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如东中学 2023 级 高二数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个
选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.若直线 的倾斜角为 ，则 （ ）．【答案】C
A．0 B． C． D．不存在
2.已知直角梯形 ，且 ， ， ， ，则过其中三点的圆的方程
可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A， ， 的坐标都不满足圆的方程 ，
即圆 不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；
对于B， ， 的坐标都不满足圆的方程 ，
即圆 不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意；
对于C， ， ， 的坐标都满足圆的方程 ，
的坐标不满足圆的方程 ，
即圆 过四个点中的三个点，故C符合题意；
对于D， ， 的坐标都不满足圆的方程 ，
即圆 不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意.
1
学科网（北京）股份有限公司故选：C.
3. 已知直线 ： 和直线 ： ，则 是“ ∥ ”的（
）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
4.已知圆 的方程为 ，若点 在圆外，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将圆 的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于 的不等式组，解之
即可得解.
【详解】由题意得，圆 的标准方程为 ，
故 ， ，又点 在圆外，所以 ，
， 或 ，所以m的取值范围为 ．故选：D.
5.设点 ，若直线 与线段 有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求得直线的斜率为 ，且恒过定点 ，求得 ，结合题
意，求得 或 ，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由直线 ，可得 ，
可得直线的斜率为 ，且恒过定点 ，则 ，
如图所示，要使得直线 与线段 有交点，则 或 ，
可得 或 ，即实数 的取值范围为 .
故选：A.
6.已知直线 ： 与直线 ： 交于点P(x ,y )，则 的最
0 0
大值为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【分析】首先根据已知条件得到直线 恒过定点 ，直线 恒过定点 ，且 ，
根据交点P(x ,y )得到点 在以 为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最
0 0
值.
【详解】由题知：直线 恒过定点 .
直线 化简为： ，当 时，x=6，直线恒过点
.
当 时，直线 的斜率不存在，直线 的斜率 ，则 .
当 时， ， ， ，则 .
综上：直线 恒过定点 ，直线 恒过定点 ，且 .
因为直线 与直线 交于点 ，
3
学科网（北京）股份有限公司所以点 在以 为直径的圆上，线段 的中点坐标为 ，
且 ，则其轨迹方程为 （除点 外），圆的半径 ，
因为 表示圆上的点到原点距离的平方，设 ，
则 ，所以 的最大值为64.
故选：D.
7.已知直线 与圆 交于不同的两点 ，O是坐标原点，且有
，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 中点为C，由条件得出 与 的关系结合点到直线
的距离解不等式即可.
【详解】设 中点为C，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，即 ，
又∵直线 与圆 交于不同的两点 ，∴ ，故
，则 ， .
故选：C．
8.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C： 就是其中之一 如图
，给出下列三个结论：
①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3
4
学科网（北京）股份有限公司②曲线C恰好经过8个整点 即横､纵坐标均为整数的点
③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．③ D．①
【答案】B
【分析】①根据曲线特征，分别令 ， ，分x轴上方，x轴下方，转化为与矩形和
等腰三角形的面积比较；②将x换成-x，由方程不变，得到图形关于y轴对称，先得到
， 时，曲线经过的点即可；③由 时，利用基本不等式求解.
【解析】①由方程 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
如图所示：
由图象可知：x轴上方，曲线C所围成的面积大于矩形ABCD的面积，
，
x轴下方，曲线C所围成的面积大于等腰三角形ABE的面积，
，
所以曲线C所围成的 “心形”区域的面积大于2+2=3，故正确；
②由方程 ，将x换成-x，方程不变，所以图形关于y轴对称，
令 ，得 ，即曲线C经过 ，
当 时，方程变为 ，由 ，解得 ，
所以 ，此时 ，解得 或 ，则曲线经过 ，
再由对称性知，曲线经过 ，所以曲线一共经过6个整点，故错误；
③当 时，方程为 ，则 ，即 （当且仅当
时等号成立），
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学科网（北京）股份有限公司所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ，故正确.故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错
的得0分.
9.对于直线 .以下说法正确的有（ ）
A． 的充要条件是 B．当 时，
C．直线 一定经过点 D．点 到直线 的距离的最大值为5
【答案】BD
【分析】求出 的充要条件即可判断A;验证 时，两直线斜率之积是否为-1，判断
B;求出直线 经过的定点即可判断C;判断何种情况下点 到直线 的距离最大，并求
出最大值，可判断D.
【详解】当 时， 解得 或 ，
当 时，两直线为 ，符合题意；
当 时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当 时，两直线为 ， ，
所以 ，故B正确；
直线 即直线 ，故直线过定点 ，C错误；
因为直线 过定点 ，当直线 与点 和 的
连线垂直时， 到直线 的距离最大，最大值为 ，
故D正确，故选：BD.
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学科网（北京）股份有限公司10.设圆 ，直线 ， 为 上的动点，过点 作圆 的两
条切线 、 ，切点分别为 、 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． 的取值范围为 B．四边形 面积的最小值为
C．存在点 使 D．直线 过定点
【答案】ABD
【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点 的坐标，求出以|PC|为直径的圆的
方程，利用两圆的方程相减得到公共弦 的方程，将代入直线 的方程恒成立，可得答
案.
【详解】圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，因为圆的半径为 ，根据切线长公式可得
，
当 时取等号，所以 的取值范围为 ，所以A正确；
因为 ，所以四边形 面积等于 ，
四边形 面积的最小值为 ，故B正确；
因为 ，所以 ，在直角三角形 中， ，所以
，设 ，因为 ，整理得 ，方程
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学科网（北京）股份有限公司无解，所以不存在点 使 ，故C不正确；
对于D，设 ，则 ， ，以|PC|为直径的圆的圆心为
，半径为 ，所以以|PC|为直径的圆的方程为
，化简得 ，所以
为圆 与以|PC|为直径的圆的公共弦，
联立可得 ，两式相减可得： ，即直线 的方
程为 ，即 ，故直线 过定点 ，故D正确；
故选：ABD
11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标
系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点 的曼哈
顿距离 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 ，则
B．若点 ，则在 轴上存在点 ，使得
C．若点 ，点 在直线 上，则 的最小值是3
D．若点 在 上，点 在直线 上，则 的值可能是4
【答案】ACD
【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，
借助几何意义求解判断C.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知 ，A正确；
对于B，设 ，则 ，B错误；
对于C，作 轴，交直线 于 ，过 作 ，垂足
为 ，如图①所示：
由曼哈顿距离的定义可知 ，而点 ，
当 不与 重合时，由直线 的斜率为 ，得 ，
则 ；当 与 重合时， ，
于是 ，因此 ，C正确．
对于D，如图②所示，取 ， ，则 ，D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.圆 与圆 的位置关系为 ．【答案】外离
13.经过两条直线 与 的交点，且在y轴上的截距是x轴上的3倍的
直线方程为 .
【答案】 或
14.已知圆O： 圆 ： ，则下列结论正确的是 ．
①无论k取何值，圆心 始终在直线 上；
②若圆O与圆 有公共点，则实数k的取值范围为 ；
③若圆O与圆 的公共弦长为 ，则 或 ；
④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公
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学科网（北京）股份有限公司切线叫做这两个圆的外公切线，当 时，两圆的外公切线长为 ．
【答案】①③④
【分析】求出圆C 的圆心坐标即可判断①；根据两圆有公共点的条件求出 的范围即可判
k
断②；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出 的值即可判断③；根据
的值求出圆 的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断④.
【详解】对于①，圆 的圆心坐标为 ，在直线 上，①正确；
对于②，若圆O与圆 有公共点，则 ，即 ，解得
或 ，②错误；
对于③，将圆O与圆 的方程作差可得公共弦所在直线的方程为
，
则圆心O到该直线的距离 ，则
，解得 或 ，③正确；
对于④，当 时，圆心距为3，圆O与圆 外切，半径差为1，则外公切线长为
，④正确．
故答案为：①③④
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：
（1）已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线 相切，过点 的动直线 与
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学科网（北京）股份有限公司圆A相交于 ，当 时，求直线 的方程．
（2）以 为圆心的圆与圆 相切，求圆 的方程.
【详解】（1）易知A(−1,2)到直线 的距离为圆A半径r，
所以 ，则圆A方程为
过A做 ,由垂径定理可知 ，且 ，
在 中由勾股定理易知
当动直线 斜率不存在时，设直线 的方程为 ，
经检验圆心到直线 的距离为 ，且根据勾股定理可知 ，
显然 合题意，
当动直线 斜率存在时， 过点 ，设 方程为： ，
由A(−1,2)到 距离为 知 得 ，
代入解之可得 ，
所以 或 为所求 方程．
（2）两圆的圆心之间的距离为 .
当两圆外切时，圆 的半径为 ；
当两圆内切时，圆 的半径为 .
∴圆 的方程为 或 .
故答案为： 或 .
16.已知直线 .
(1)求证：直线 过定点；
(2)若直线 不经过第二象限，求实数 的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司(3)若直线 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求 的方程.
【详解】（1）由 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以直线过定点 ；
（2）如图所示，结合图像可知，
当 时，直线斜率不存在，方程为 ，不经过第二象限，成立；
当 时，直线斜率存在，方程为 ，
又直线不经过第二象限，则 ，解得 ；
综上所述 ；
（3）已知直线 ，且由题意知 ，
令 ，得 ，得 ，
令 ，得 ，得 ，
则 ，
所以当 时， 取最大值，
此时直线 的方程为 ，即 .
17.已知以点 为圆心的圆经过原点 ，且与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
A、B异于原点
(1)求证： 的面积为定值．
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学科网（北京）股份有限公司(2)设直线 与圆 交于点 ， ，若 ，求圆 的方程．
(3)在（2）的条件下，设 ， 分别是直线 和圆 上的动点，求 的
最小值及此时点 的坐标.
【详解】（1）由题意可得圆的方程为： ，
化简可得 ，
与坐标轴的交点分别为： ， ，
为定值.
（2）如图所示， ， 原点 在线段 的垂直平分线上，
设线段 的中点为 ，则 ， ， 三点共线，
又 的斜率 ， ，解得 ，又 ，所以 ，可得圆心
， 圆 的方程为： ；
（3）如图所示，由（2）可知：圆心 ，半径 ， ，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 中点为 ，
且 ，解得 ，即 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又点 到圆上点 的最短距离为 ，
则 的最小值为 ，此时直线 的方程为： ，
点 为直线 与直线 的交点，
则 ，解得 ，即点 .
18.已知圆 过点 ，且与圆 关于直线 对称．
(1)判断圆 与圆 的位置关系，并说明理由；
(2)过点 作两条相异直线分别与 相交于 ， ．
若直线 和直线 互相垂直，求 的最大值；
①若直线 和直线 与 轴分别交于点 、 ，且 ， 为坐标原点，试
②判断直线 和 是否平行？请说明理由．
【详解】（1）由题可得圆 圆心为 ，设圆心 ，则 ，解
得 ，则圆 的方程为 ，将点 的坐标代入得 ，故圆 的方程为
，又两半径之和为 ， 圆 与圆 外切．
（2）方法一：令 、 即 ， 为过 点的两条弦，
设 、 被圆 所截得弦的中点分别为 、 ，弦长分别为 ， ，因为四边形 是矩
形，所以 ，即 ，化简得
从而 ， 时取等号，此时直线
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学科网（北京）股份有限公司， 必有一条斜率不存在）
综上： 、 被圆 所截得弦长之和的最大值为
方法二：若直线 与 中有一条直线的斜率不存在，
则 ，此时
若直线 与 斜率都存在，且互为负倒数，故可设 ，即
， ，
点 到 的距离为 ，同理可得点 到 的距离为 ，
，
，
综上： 、 被圆 所截得弦长之和的最大值为
②直线 和 平行，理由如下：
由题意知，直线 和直线 的斜率存在，且互为相反数，故可设 ，
，
由 ，得 ，
因为 的横坐标 一定是该方程的解，故可得 ，
同理，所以 ，
，
所以，直线 和 一定平行．
19.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按 方
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学科网（北京）股份有限公司向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人
甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．
已知 米，E为AB中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记 与
的夹角为 ．
(1)若 ，AD足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的 倍，
则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？
(2)若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，应如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长
度，才能确保无论 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形
区域ABCD内成功拦截机器人甲？
【详解】（1）解：根据题意，在 中，可得 ，
由正弦定理得： ，
可得 ，因为 为锐角，所以 ，
所以应在矩形区域 内，按照与 夹角为30°的向量 方向释放机器人乙，才能挑
战成功.
（2）解：以 所在直线为 轴， 中垂线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
设 ，根据题意，可得 ，所以
，
所以 ，
即点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的上半圆在矩形区域 内的部分，
所以，当 米时，能确保无论 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使
机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲．
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学科网（北京）股份有限公司
