文档内容
试卷类型A
绝密★启用前
2023—2024学年第一学期高三年级期末教学质量检测试卷
理科数学
注意事项：
1. 考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上。将条形码粘贴在规定区域。本试卷满分
150分，考试时间120分钟。
2. 做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本题共12 小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的。
1. 已知集合A={x|x>3},B={x|x2-5x<0},则 =
A.( -∞ ,3]
B.(0,3]
C.(3,5)
D.[3,+∞)
2.复数z =a +3i,z = -4 +bi,其中a,b为实数,若z +z 为实数,z -z 为纯虚数,则a+b=
1 1 1 2
A.-7 ₂ ₂
B. -6
C.6
D.7
3.为了鼓励学生积极锻炼身体,强健体魄,某学校决定每学期对体育成绩在年级前100名的学生给予专项
奖励.已知该校高三年级共有600名学生,如图是该年级学生本学期体育测试成绩的频率分布直方图.
据此估计,该校高三年级学生体育成绩的中位数为
A.70
B.70.5
C.71.25
D.72
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学科网（北京）股份有限公司{2y-x+2≥0
4.若x,y满足约束条件 y-x-1≤0 ，则z =2x +3y 的最大值为
x+2y-2≤0
A.4
B.3
C.-3
D.-4
3x
5.函数f (x)= =的图象大致是
x2+1
6.若 2x=3y =12,z = logy,则x,y,z的大小关系为
x
A. xb>0)上存在点P,使得|PF | =4|PF |,其中 F ,F 是椭圆 C的两个焦点,则椭圆
+ =1 1 1 2
a2 b2
₂
C的离心率的取值范围是
2 2 3 3
A. (0, ] B.( ,1) C. ( ,1) D. [ ,1)
5 5 5 5
9. 在三棱锥 P-ABC中,PB=PC=AB=AC =BC =4,PA=2❑√3,则异面直线PB与AC所成角的余弦值是
1 1 1 1
A. - B. C. - D.
8 8 4 4
10.已知圆锥 PO 的母线长为2，O为底面的圆心,高PO>1,其轴截面的面积为❑√3,则该圆锥的体积为
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学科网（北京）股份有限公司π ❑√3π ❑√3π
A. B. C. D. π
2 4 3
π
11.已知函数f(x) =Acos(wx +φ)(A>0,w>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移 个单位
6
长度后得到y=g(x)的图象,则下列说法错误的是
5π
A. φ=-
6
B. ( π)
f x- =f (-x)
6
C.函数y=g(x)为奇函数
π 3π
D.函数g(x)在区间( , )上单调递减
6 4
2x
12.若过点 P(1,m)可以作三条直线与曲线C:y= 相切,则m的取值范围是
ex
6 2 2 6
A. (0, ) B. (0, ) C. (-1,0) D. ( , )
e2 e e e2
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分,
13. 已知向量a，b满足|a|=3，|6|=4，a·b=-10,则|a+b|=_____________。
14. 若双曲线G: x2 y2 号=1(a>0,b>0)的一条浙近线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为2,则双曲线C
- =1
a2 b2
的离心率为_______。
15. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,则抽到的第一张
卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为________。
A+C
16. 已知△ABC 为锐角三角形，a，b，c,是角 A,B,C 分别所对的边,若asin =bsinA;且 c=2,则
2
△ABC 面积的取值范围是_________。
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 17~21 题为必考题,每个试题考生
都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答
(一) 必考题:共60分。
17.(12 分)
a
已知数列{a }满足 a =2，na =3(n+1)a ，设b = n。
n 1 n+1 n n n
(1)求b ，b ，b ；
1 2 3
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学科网（北京）股份有限公司(2)判断数列{b }是否为等比数列,并说明理由;
n
(3)求{a }的通项公式
n
18.(12分)
如图,在四棱锥 S-ABCD 中,SA⊥平面 ABCD,AB∥CD,∠CDA=60°,AB=2AD=2CD=8,P 为棱 SA
上的一点,且AP=2PS=4.
(1) 证明:SC∥平面DPB;
(2) 求二面角D-PB-A的正弦值。
19.(12分)
为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了兵乓球比赛，其中参
加男子兵乓球决赛的9名队员来自高一年级2人，高二年级3人，高三年级4人，本次决的比赛赛制
采取单循环方式，即每名队员进行8场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出最后的
冠军,亚军和季军,积分规则如下：每场比赛5局中以3:0或3:1获胜的队员积3分,落败的队员积0分;
而每场比赛5局中以3:2获胜的队员积2分,落败的队员积1分，
(1) 求比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率;
(2) 已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙,假设每局比赛甲获胜概率均为0.6,
①若设最后一轮每局比赛甲获胜为事件A,乙获胜为事件B,则事件A与B是什么关累,并求P(A)和
P(B);
②记这轮比赛甲所得积分为X求X的概率分布列及数学期望E(X).
20.(12分)
4
在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=2px(p>0)和点R(4,5). 点P在C上，且⃗OP= ⃗OR.
5
(1)求C的方程;
(2)若过点作两条直线l 与l , l 与C相交于A,B两点, l 与C相交于E,D两点,线段 AB 和 ED中
1 2 1 2
1 1 1 1
点的连线的斜率为k,直线 AB,ED,AD,BE 的斜率分别为k ，k ，k ，k，证明: + = + ，且
1 2 3 4 k k k k
1 2 3 4
1 1 1
+ - 为定值.
k k k
3 4 ❑
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学科网（北京）股份有限公司21.(12 分)
已知函数f (x)=eln(x-1)-a(x-1)(a∈R).
(1)讨论f (x)的单调性;
ex-1
(2)当a=e时,证明:在(1,+∞)上f (x)- +2e≤0.
x-1
(二)选考题:共 10 分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
{
x=t
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (t为参数)
9+3t2
y=
4
(1)写出C的普通方程,并指出它是什么曲线;
(2)以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为3cosθ+sinθ=0,求
2
C 与C 交点的极径与极角的正切值.
2 1
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知x,y,z均为正数,且x2+ y2+9z2=12,证明:
(1) x+y+3z≤6;
1 1
(2)若y=4z,则 + ≥3.
x2 z2
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