球，白
白球 （白球，白球） （蓝球，白球）
球）
（红球，蓝
蓝球 （白球，蓝球） （蓝球，蓝球）
球）
由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，
所以两次摸到球的颜色相同的概率为 ，
故答案为： ．
16．如图，点P（x，y）在双曲线 的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S AOP＝2，则该反比例函数
△
的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，∴ ，∵图象位于第二象限内，∴ ，
∴该反比例函数的解析式为 ．故答案为： ．
17．如图，在矩形 中，若 ，则 的长为 ．
【答案】1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形 中， ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，故答案为：1．
18．已知二次函数 的图像如图所示，有下列5个结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ （ 的实数）．
其中正确的结论有 （填序号）
【答案】③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向可以得出 ，由抛物线与 轴的交点可以判断 ，由抛物线的对称轴可
以判断 ，再根据抛物线与 轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案．
【详解】解：① 二次函数 的图象开口方向向下，与 轴交于正半轴，对称轴为直线
， ， ， ，故①错误，不符合题意；
② 二次函数 的图象与 轴的交点在 的右边，图象开口方向向下，
当 时， ， ， ，故②错误，不符合题意；
③ 二次函数 的图象与 轴的另一个交点在 的右边，图象开口方向向下，
当 时， ， ，故③正确，符合题意；④由①得： ， ，
由②得： ， ， ，故④正确，符合题意；
⑤ 二次函数 的图象的对称轴为直线 ， 当 时， 取最大值，最大值为
， 当 时， ， ，故⑤正确，符合题意；
综上所述：正确的结论有：③④⑤，故答案为：③④⑤．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题
9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算： ．
【答案】
【分析】先计算有理数的乘方，去绝对值，再计算乘法和除法，最后计算加减即可．【详解】解： ．
20．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】先运用公式法进行因式分解，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 的值代入
化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式 ，
把 代入，原式 ．
21． 月 日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生
中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统
计图．
(1) ， ，补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“ ”这组的扇形圆心角为 ；
(3)测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩 分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两
名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】(1) ， ，见解析；
(2) ；
(3)见解析， ．
【分析】（ ）用频数分布直方图中 的频数除以扇形统计图中 的百分比可得 的值；用频数
分布直方图中 的频数除以 再乘以 可得 ，即可得 的值；求出测试成绩为 （含
100）的人数，补全频数分布直方图即可．
（ ）用 乘以“ ”的人数所占的百分比，即可得出答案；
（ ）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案；
本题考查了列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树
状图法是解题的关键．
【详解】（1）解： ， ，∴ ，故答案为： ； ；
测试成绩为 （含 ）的人数为 （人），补全频数分布直方图如图所示，
（2）在扇形统计图中，“ ”这组的扇形圆心角为 ，故答案为： ；
（3）画树状图如下：
共有 种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共 种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为 ．
22．如图，在四边形 中， ，对角线 交于点 平分 ，过点 作
交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求 的的长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明 ，继而判断四边形 是平行四边形，结合
得证．
（2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可．
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴四边形 是平行四边形，∵ ，
∴四边形 是菱形．
（2）解：∵四边形 是菱形，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，在 中， ，∴ ，∴
．
23．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头
盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量
的月增长率相同．
(1)为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为____________；
(2)若此种头盔的进价为30元 个，测算在市场中，当售价为40元 个时，月销售量为600个，若在此基础
上售价每涨价1元 个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元 个，销售总利润为y，列出y与
x的函数关系式．
①当x为多少时？销售总利润达到10000元．
②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
【答案】(1) ；
(2)① ， ；②当 时，销售总利润达到最大，最大总利润 ．
【分析】（1）设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方
程；
（2）根据月销售利润 每个头盔的利润 月销售量,即可得出关于y的二次函数；
①令 ，解之取其正值即可；②利用二次函数的最值求解即可.
【详解】解：（1） ；
（2）①由题意可得： ，令 ，即 ，
解得 ， .∴当x为10或者40时，销售总利润达到10000元；
② ，∴当 时，取得最大总利润，
此时 .
24.如图，等边 内接于 ， 是弧 上任一点（点 不与点 重合），连接 ，过点
作 交 的延长线于点 .（1）求证： 为等边三角形；
（2）若 ， ，求 的面积.
【解析】(1)∵ 为等边三角形，∴ ∴ ；
又 且 ，∴ ，∴ ，
∴ 是等边三角形；
(2)取 ，∴ ，∴ 为等边三角形，∴ ，
，
∴ ，即 ，在 与 中
，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 。
25．定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“梦想函数”，该点称为
“梦之点”，例如：“梦想函数” ，其“青一点”为 ．
(1)①判断：函数 “梦想函数”（填“是”或“不是”）；
②函数 的图像上的梦之点是 ；
(2)若抛物线 上有两个梦之点”，求m的取值范围；
(3)若函数 的图像上存在唯一的一个“梦之点”，且当 时，n的最小
值为k，求k的值．
【详解】（1）解：①假设函数 是梦想函数，设梦之点横坐标为 ，纵坐标为 ，代入 ，
得 ，此方程无解，故函数 不是梦想函数，故答案为：不是
②设函数 的图像上的梦之点是 ，代入 得 ，解方程得 ，
故答案为： 或（2）解：设抛物线 （ ），梦之点的坐标为 ，
则 ，整理得 ，
∵有两个梦之点，∴ ，解不等式得： ，即m的取值范围是 且
；
（3）解：设函数 梦之点的坐标为 ，则
整理得 ，∵存在唯一的一个“梦之点”，∴
整理得 ，则 关于 的二次函数关系，其图像对称轴为直线 ，
当 时，则 时， 值最小为 ，
整理得 ，解得 （舍去）， ，
当 时，则 时， 值最小为 ，整理得 ，
当 时，则 时， 值最小为 ，
整理得 ， ，方程无解，
综上得k的值为 或 ．
26．如图，在正方形 中，点M是边 上的一点（不与B、C重合），将线段 绕点A顺时针旋
转 得到 ，连接 、 、 ， 与边 交于点E，与 相交于点O．
(1)求证： ；
(2)当 平分 时，求证： ；
(3)当 时，求 的值．
【分析】（1）根据正方形性质和旋转性质得到， ， ， ，得到
，利用 即得；
（2）由 ， 和正方形性质推出 ，由角平分线定义和性质推出 ，得到 ，得到 ，结合 ，即
得 ；
（3）设正方形 的边长为 ，推出 ， ，由全等三角形性质得到 ，
，推出C，D，N三点共线，得到 ，证明 ，推出
，得到 ，根据 得到 ．
【详解】（1）∵四边形 是正方形，∴ ， ，旋转知： ，
，
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）在正方形 中， ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∵ 平分 ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ；
（3）设正方形 的边长为 ，∵ ，∴ ，∴ ， ，
由（1）知， ，∴ ， ，∴ ，
∴C，D，N三点共线，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ．
