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难点 16 辅助圆四种常考模型
题型一：定点定长构造辅助圆
题型二：定弦定角构造辅助圆
题型三：主从联动构造辅助圆
题型四：定角定高构造辅助圆
题型一：定点定长构造辅助圆
利用定点定长构造辅助圆的几种常见类型
类 一点作圆 三点定圆 旋转作圆 折叠作圆
型
图
示
特 平面内,点0为定点,点A 0A=0B=0C △ABC绕点A旋转得到△AB'C' 将ΔBEF沿EF折叠,点E
点 为动点，且 OA的长度 是定点,点B的对应点
固定 为点 G
作
法
结 点A在以点0为圆心， 点 A,B,C 均 在 点B,C的运动轨迹分别是以点 点 G 的运动轨迹是以
论 0A长为半径的圆上运动 上 A为圆心,以AB,AC的长为半径 点
的圆
E为圆心,BE 长为半径
的一段圆弧
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2023·黑龙江·中考真题）在 中， ，点 是斜边 的中点，把绕点 顺时针旋转，得 ，点 ，点 旋转后的对应点分别是点 ，点 ，连接 ，
，在旋转的过程中， 面积的最大值是 ．
【典例1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，点A是
外一点，点P在 上， 的半径为1，连结AP并延长至点Q，使得 ，当点P在 上运动
一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用中位线的知识解决问题：如图①，连接 并延长至点B，使得
，连结 ，由中位线的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆．下面
是部分证明过程：
证明：连结 并延长至点B，使得 ，连结 ．
当点P在直线 外时，
证明过程缺失
当点P在直线 上时，
易知 ．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆．
（1）请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】（2）在上述问题的条件下，记点M是线段 的中点，如图②．若点P在 上运动一周，
则点M的运动路径长为______．
【拓展提升】（3）如图③，在矩形 中， ， ．点P是平面内一点， ，连结 并
延长至点Q，使得 ，连结 ，则 面积的最大值是______．【典例1-3】（2024·甘肃兰州·一模）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形
变化过程中的几何问题．如图，在 中， ， ，点D为平面内一点（点A，B，D
三点不共线）， 为 的中线．
【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长 至点M，使得 ，连接 ．始终存在以下两
个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：
① ；② ；
【类比探究】（2）如图2，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ．小斌同学沿着小林同学的思
考进一步探究后发现： ，请你帮他证明：
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心， 为
半径的圆上运动（ ），直线 与直线 相交于点G，连接 ，在点D的运动过程中 存在
最大值．若 ，请直接写出 的最大值．【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2023·河北张家口·一模）在 中，要判断 和 的大小关系（ 和 均为锐
角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2）（ ）
对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可
行
【典例1-2】（2023·辽宁鞍山·一模）如图，等边三角形 和等边三角形 ，点N，点M分别为 ，
的中点， ， 绕点A旋转过程中， 的最大值为 ．
【变式1-3】（23-24九年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，
的半径为 ，点A在 上，点B为线段 中点，过点B作 垂线l．点P是 上一动点，点P关于直线l的对称点为 ，试探究点 的轨迹．
【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点 在一个确定的圆上，下面是部分证明过程：
证明：
证明过程缺失
∴点 在以点______为圆心，______为半径的圆上．
（1）请你补全证明中的缺失过程．
【结论应用】（2）如图②， 的半径为 ，点A与点C在 上且 ．点B为线段 上的
点，且 ，过点B作 的垂线l．点P是 上一动点，点P关于直线l的对称点为 ．当点P从点
A运动到点C时，点 的运动路径长为______．
【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“ ”去掉，其它条件不变， 为 直径．点D
到点 距离d的取值范围是______．【变式1-4】（2023·河北保定·二模）已知，在半圆 中，直径 ，点C，D在半圆O上运动，弦
．
(1)如图1，当 时，求证： ；
(2)如图2，若 ，求图中阴影部分（弦 、直径 、弧 围成的图形）的面积；
(3)如图3，取 的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到
的距离的最小值是______．【变式1-5】（2022九年级上·全国·专题练习）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点
所组成的图形．
(1)已知：如图1， ，请利用圆规画出过 三点的圆．若 ，则
______．
(2)已知，如图2， 中， ．点 为 边的中点，将 沿 方
向平移2个单位长度，点 的对应点分别为点 ，求四边形 的面积和 的大小．
(3)如图3，将 边沿 方向平移 个单位至 ，是否存在这样的 ，使得直线 上有一点 ，满足
且此时四边形 的面积最大？若存在，求出四边形 面积的最大值及平移距离 ，若不
存在，说明理由．题型二：定弦定角构造辅助圆
定弦定角构造辅助圆的几种常见类型
类型 定角为直角 定角为锐角 定角为钝角
图示
特点 在△ABC中,已知AB的长,点 在△ABC中,已知AB的长,点C 在△ABC中,已知AB的长,点C
C为动点,且保持∠ACB=90° 为动点,且保持∠ACB=a(a为锐
为动点,且保持∠ACB=a(a为钝角)
角)
动点
运动
轨迹
结论 点 C 在以点 0 为圆心，AB 点C在以点0为圆心,圆心角为 点 C 在以点 0 为圆心,圆心角为
长为直径的圆上运动 2a 的优弧 AB 上运 动(点0,C (360°-2a)的劣弧 AB 上运动(点
在AB 同侧) 0,C在 AB 异侧)
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点
B，点C、D分别是 、 上的动点，且满足 ，连接 交线段 于点E， 于点H，则
当 最大时， 的值为 ．【典例2-2】（2024·河南·中考真题）如图，在 中， ， ，线段 绕点C
在平面内旋转，过点B作 的垂线，交射线 于点E．若 ，则 的最大值为 ，最小
值为 .
【典例2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，在 中， ， 为 边上的高，若
，求 面积的最小值；
（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出
一部分来培育新品种郁金香．如图2， 是这片鲜花培育基地的平面示意图， ，点 是
边上一点，连接 ， ，且 ，点 为 上一点， ，为了更有
效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地 的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金
香培育基地 面积的最小值．【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图， 为 直径， 且过半径 的中点H，过点A
的切线交 的延长线于G，且 ，点E为 上一动点， 于点F，当点E从点B出发逆时
针运动到点C时，点F经过的路径长是（ ）
A． π B． π C． π D． π
【变式2-2】（2023·陕西西安·模拟预测）（1）问题提出：如图①， 为等腰三角形， ，
，D是 上一点，且 平分 的面积，则线段 的长度为______．
（2）问题探究：如图②， 中， ， ，试分析和判断 的面积是否存在最大值，
若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
（3）问题解决：如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在
会场旁规划一个四边形花圃 ，满足 米， 米， ， ，主办方打算
过 的中点M点（入口）修建一条径直的通道 （宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形边上一点，通道 把四边形 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以
供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道 ？若存在，请求出点A距出口的距离 的长；若
不存在，请说明理由．
【变式2-3】（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）已知： 和 外一点 ．
(1)如图甲， 和 是 的两条切线， 、 分别为切点，求证： ；
(2)尺规作图：在图乙中，过 点作 的两条切线 、 、 、 为切点（要求：保留作图痕迹，不写
作法）．
【变式2-4】（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究
(1)如图①，已知 中， ， ，则 周长的最大值为__________；(2)如图②，某地有一片足够大的湿地，现想在这片湿地上修建一形状为菱形 的“探秘湿地”综合实
践活动区，其中 ，点 为活动区内一观景台，按照设计要求，现要沿 、 、 修建三条
笔直的步道（步道宽度忽略不计），且满足 米， ．为达成最好的综合活动体
验，需要 、 、 三条步道的长度和尽可能大，请问是否存在三条步道长度和的最大值？若存在，
请求出步道长度和的最大值，若不存在，请说明理由．
题型三：主从联动构造辅助圆
主从联动构造辅助圆的几种常见类型
类型 位似型 旋转型
图示
条件 线段AP中,点P为0上的动点，点A 点A为定点,点P为主动点,点Q为从动点,
为定点,点Q为AP的中点 且∠PAQ 为定值(AP:AQ=k)
结论 1.点P,Q的运动轨迹都是圆,且两结论 1.点P,Q的运动轨迹都是圆;
圆的半径之比为2:1;
2.若AP=A0,即k=1时,则△AOP≌△AMQ,
2.△APO∽△AOM,相似比为 2:1 两 圆 半 径 相 等 ; 若 AP≠ AQ, 则
△AOP∽△AMQ,两圆半径之比为k
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图1，正方形 中， ， 是 边的中点，
点 是正方形内一动点， ，连接 ，过点 在 的右侧作 ，且 ，连接 、
．(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长；
(3)如图2，若 三点共线，求点 到直线 的距离；
(4)直接写出线段 的最小值．
【典例3-2】（2024·吉林长春·一模）【问题呈现】综合实践课上，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图
①， 的半径为2，点A是 外的一个定点， ，点P是 上的一个动点，连接 ，作
且 ．当点P在 上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过分析，兴趣小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图②，连接 ，过点A
作 ，且 ，通过证明 ，可以确定点Q的运动路径为点M为圆心，2为
半径的圆．下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明：1°当点P在直线 外时，
如图，过点A作 ，且 ，
证明过程缺失
2°当点P在直线 上时， ．
综上，点Q的运动路径为点M为圆心，2为半径的圆．
【问题延伸】如图③，点A为 外一定点， 是直角三角形， ， ，当点P在
半径为2的 运动一周时，点Q的运动路径长是______．
【能力提升】如图④，在扇形 中， ， ，点C是弧 上的动点，连接 ，以BC
为边作正方形 ，当点C从点A移动至点B时，点D的运动路径长为______．【典例3-3】（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， 的半径
为2，点 是 外的一个定点， ．点 在 上，作点 关于点 的对称点 ，连接 、 ．
当点 在 上运动一周时，试探究点 的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长 至点 ，使
，连接 ，通过证明 ，可推出点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径
的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长 至点 ，使 ，连接 ．
1°当点 在直线 外时，
证明过程缺失
2°当点 在直线 上时，
易知 ．
综上，点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形 中，点 分别为边 的中点，连接 ，点 是 中点，点 是线段 上的任意一点， ．点 是平面内一点， ，连接 ．作点 关于点
的对称点 ，连接 ．
（1）当点 是线段 中点时，点 的运动路径长为________________．
（2）当点 在线段 上运动时，连接 ．设线段 长度的最大值为 ，最小值为 ，则
________________．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图 ，
已知 半径是 ，点 是 上的一个动点，点 是平面内一点， ，求证：线段 的最
大值为 ．
【问题解决】经过分析，如图 ，小明将 延长交 于点 ，并猜想此时 最大，为了验证这个
猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明 如图 ， 在 上任意取一点 点 不与点 重合)， 连结 、 ，
证明过程缺失
则 ，
则此时， 最大， 最大值为 ．
【问题延申】如图 ， 在 中， ， ， ， 点 是边 上的一个动点，
连结DB， 过点 作 于点 ， 连结CF， 则线段CF 的最小值是 ．【拓展提升】如图 ，某景区有一片油菜花地，形状由 和以 为直径的半圆两部分构成， 已知
米， ， ， 为了方便游客游览， 该景区计划对油菜花地进行改造，根据
设计要求，在半圆上确定一点 ，沿 修建小路，并在 中点 处修建一个凉亭，沿CF 修建
仿古长廊，由于仿古长廊造价很高、为了控制成本，景区要求仿古长廊CF 的长度尽可能短，若不考虑其
他因素，则仿古长廊CF 最短为 米．(结果保留根号)
【变式3-2】（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图
①， 的半径为6，点 在 上，点 为 外一定点，点 为 的中点．当点 在 上运动一周
时，试探究点 的运动的路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结 ，取 的中点 ，连接 由三角
形的中位线性质可以推出点 的运动路径是以点 为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：连结 ，取 的中点 ，连接 ．
，当点 在直线 外时，
当点 在直线 上时，
易知 ．
综上，点 的运动路径是以点 为圆心、3为半径的圆．
【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点 为 的三等分点，且 ，如图③，若点 在
上运动一周，则点 的运动路径长为 ；
【拓展提升】在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，点 的坐标为(2,0)，将线段 绕着点 逆时针旋
转 ，得到线段 ，点 ．点 为 的中点，点 ，则 的最小值为 ．【变式3-3】（2024·吉林长春·一模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， 是
的半径， ．点P在 上，将点P沿 的方向平移到点Q，使 ．当点P在 上运动一周时，
试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段 上截取
，连结 、 ，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
下面是部分证明过程：
证明：在线段 上截取 ，连接 、 ．
1°当点P在直线 外时，证明过程缺失
2°当点P在直线 上时，
易知 ．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段 的中点，如图②．若点P在 上运动一周，则点
M的运动路径长为 ．
【拓展提升】如图③，在矩形 中， ， ．点P是平面内一点， ，将点P沿 的
方向平移到点Q，使 ．点M是线段 上的任意一点，连结 ．设线段 长度的最大值为a，最
小值为b，则 ．
题型四：定角定高构造辅助圆
定角定高构造辅助圆的图形特征及解题思路:
图示
在△ABC中，∠ACB为定角，CD是AB边上的高，且CD为定值作法
作△ABC的外接圆
结论 当构成等腰三角形(AC=BC)时,①AB的长最小:②ΔABC的周长最小;③△ABC 的面积最小
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2023·陕西·统考二模）问题探究
（1）如图1．在 中， ， 为 上一点， ．则 面积的最大值是_______．
（2）如图2，在 中， ， 为 边上的高， 为 的外接圆，若 ，试判断
是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．
问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地 ， ， ，现在他想利用这块地
建一个四边形鱼塘 ，且满足点 在 上， ，点 在 上，且 ，点 在 上，
点 在 上， ，这个四边形 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；
若不存在，请说明理由．
【典例4-2】（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究
(1)如图①，已知线段 ，以 为斜边，在图中画出一个直角三角形；(2)如图②，在 中， ， 为 边上的高，若 ，试判断 是否存在最小值，若
存在，请求出 最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形 中， ，
， ，点 、 分别为 、 上的点，若保持 ，那么四边形
的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，
点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ．【变式4-2】（2023·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）如图， ，边 、 上分别有两个动点
C、D，连接 ，以 为直角边作等腰 ，且 ，当 长保持不变且等于 时，则
长的最大值为 cm．
【变式4-3】（2020·陕西·陕西师大附中校考二模）问题探究，(1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P
为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说明理由；(2)如图②，在正方形ABCD中，P
为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠APB最大？并说明理由；
问题解决(3)某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监
控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB
＝200 米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的
度数；若不存在，请说明理由．
