文档内容
绝密★启用前
试卷类型：老教材版
2024 届高中毕业班第二次考试
理科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知复数 满足 ，则 的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．6
4．设函数 ，数列 ， 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．记 的内角 的对边分别为 ，分别以 为边长的正三角形的面积依次为 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司6．通过验血诊断某疾病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为 ，漏诊率（将患病者判
定为阴性的概率）为 ，现对2名未患病者和1名患病者进行验血，每人的诊断结果互不影响，
则诊断结果均为阴性的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开
始，每一项都等于前两项之和，小李以前 6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字 1与2不相邻，
则小李可以设置的不同的密码个数为（ ）
A．144 B．120 C．108 D．96
8．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． c． D．
9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥 和圆柱 组合而成，点
在圆锥 的底面圆周上，且 的面积为 ，圆锥 的侧面积为 ，
圆柱 的母线长为3，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，则 在区间 内的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
学科网（北京）股份有限公司11．已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上除顶点外的一点， ，且 ，则
的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知 ，若函数 有两个不同的零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆 的离心率为 ，则 ______．
14．已知 满足约束条件 ，则 的最小值是______．
15．在正四棱柱 中， ，平面 与棱 分别交于点
，其中 分别是 的中点，且 ，则 ______．
16．已知 ，若 ，则 的最小值为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了 400人，询问他们选购羽绒服时更关
注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的 列联表：
更关注款式设
更关注保暖性能 合计
计
女性 160 80 240
男性 120 40 160
合计 280 120 400
（Ⅰ）是否有 的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？
（Ⅱ）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，
记 为抽取的2人中女生的人数，求 的分布列和数学期望．
学科网（北京）股份有限公司附： ．
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
18．（12分）
如图，矩形 与梯形 所在的平面垂直， ，
为 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
19．（12分）
在数列 中，已知 ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和．
20．（12分）
已知 为抛物线 上的一点， 为 的焦点， 为坐标原点．
（Ⅰ）求 的面积；
（Ⅱ）若 为 上的两个动点，直线 与 的斜率之积恒等于 ，作 为垂足，证明：
存在定点 ，使得 为定值．
21．（12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）若存在唯一的负整数 ，使得 ，求 的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）若 ，当 时， ，求 的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，已知直线 （ 为参数）， 为 的倾斜角， 与 轴交于点 ，
与 轴正半轴交于点 ，且 的面积为 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 与曲线 交于 两点，求 的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）设 ，若 的最小值为2，求 的最小值．
学科网（北京）股份有限公司理科数学（老教材版）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．答案 D
命题意图 本题考查复数的基本概念和运算．
解析 ，故 ．
2．答案 C
命题意图 本题考查集合的运算．
解析 因为 ，所以 ．
3．答案 B
命题意图 本题考查平面向量的数量积．
解析 ，因为 ，所以 ，得 ．
4．答案 C
命题意图 本题考查数列的概念与性质．
解析 由题意知 ，可知 ．
5．答案 C
命题意图 本题考恒三角形的面积公式和余弦定理．
解析 由题意得 ，则 ，
所以 ，故 ，又 ，所以 ．
6．答案 A
命题意图 本题考查概率的计算．
解析 未患病者的诊断结果为阴性的概率为 ，患病者的诊断结果为阴性的概率为q，所以对2名未患病
者和1名患病者进行验血，诊断结果均为阴性的概率为 ．
7．答案 A
命题意图 本题考查排列与组合的应用．
解析 先排数字2，3，5，8，有 种排法，4个数字形成5个空当．第一类：若两个1相邻，则从可选择的
3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法；第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两
学科网（北京）股份有限公司个分别放入数字1，有3种排法．所以密码个数为 ．
8．答案 D
命题意图 本题考查函数的单调性．
解析 由 ，得 ，所以 的定义域为 ．设 ，易得
在 上单调递减．当 ，即 时， ，此时 单调递减，当
，即 时， ，此时 单调递增，所以 的单调递增区间为
．
9．答案 B
命题意图 本题考查圆柱与圆锥的结构特征．
解析 设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则 的面积为 ，
解得 ，因为圆锥 的侧面积为 ，所以 ．故该几何
体的体积为 ．
10．答案 D
命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．
解析 令 ，得 ，又 ，所以只能是
，得 ，在区间 内，有 共3个零点．
11．答案 A
命题意图 本题考查双曲线的性质．
解 析 设 ， 显 然 ， 则
学科网（北京）股份有限公司， 所 以 的 离 心 率
． 由 于 ， 所 以 ， 所 以
的取值范围是 ．
12．答案 B
命题意图 本题考查函数的零点、导数的几何意义．
解析 有两个不同的零点，等价于曲线 与 有两个不同的交点，当 时，
，二者不可能有交点，只需考虑 时的情况．设 ，若 ，则
，易知曲线 与直线 在点 处相切；若 ，当 时，
，所以 ，所以曲线 与直线 没有交点；若
，则 ，所以 ，曲线 与直线 有两个交点．
综上可得，满足条件的 的取值范围是 ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案
命题意图 本题考查椭圆的性质．
解析 因为 ，所以 ，解得 ．
14．答案
命题意图 本题考查简单的线性规划问题．
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线 过点 时 取得最小值，且
学科网（北京）股份有限公司．
15．答案 3
命题意图 本题考查空间位置关系的判断以及相关计算．
解析 因为平面 经过棱 的中点，所以四边形 为菱形，且易证 ．又因为
，所以 平面 ，所以 ，且 经过 的中点．在矩形 中利用
三角形相似可计算得 ．
16．答案
命题意图 本题考查三角恒等变换的应用．
解析 由题意知
，由题意知 ，因此 ．所以
，当且仅当
，即 时等号成立．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查独立性检验和超几何分布的相关计算．
解析 （Ⅰ）因为 ，
因为 ，所以没有 的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异．
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）选出的男性人数为 ，选出的女性人数为 ，
由题意可得 的所有可能取值为0，1，2，
，
故 的分布列为
0 1 2
所以 的数学期望 ．
18．命题意图 本题考查面面垂直的证明以及二面角的计算．
解析 （Ⅰ）因为 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ．
在矩形 中， 为 的中点，
所以 ，根据勾股定理可得 ．
因为 ，所以 平面 ，
所以平面 平面 ．
（Ⅱ）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ．
所以 ．
设平面 的法向量为 ，由 得
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ．
同理可得平面 的一个法向量为 ．
设二面角 的平面角为 ，
故 ，即二面角 的余弦值为 ．
19．命题意图 本题考查递推关系与等比数列的性质，以及错位相减法的应用．
解析 （Ⅰ）因为 ，
所以 ．
所以 是首项为2，公比为2的等比数列．
所以 ，即 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．
设前 项和为 ，
则 ，
，
两式相减可得
，
所以 ．
20．命题意图 本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系．
解析 （Ⅰ）由题可得 ，解得 ，
所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 的方程为 ．
学科网（北京）股份有限公司由题意可知直线 不与 轴平行，设直线 的方程为 ，则 ．
联立方程得 整理可得 ，
则 ，且 ①， ②．
，同理可得 ．
由题意得 ，即 ，
将①②代入可得 ，即 ．
故直线 的方程可化为 ，即 ，
直线 过定点 ．
因为 于点 ，所以点 在以 为直径的圆上，
故存在 的中点 ，即 ，使得 ，为定值．
21．命题意图 本题考查利用导数研究函数性质．
解析 （Ⅰ） ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增．
令 ，作出 与 的大致图象如图所示，
因为存在唯一的负整数 ，使得 ，则 ，
故 即 ，
学科网（北京）股份有限公司故 的取值范围为 ．
（Ⅱ）根据题意， 对 恒成立，
等价于 对 恒成立．
令 ，则有 ，
令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
又 时， 时， ，
从而存在唯一的 ，使得 ，
即 ，
可得 ，
当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，
故 ，
故原不等式恒成立只需 ，
即 ．
构造函数 ，
学科网（北京）股份有限公司可得 ，
当 时，令 ，因为 ，从而可得 在 时
恒成立，又 ，所以 的解集为 ．
又因为 ，
令 ，易得 在定义域内单调递减，
所以 ，所以 ，
故 的取值范围为 ．
22．命题意图 本题考查方程的互化、直线的参数方程的应用．
解析 （Ⅰ）由 的参数方程可知 ，
由题意知 ，所以 ，即 ，
所以 的斜率为 ，所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 （ 为参数），
代入 ，得到 ．
设 对应的参数分别为 ，则 ，
故 ．
23．命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及性质．
解析 （Ⅰ）将 代入 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司等价于 或 或
得 或无解或 ．
所以不等式 的解集为 ．
（Ⅱ） ，
因为 的最小值为2，且 ，所以 ．
，
当且仅当 ，即 ，也即 时取等号，
所以 的最小值为4．
学科网（北京）股份有限公司
