2025年1月高考综合改革适应性测试（八省联考）数学PDF版含解析（可编辑）_❤2025年高考综合改革适应性演练（八省联考）

2025 年 1 月八省联考数学 一、单选题 1．已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4}，则A B=（ ） I A．{0} B．{1} C．{0,1} D．{-1,0,1,4} æ πö 2．函数 f(x)=cosçx+ ÷的最小正周期是（ ） è 4ø π π A． B． C．π D．2π 4 2 3．|2-4i|=（ ） A．2 B．4 C．2 5 D．6 4．已知向量a r =(0,1),b r =(1,0)，则ar×(ar-b r )=（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 y2 5．双曲线x2- =1的渐近线方程为（ ） 9 A．y=±x B．y=±2x C．y=±3x D．y=±4x 6．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） 3 A． π B．π C．2π D．3π 3 3 7．在 V ABC中，BC =8,AC =10,cosÐBAC = ，则 V ABC的面积为（ ） 5 A．6 B．8 C．24 D．48 8．已知函数 f(x)=x|x-a|-2a2，若当x>2时， f(x)>0，则a的取值范围是（ ） A．(-¥,1] B．[-2,1] C．[-1,2] D．[-1,+¥) 二、多选题 9．已知F(2,0)是抛物线C:y2 =2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A．p=4 B．|MF|³|OF| C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D．当ÐOFM =120°时，△OFM 的面积为2 3 试卷第1页，共4页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}10．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函 ex -e-x ex +e-x 数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinhx= ，双曲余弦函数coshx= ，双曲 2 2 sinhx 正切函数tanhx= ．则（ ） coshx A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 tanhx+tanhy C．双曲正切函数是增函数 D．tanhx+y= 1+tanhxtanhy 11．下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函 f(x)=ax(a>0,a¹1)，若 f(ln2)f(ln4)=8，则a= ． 13．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3 张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ． 2 14．已知曲线C:y=x3- ，两条直线l 、l 均过坐标原点O，l 和C交于M、N两点，l 和 x 1 2 1 2 C交于P、Q两点，若三角形 V OPM 的面积为 2，则三角形△MNQ的面积为 ． 四、解答题 15．为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联 表： 疾病 药物 合计 未患病 患病 试卷第2页，共4页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 (1)求s，t； (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为P，给出P的估计值； (3)根据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效? nad-bc2 附：c2 = ， a+bc+da+cb+d P  c2 ³k  0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 3a 16．已知数列a 中，a =3,a = n n 1 n+1 a +2 n ì 1 ü (1)证明：数列í1- ý为等比数列； î a þ n (2)求a 的通项公式； n a (3)令b = n+1，证明:b 2，x>2时， f(x)=x x-a -2a2 =í ， î-x2+ax-2a2,22时， f(x)>0，故a>2不符合题意； 当02时，f(x)=x x-a -2a2 =x2-ax-2a2 =x-2ax+a>0，解得x>2a， 由于x>2时， f(x)>0，故2a≤2，解得02时， f(x)=x2 >0恒成立，符合题意； 当a<0，x>2时， f(x)=x x-a -2a2 =x2-ax-2a2 =x-2ax+a>0，解得x>-a， 答案第2页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}由于x>2时， f(x)>0，故-a£2，解得-2£a<0. 综上-2£a£1. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对a分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解 x>2时的 f x=x x-a -2a2 =x2-ax-2a2 =x-2ax+a>0的解集，从而可求解. 9．ABC 【分析】根据焦点坐标求出p=4判断A，根据抛物线定义判断B，C，应用已知联立方程 求出点的坐标计算判断三角形的面积判断D. p 【详解】因为F(2,0)是抛物线C:y2 =2px的焦点，所以 =2，即得p=4，A选项正确； 2 设Mx ,y 在y2 =8x上，所以x ³0， 0 0 0 p p 所以 MF =x + ³ = OF ，B选项正确； 0 2 2 因为以M为圆心且过F的圆半径为 MF =x +2等于M与C的准线的距离，所以以M为圆 0 心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确； 当ÐOFM =120°时,x >2, 0 y 0 =tan60°= 3，且y2 =8x ，y >0， x -2 0 0 0 0 4 3 所以 3y2-8y -16 3=0,y =4 3或y =- 舍 0 0 0 0 3 1 所以△OFM 的面积为S = OF ´ y =4 3，D选项错误. VOFM 2 0 故选：ABC. 10．ACD 【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双 曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可得；对D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数， 分别将等式左右两边化简即可得. 答案第3页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}ex -e-x 【详解】对A：令 fx=sinhx= ， 2 ex+e-x 则 f¢x= >0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 2 ex +e-x 对B：令gx=coshx= ， 2 则g¢x= ex -e-x ，由A知，g¢x为增函数，又g¢0= e0-e0 =0， 2 2 故当xÎ-¥,0时，g¢x<0，当xÎ0,+¥时，g¢x>0， 故gx在-¥,0上单调递减，在0,+¥上单调递增，故B错误； ex-e-x sinhx 2 ex-e-x e2x-1 2 对C：tanhx= = = = =1- ， coshx ex+e-x ex+e-x e2x+1 e2x+1 2 由y=e2x+1在R上单调递增，且y=e2x+1>1， 2 故tanhx=1- 是增函数，故C正确； e2x+1 e2x-1 e2x+2y -1 对D：由C知tanhx= ，则tanhx+y= ， e2x+1 e2x+2y +1 e2x-1 e2y -1 tanhx+tanhy e2x+1 + e2y +1  e2x-1  e2y +1  +  e2y -1  e2x+1  = = 1+tanhxtanhy e2x-1 e2y -1  e2x+1  e2y +1  +  e2x-1  e2y -1  1+ × e2x+1 e2y +1 e2x+2y +e2x-e2y -1+e2x+2y -e2x+e2y -1 2e2x+2y -2 e2x+2y -1 = = = ， e2x+2y +e2x+e2y +1+e2x+2y -e2x-e2y +1 2e2x+2y +2 e2x+2y +1 tanhx+tanhy 故tanhx+y= ，故D正确. 1+tanhxtanhy 故选：ACD. 11．ABD 【分析】对A，原图中的圆环无法解开，对BC转化为三叶结问题即可；对D通过绳数即可 判断. 【详解】对于A选项：原图中的圆环不可解开，则无法无损变为一个圆，\无法得到A选 项； 对于D选项：为三个圆，不是一根绳，\无法得到D选项； 对于B,C选项：根据左手三叶结和右手三叶结不能无损转换，而BC情形为三叶结变体， 则BC至少有一个无法无损伤得到， 两者为手性，即镜像（即只能在镜子中相互重叠），再通过考场身边道具（如鞋带，头发） 答案第4页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}进行实验可知：可以得到C选项，无法得到B选项. 故选：ABD． 12．e 【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案. 【详解】由 f ln2 f ln4=8，可得aln2×aln4 =8， 即aln2+ln4 =a3ln2 =8，也即 aln23 =23， Q a>0且a¹1，\aln2 =2， 两边取对数得：ln2×lna=ln2，解得a=e. 故答案为：e. 3 13． 56 【分析】先写出基本事件总数C3，再求出所有卡片上的数字之和，得到抽出的3张卡片上 8 的数字之和应为18，列举出和为18的3张卡片即可求解. 8´7´6 【详解】从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为C3 = =56， 8 3´2 因为1+2+3+4+5+6+7+8=36， 所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等， 则抽出的3张卡片上的数字之和应为18， 则抽出的3张卡片上的数字的组合有8,7,3或8,6,4或7,6,5共3种， 所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点个数共3个， 3 所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 . 56 3 故答案为： . 56 14．2 2 【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案. 2 【详解】由于x,y和-x,-y都符合y= x3- ,x¹0， x 答案第5页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}2 所以曲线C的图象关于原点对称，当x>0时，函数y=x3- 单调递增， x 由此画出曲线C的大致图象如下图所示， 两条直线l 、l 均过坐标原点O，所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称， 1 2 根据对称性，不妨设M,N,P,Q位置如图， 可知OP = OQ,OM = ON ，ÐPOM =ÐQON， 所以△OPM @△OQN，所以S =S = 2 ， △OQN △OPM 而 OQM 和△OQN 等底等高，面积相同，所以S = 2， V △OQM 所以S =2 2. △MNQ 故答案为：2 2 【点睛】方法点睛：利用曲线对称性：充分利用曲线关于原点对称的性质，确定点的对称关 系，这是解决本题的基础.通过对称关系，能够推导出相关线段和三角形之间的等量关系， 为后续的面积计算提供依据. 15．(1)s=180，t =150 4 (2) 9 (3)能认为药物A对预防疾病B有效 【分析】（1）根据列联表求和即可； （2）用频率估计概率，计算即可； （3）根据公式计算c2，然后根据临界值表分析判断即可. 【详解】（1）由列联表知s=100+80=180，t =80+70=150； （2）由列联表知，未服用药物A的动物有s=180（只）， 未服用药物A且患疾病B的动物有80（只）， 答案第6页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}80 4 所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为 = ， 180 9 4 所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为P= ； 9 （3）零假设为H ：药物A对预防疾病B无效， 0 400100´70-150´802 2000 由列联表得到c2 = = »6.734>6.635， 180´220´250´150 297 根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断H 不成立， 0 即认为药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.01， 所以根据小概率值a=0.01的独立性检验，能认为药物A对预防疾病B有效. 16．(1)证明见解析； 3n (2)a = ； n 3n-2n (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明； ì 1 ü （2）由（1）求得数列í1- ý的通项公式，再求a 即得； î a þ n n a （3）将（2）中得到的a 的通项代入b = n+1求得b ，化简后利用数列的单调性即可得证. n n a n n 3a 1 a +2 2 1 1 【详解】（1）由a = n 得 = n = × + ， n+1 a +2 a 3a 3 a 3 n n+1 n n 1 2 2 1 2æ 1 ö 则1- = - × = ç1- ÷， a 3 3 a 3è a ø n+1 n n ì 1 ü 1 2 2 所以数列í1- ý是首项为1- = ，公比为 的等比数列. î a n þ a 1 3 3 1 2 æ2ö n-1 æ2ö n （2）由（1）得1- = ´ç ÷ =ç ÷ , a 3 è3ø è3ø n 1 3n a = = 解得： n æ2ö n 3n-2n . 1-ç ÷ è3ø 答案第7页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}æ3ö n æ3ö n （3）b = a n+1 = 3n+1 × 3n-2n = 3·  3n-2n = 3·ç è2 ÷ ø -3 = 3·ç è2 ÷ ø -2-1 =1- æ3 1 ö n . n a 3n+1-2n+1 3n 3n+1-2n+1 æ3ö n æ3ö n 3×ç ÷ -2 n 3·ç ÷ -2 3·ç ÷ -2 è2ø è2ø è2ø 令 f n=3× æ ç 3ö ÷ n -2，nÎ1,+¥， è2ø 因为 f n=3× æ ç 3ö ÷ n -2在nÎ1,+¥上单调递增，则 f n³ f 1=3´ 3 -2= 5 >0 è2ø 2 2 ì ü ï ï ï 1 ï 所以数列í ý在nÎN*上单调递减，从而数列b 在nÎN*上单调递增，且b <1， ï æ3ö n ï n n 3×ç ÷ -2 ï î è2ø ï þ 故得b 1 【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点1,-3，然后可得切线方程； （2）由x=1是 f(x)的极小值点，可得a=b+1，然后据此讨论 f(x)的单调性，分析得 f(x)在 x=1时的极值情况，从而得解. 2 【详解】（1）当a=1,b=-2时， f(x)=lnx- -x，其中x>0， x 1 2 x-x2+2 x-x2+2 则 f¢(x)= + -1= ，令 f¢(x)=2Þ =2， x x2 x2 x2 化简得3x2-x-2=x-13x+2=0，解得x=1（负值舍去）， 又此时 f(1)=-3，则切线方程过点1,-3，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为y+3=2x-1，即2x-y-5=0. a b -x2+ax-b （2）由题可得 f(x)定义域为0,+¥， f¢(x)= - -1= ， x x2 x2 因x=1是 f(x)的极小值点，则 f¢(1)=-1+a-b=0Þa=b+1， -x2+b+1x-b x-1x-b 则 f¢(x)= =- ， x2 x2 若b£0，令 f¢(x)>0ÞxÎ0,1，令 f¢x<0ÞxÎ1,+¥， 答案第8页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}则 f(x)在0,1上单调递增，在1,+¥上单调递减， 得x=1是 f(x)的极大值点，不满足题意； 若00ÞxÎb,1，令 f¢x<0ÞxÎ0,b U 1,+¥， 则 f(x)在b,1上单调递增，在0,b,1,+¥上单调递减， 得x=1是 f(x)的极大值点，不满足题意； x-12 若b=1，则 f¢(x)=- <0， f(x)在0,+¥上单调递减，无极值，不满足题意； x2 若b>1，令 f¢(x)>0ÞxÎ1,b，令 f¢x<0ÞxÎ0,1 U b,+¥， 则 f(x)在1,b上单调递增，在0,1,b,+¥上单调递减， 得x=1是 f(x)的极小值点，满足题意； 综上，x=1是 f(x)的极小值点时，b>1. x2 y2 18．(1) + =1 4 3 (2)证明见解析 (3)点M 的轨迹是圆，该圆的方程为x-12+y2 =16 1 【分析】(1)根据椭圆焦点坐标得c=1，离心率为 ，得a=2，从而求出b，得出椭圆方程； 2 (2)写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点； (3)解法一：利用设直线方程联立椭圆方程的方法，根据判别式等于0，即可求解. 解法二：利用椭圆定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到 MF =4，从而得到 2 点M 的轨迹和轨迹方程. 【详解】（1）因为椭圆左、右焦点分别为𝐹 (−1,0)，𝐹 (1,0)，所以c=1，又因为椭圆C的 1 2 1 离心率为 ， 2 x2 y2 得a=2,\b2 =3，所以椭圆方程为 + =1. 4 3 （2）由M 1,4，𝐹 (−1,0)得直线M F斜率为k =2，中点坐标为(0,2)， 0 1 0 1 1 所以线段FM 的垂直平分线方程为y = - x + 2， 1 0 2 联立垂直平分线方程和椭圆方程 答案第9页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}ìx2 y2 ï + =1 ï 4 3 3 í 得x2-2x+1=0，𝑥=1，y= 1 2 ï y=- x+2 ïî 2 D=4-4=0，所以直线与椭圆相切， Q æ 3ö 线段FM 的垂直平分线与C恰有一个公共点ç1, ÷； 1 0 è 2ø （3）解法一：设Mx ,y ， 0 0 x -1 当y =0时，FM 的垂直平分线方程为x= 0 ， 0 1 2 x -1 此时 0 =±2,x =5或-3； 2 0 x +1æ x -1ö y x +1 x2+y2-1 当y ¹0时，FM 的垂直平分线方程为y=- 0 ç x- 0 ÷+ 0 =- 0 x+ 0 0 ， 0 1 y è 2 ø 2 y 2y 0 0 0 ì x +1 x2+y2-1 ïy=- 0 x+ 0 0 联立í y 2y ， 0 0 ï î3x2+4y2 =12 é x2+y2-1 2 x +1 x2+y2-1  x +12ù 得3x2+4ê 0 0 - 0 0 0 x+ 0 ú=12， ê 4y2 y2 y2 ú ë 0 0 0 û é 4x +12ù 4x +1 x2+y2-1   x2+y2-1 2 即ê3+ 0 úx2- 0 0 0 x+ 0 0 -12=0 ê y2 ú y2 y2 ë 0 û 0 0 因为线段FM 的垂直平分线与C恰有一个公共点， 1 16x +12 x2+y2-1 2 é 4x +12ùé x2+y2-1 2 ù 故Δ= 0 0 0 -4ê3+ 0 úê 0 0 -12ú=0， y4 ê y2 úê y2 ú 0 ë 0 ûë 0 û 3  x2+y2-1 2 48x +12 即 0 0 -36- 0 =0， y2 y2 0 0 则y4+  2x2-14  y2+x4-18x2-32x -15=0， 0 0 0 0 0 0 即y4+  2x2-14  y2+x +12x +3x -5=0， 0 0 0 0 0 0 y4+  2x2-14  y2+  x2+2x +1  x2-2x -15  =0， 0 0 0 0 0 0 0 即  y2+x2+2x +1  y2+x2-2x -15  =0， 0 0 0 0 0 0 x2+y2+2x +1=x +12+y2 >0,\x2+y2-2x -15=0， Q 0 0 0 0 0 0 0 0 答案第10页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}而5,0，-3,0也满足该式， 故点M 的轨迹是圆，该圆的方程为x2+y2-2x-15=0，即x-12+y2 =16. 解法二：设线段FM 的垂直平分线l与C恰有一个公共点为P， 1 则当点P不在长轴时，线段FM 的垂直平分线l即为点P处的切线， 1 也为ÐFPM 的角平分线， 1 作ÐFPF 的角平分线PH，根据椭圆的光学性质得PH ^l， 1 2 \ÐFPE+ÐFPH =90o，则ÐF PH +ÐEPM =90o， 1 1 2 故ÐF PF +ÐFPM =180o， 2 1 1 所以M,P,F 三点共线，所以 MF = MP + PF = PF + PF =4， 2 2 2 1 2 所以点M 的轨迹是以F 为圆心，4为半径的圆， 2 当P在椭圆长轴上时，M点为5,0或-3,0也满足 MF =4， 2 故点M 的轨迹是圆，该圆的方程为x-12+y2 =16. 【点睛】方法点睛：判断直线与椭圆公共点的个数问题的方法是： (1)首先根据题意得到直线和椭圆方程； (2)联立直线和椭圆方程，消元得到一元二次方程； (3)计算D，根据D>0,D<0,D=0，判断直线与椭圆公共点的个数. 5 19．(1)（i）证明见解析；（ii）球O的半径为 ； 2 3 (2) . 3 【分析】（1）（i）由题设求证AB^AC，即可由线面垂直的判定定理得AB^平面PAC，再 答案第11页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}由面面垂直判定定理得证；（ii）建立以A为原点空间直角坐标系A-xyz，设球心Oa,b,c， 半径R，由AO=BO=CO=PO=R列方程组即可计算求解. （2）过P作PG^ AC于G，在平面ABC中，过G作GM ^ AC，设ÐPGM =q， qÎ0,π，以G为原点建立空间直角坐标系G-xyz，求平面PAC和平面PBC的一个法向 量，由空间向量夹角公式，通过换元结合二次函数的性质求解即得. 【详解】（1）在 ACD中，由AC =CD=1，ÐADC=30°得ÐCAD=ÐADC =30°， V 所以AD=2ACcosÐDAC =2´1´cos30o = 3，且ÐBAC =ÐDAB-ÐCAD=120°-30°=90°， 即AB^AC， （i）证明：因为AB^AC，PC ^ AB，PCÇAC =C，PC、ACÌ平面PAC， 所以AB^平面PAC，又ABÌ平面ABC， 所以平面PAC ^平面ABC； （ii）以A为原点，AB,AC分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系A-xyz， æ 3 3ö 则A0,0,0,B1,0,0,C0,1,0,Pç0, , ÷，设球心Oa,b,c，半径R， ç 2 2 ÷ è ø 则AO=BO=CO=PO=R， 所以a2+b2+c2 =a-12 +b2+c2 =a2+b-12 +c2 =a2+ æ çb- 3ö ÷ 2 + æ ç ç c- 3ö ÷ ÷ 2 =R2， è 2ø è 2 ø 1 1 3 5 5 解得a= ,b= ,c= ,R= ，所以球O的半径为 ； 2 2 2 2 2 （2）在平面PAC中，过P作PG^ AC于G，在平面ABC中，过G作GM ^ AC， 3 3 则由（1）AG= 3cos30o = ,PG= 3sin30o = ， 2 2 设ÐPGM =q,qÎ0,π，以G为原点，GM,CG分别为x轴和y轴正方向建立如图所示的空 间直角坐标系G-xyz， 答案第12页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}æ 3 ö æ 3 ö æ 1 ö æ 3 3 ö 则G0,0,0,Aç è 0,- 2 ,0÷ ø ,Bç è 1,- 2 ,0÷ ø ,Cç è 0,- 2 ,0÷ ø ,Pç ç è 2 cosq,0, 2 sinq÷ ÷ ø ， uuur uuur uuur æ 3 1 3 ö 所以CA=0,-1,0,CB=1,-1,0,CP=ç cosq, , sinq÷， ç 2 2 2 ÷ è ø 设平面PAC和平面PBC的一个法向量分别为𝑚=(𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )，𝑛=(𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )， 1 1 1 2 2 2 ì ïmr ^C uu A ur ì ïnr^C uu P ur 则í ïîmr ^C uu P ur ，í ïînr^C uu B ur ， ìmr×C uu A ur =-y =0 ìnr×C uu B ur =x -y =0 ï 1 ï 2 2 所以í ïmr×C uu P ur = 3 x cosq+ 1 y + 3 z sinq=0 ，í ïnr×C uu P ur = 3 x cosq+ 1 y + 3 z sinq=0 ， î 2 1 2 1 2 1 î 2 2 2 2 2 2 æ 3cosq+1ö 取x =sinq，x =1，则mr =sinq,0,-cosq，nr=ç1,1,- ÷， 1 2 ç è 3sinq ÷ ø   3cosq+1 cosq sinq+ 所以cos mr,nr = m m r r × n n r r = æ 3co 3 s s q in + q 1ö 2 = -3cos2 c q os + q 2 + 3 3 cosq+7 ， 2+ç ÷ è 3sinq ø 令t =cosq+ 3，则cosq=t- 3,由qÎ0,π得tÎ  3-1, 3+1  ，则 1 Î æ ç 3-1 , 3+1ö ÷， t ç 2 2 ÷ è ø t 1 cos mr,nr = = 则 -3t2+8 3t-8 8 8 3 - + -3 t2 t 1 1 3 = ³ = æ1 3ö 2 3 3 ， -8ç - ÷ +3 t 2 è ø 1 3 2 3 3 当且仅当 = 即t = ，cosq=- 时等号成立， t 2 3 3 3 所以二面角A-CP-B的余弦值的最小值为 . 3 答案第13页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}【点睛】方法点睛：求空间二面角常用方法： （1）定义法：根据定义作出二面角的平面角； （2）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的两条交线所成的角就是二面角 所成角的平面角； （3）向量坐标法：作空间直角坐标系，求出二面角的法向量，由空间向量的夹角公式计算 即可； （4）射影面积法：求出斜面面积和它在有关平面的射影的面积，再由射影面积公式计算求 解. 答案第14页，共14页 {#{QQABI0aozuKQ1BbgyBY6Q2PqyAuQ8IbyJQxO1RYR60WJ/ptAHAA=}#}