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第三章 变量之间的关系
变量、自变量、因变量、常量
知识点一
变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变
量。
自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量
变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。
常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.
列表法
知识点二
列表法
采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的
一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接
从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
首先要明确表格中所列的是哪两个量；
分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；
结合实际情境理解它们之间的关系。
绘制表格表示两个变量之间关系
列表时首先要确定各行、各列的栏目；
一般有两行，行表示自变量，第二行表示因变量；
写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；
在行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之
间的关系。
解析式法
知识点三
解析法
关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值
求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量的代数式表示因变量，这样的
数学式子叫做关系式。
关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
求两个变量之间关系式的途径：
将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。
根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；
根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；
根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
关系式的应用：
利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；
同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；
根据关系式求值的实质就是解一元一次方程或求代数式的值。
图像法
知识点四
图像法
对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与
纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象。它是我们所表示两个变量之间
关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由
图象所确定的因变量的值往往是不准确的。
表示的步骤是：
①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。
②描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点来表示自变量，用竖直
方向的数轴上的点来表示因变量。
③连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。
图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。
图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。
用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点表示自变量，用竖直方向的数轴上
的点表示因变量。
图象上的点：
对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；
过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。
由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的
垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。
把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。
图象理解
理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；
看该点所对应的横轴、纵轴的位置；
从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义
理解图象上特殊点的含义，特别是图像的起点、拐点、交点
题型一 变量与常量
【例题1】（2022春•西昌市校级月考）从西昌到成都大约有560千米，某天小丽一家准备自驾车从西昌
到成都参观动物园，在这个过程中，如果设行驶速度为 千米 小时，行驶的时间为 小时，其中变量是
A．560、 B． 、 C．560、 D．560、 、
【分析】根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量
称为常量解答即可．
【解答】解：从西昌到成都大约有560千米，在这个过程中，行驶速度为 千米 小时，行驶的时间为 小
时，其中是变量的是 ， ．
故选： ．解题技巧提炼
通过变量与常量的定义去分析求解
【变式1-1】（2022秋•东台市月考）一支笔2元，买 支共付 元，则2和 分别是
A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量
【分析】根据常量、变量的定义进行判断即可．
【解答】解：由题意可知，
一支笔2元，是单价，是常量，
元是购买 支笔的总价，是变量，
故选： ．
【变式1-2】（2022秋•临平区月考）某辆速度为 的车从甲地开往相距 的乙地，全程所用
的时间为 ，在这个变化过程中，
A． 是变量 B． 是常量 C． 是常量 D． 是常量
【分析】根据常量、变量的定义结合具体问题情境进行判断即可．
【解答】解：某辆速度为 的车从甲地开往相距 的乙地，全程所用的时间为 ，在这个变
化过程中，
速度为 与所用的时间为 是变量，甲乙两地的距离 是常量，
故选： ．
【变式1-3】（2022春•兴平市期中）李师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中
常量是A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【分析】根据“常量与变量”的定义进行判断即可．
【解答】解：加油时，加油机上的单价所显示的数字是不变的，因此单价是常量，金额随着数量的变化而
变化，是变量，
故选： ．
题型二 用表格表示变量间关系
【例题2】（2022春•五华区校级期中）弹簧挂上物体后会伸长（在允许挂物重量范围内），测得一弹簧
的长度 与所挂的物体的重量 间有下表的关系：下列说法不正确的是
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
A．在弹性限度范围内， 随 增大而增大
B．在弹性限度范围内，物体质量每增加 ，弹簧长度 增加
C．所挂物体质量为 时，弹簧长度为
D．弹簧不挂重物时的长度为
【分析】根据在允许挂物重量范围内弹簧伸长长度与所挂物体重量成正比的关系进行求解．
【解答】解：由题意得，弹簧在允许挂物重量范围内所挂重物每增加 就增加 ；
弹簧不挂重物时的长度为 ；
在弹性限度范围内， 随 增大而增大；
因该弹簧的弹性限度范围不确定，故所挂物体质量为 时，弹簧长度是否为 不确定，
选项 、 、 不符合题意，选项 符合题意，
故选： ．解题技巧提炼
根据表格提供的信息找到变量之间的关系
【变式2-1】（2022春•市中区校级月考）父亲告诉小明，温度与海拔高度有关系，并给小明出示了下面
的表格：
海拔高度 0 1 2 3 4 5
20 14 8 2
温度
下列有关表格的分析中，不正确的是
A．表格中的两个变量是海拔高度和温度
B．自变量是海拔高度
C．海拔高度越高，温度就越低
D．海拔高度每增加 ，温度升高
【分析】根据函数的表示方法与概念判断即可．
【解答】解： 、表格中的两个变量是海拔高度和温度，正确，不合题意；
、自变量是海拔高度，正确，不合题意；
、海拔高度越高，温度就越低，正确，不合题意；
、海拔高度每增加 ，温度降低 ，不正确，符合题意；
故选： ．
【变式2-2】（2022春•渭城区期中）某地一河流受暴雨袭击，一天的水位记录如表，观察表中数据，水
位上升最快的时间是
时间 时 0 4 8 12 16 20 24
水位 米 2 2.5 3 4 5 6 8
A．20时 时 B．16时 时 C．12时 时 D．8时 时【分析】根据给定的表格计算每个选项中的时间水位上升的高度即可确定．
【解答】解：20时 时水位上升 （米 ，
16时 时水位上升 （米 ，
12时 时水位上升 （米 ，
8时 时水位上升 （米 ，
水位上升最快的时间是20时 时，
故选： ．
【变式2-3】（2022春•青山区期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系
的一些数据（如表）：下列说法错误的是
0 10 20 30
温度
318 324 330 336 342 348
声速
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为 时，声音 可以传播
D．当温度每升高 ，声速增加
【分析】根据函数的定义和表格中给出的信息可对各选项进行辨别．
【解答】解：由函数的定义可得，在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
选项 不符合题意；
由表格信息可得，温度越高，声速越快，
选项 不符合题意；
当空气温度为 时，声音 可以传播距离为 ，
选项 符合题意；
由题意得当温度每升高 ，声速增加 ，
选项 不符合题意；故选： ．
题型三 用关系式表示变量间关系
【例题3】（2022秋•阜平县期末）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此
规律，最后一个三角形中 与 之间的关系式是
A． B． C． D．
【分析】根据题意得：第1个图： ，第2个图： ，第3个图： ，
以此类推第 个图： ，即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
第1个图： ，
第2个图： ，
第3个图： ，
，
以此类推第 个图： ，
故选： ．解题技巧提炼
根据题目找出规律从而的出关系式
【变式3-1】（2022秋•合江县期中）我县某荔枝基地，2021年荔枝产量比2020年增长 ，2022年比
2021年增长了 ．若2020年和2022年该基地荔枝产量分别为 万斤和 万斤，则 ， 之间满足的关
系式是
A． B．
C． D．
【分析】根据2021年荔枝产量比2020年增长 ，2022年比2021年增长了 ，即可确定 和 的函
数关系式．
【解答】解：根据题意，得 ，
故选： ．
【变式3-2】（2022春•西安月考）用 元钱在网上书店恰好可购买50本某种书，但是每本书需另加邮
费6角，购买 本这种书带邮费共需 元，则可列出关系式为
A． B． C． D．
【分析】根据用 元钱在网上书店恰好可购买50本某种书，但是每本书需另加邮费6角，即可确定函数关
系式．
【解答】解：根据题意，得 ，
故选： ．
【变式3-3】（2022秋•商河县期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为 ，交叉重叠部分的圆
的直径为 ．（1）观察图形，填写如表；
2 3 4
链条节数 （节
4.2 5.9
链条长度
（2）请你写出 与 之间的关系式；
（3）如果一辆自行车的链条（安装前）共由40节链条组成，那么链条的总长度是多少？
【分析】（1）根据题意可知 时， 的值；
（2）根据表格可知 与 的关系式；
（3）将 代入（2）中函数关系式即可．
【解答】解：（1）当 时， ，
故答案为：7.6；
（2）根据题意，得 ，
与 的关系式为 ；
（3）当 时， ，
答：链条的总长度是 ．
题型四 用图象表示变量间关系
【例题4】（2022秋•沙坪坝区校级月考）如图，曲线表示某地某日空气质量指数 随时间 的变化情
况，则 最大时，对应的 的值约为A．8 B．12 C．16 D．20
【分析】结合图象可得 最大时，对应的 的值约为12．
【解答】解：根据图象可以看出 最大时，对应的 的值约为12．
故选： ．
解题技巧提炼
根据图像分析数据．
【变式 4-1】（2022 春•卫辉市期末）规定 表示不大于 的最大整数，例如 ， ，
．那么函数 的图象为
A． B．C． D．
【分析】根据定义可将函数进行化简．
【解答】解：由已知得：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
由以上可得 选项符合题意，
故选： ．
【变式4-2】（2022秋•杨浦区期末）如图：某人从甲地行走到乙地的路程 （千米）与时间 （小时）
的函数关系如图所示，那么此人行走5千米，所用的时间是 1.2 5 小时．
【分析】根据速度 路程 时间求出行驶的速度，再根据时间 路程 速度进行计算即可得解．
【解答】解：由图可知，速度 千米 时，
所以，行走5千米所用的时间 小时．
故答案为：1.25．【变式4-3】（2022秋•沙坪坝区校级期中）一辆汽车行驶的速度 与时间 之间的变化关系如
图所示，说法正确的是
A．时间是因变量，速度是自变量
B．汽车在 时匀速行驶
C．汽车在 时匀速行驶
D．汽车最快的速度是
【分析】观察图象，结合题意，明确横轴与纵轴的意义，依次分析选项可得答案．
【解答】解：速度是因变量，时间是自变量，故选项 不合题意；
汽车在 分钟时，速度在增加，故选项 不合题意；
汽车在 分钟，匀速运动，故选项 符合题意；
汽车最快速度是30千米 时，故选项 不符合题意；
故选： ．
题型五 动点问题的函数图像
【例题5】（2022秋•衢州期中）如图1，点 从 的顶点 出发，沿 匀速运动到点 ，
图2是点 运动时，线段 的长度 随时间 变化的关系图象，其中 为曲线部分的最低点，则
的面积是A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】根据图象可知点 在 上运动时，此时 不断增大，而从 向 运动时， 先变小后变大，
从而可求出 与 的长度．
【解答】解：根据图象可知点 在 上运动时，此时 不断增大，
由图象可知：点 从 向 运动时， 的最大值为5，
即 ，
由于 是曲线部分的最低点，
此时 最小，
如图，即 ， ，
由勾股定理可知： ，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
图象右端点函数值为5，
，
，
，
的面积为： ．故选： ．
解题技巧提炼
根据用关系式表示线段长度，从而得出图像．
【变式5-1】（2022•太康县校级模拟）如图1，在矩形 中，点 在边 上，连接 ，点 从点
出发，沿折线 以 的速度匀速运动至点 ．图2是点 运动时， 的面积
随时间 变化的函数图象，则 的值为
A．40 B．10 C．24 D．20
【分析】观察图象可得，当 运动到 时， ， 的面积为 ，当 运动到 时， ，
的 面 积 为 ， 设 ， 则 有 ， ， 且
，即可解得 的值．
【解答】解：由图2知，当 运动到 时， ， 的面积为 ，当 运动到 时， ，
的面积为 ，
， ， ， ，，
设 ，则 ，
①， ②，
① ②得： ，
，
在 中， ，
，
，，
即 ，
解得 （负值已舍去），
故选： ．
【变式5-2】（2022•南海区校级四模）如图，矩形 中， ， ， 是 的中点，点
在矩形的边上沿 运动，则 的面积 与点 经过的路程 之间的函数关系用图象
表示大致是
A． B．C． D．
【分析】根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选
项比较简单．
【解答】解：点 由 到 这一段中，三角形的 边上的高不变，因而面积是路程 的正比例函数，
当 到达 点时，面积达到最大，值是1，
在 由 到 这一段，面积随着路程的增大而减小，
到达 点，即路程是3时，最小是 ，
由 到 这一段，面积越来越小，
当 到达 时，面积最小变成0，
因而选项 符合题意．
故选： ．
【变式5-3】（2022•新市区校级三模）如图1，四边形 中， ， ， ，动
点 从点 出发，沿折线 方向以 单位 秒的速度匀速运动，在整个运动过程中， 的
面积 与运动时间 （秒 的函数图象如图2所示，则四边形 的面积是
A．144 B．134 C．124 D．114
【分析】从图2看， ， ，过点 作 交于点 ，在 中
， ， 则 ， 当 点 在 点 处 时 ，， 解 得 ， 则 四 边 形 的 面 积
，即可求解．
【解答】解：从图2来看， ， ，
过点 作 交于点 ，
，
，
在 中， ， ，
，
当点 在点 处时， ，
解得 ，
则四边形 的面积 ，
故选： ．
题型六 分段函数
【例题6】（2022春•通州区期中）已知函数 ，若 ，则 ．
【分析】根据题意，进行分类解答，即可求值．
【解答】解： ．当 时， ．
．
（舍去）．
当 时， ．
故答案为：2．
解题技巧提炼
利用表达式或图像进行求解．
【变式6-1】（2021秋•金华期末）国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：
①稿费不高于800元的不纳税；
②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的 的税；
③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的 的税．
试根据上述纳税的计算方法作答：
（1）若王老师获得的稿费为2400元，则应纳税 元，若王老师获得的稿费为4000元，则应纳税
元；
（2）若王老师获稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少元？
【分析】本题列出了不同的判断条件，要将本题中的稿费金额按照三种不同的条件进行分类讨论，然后再
根据等量关系列方程求解．
【解答】解：（1）若王老师获得的稿费为2400元，则应纳税224元，若王老师获得的稿费为4000元，则
应纳税440元；
（2）因为王老师纳税420元，所以由（1）可知王老师的这笔稿费高于800元，而低于4000元，
设王老师的这笔稿费为 元，根据题意得：
．
答：王老师的这笔稿费为3800元．【变式6-2】（2022春•长安区校级月考）张华上午 8点骑自行车外出办事，如图表示他离家的距离
（千米）与所用时间（小时）之间的函数图象．根据这个图象回答下列问题：
（1）在这个过程中自变量、函数各指什么？
（2）张华中途休息了多少时间？这时离家多远？
（3）他何时到达目的地？在那里逗留了多长时间？目的地离家多远？
（4）他何时返回？何时到家？返回的平均速度是多少？
【分析】通过函数图象判读即可求解．
【解答】解：（1）时间是自变量、距离是因变量；
（2） 休息了30分钟，这时离家15千米；
（3） 到达目的地，逗留了1个小时，目的地离家30千米；
（4） 开始返回， 到家，速度为 （千米 小时），
即返回的平均速度为每小时15千米．
【变式6-3】（2022秋•姜堰区月考）甲、乙两人驾车都从 地出发，沿一条笔直的公路匀速前往 地，
乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人分别到达 地后停止．已知 、 两地相距 ，设乙行驶
的时间为 ，甲、乙两人之间的距离为 ，表示 与 函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问
题：
（1）由图象可知，甲比乙迟出发 ，解释图象中点 与点 的实际意义；
（2）求甲、乙两人的速度．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得线段 所在直线的函数表达式，根据图形可以写出点 和
点 的实际意义；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲的速度．
【解答】解：（1）由图象可知，甲比乙迟出发 ；
设线段 所在直线的函数解析式为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
线段 所在直线的函数解析式为 ；
点 ：乙出发 小时时，甲乙两人相遇；
点 ：乙行驶5小时时，甲乙两人相距35千米；
故答案为：1；
（2）设甲的速度为 ，设乙的速度为 ，
由题意得： ，
解得 ，
答：甲的速度为 ，乙的速度为 ．
