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高三第一次阶段性考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合 ，则 （ ）．
A． B．
C． D．
2．设 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
3．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天
体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若
将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是（ ）．
（ ， ）
A．40 B．41 C．42 D．43
4．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且A，B，C，D四个顶点在同一平面内，下列结论：①
平面 ；②平面 平面 ；③ ；④平面 平面 ．正确命题的个数为（
）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．过抛物线 ，焦点F倾斜角为 的直线交抛物线于A，B，则 （ ）．
A． B． C．1 D．16
6．为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承
担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的
分工方法种数为（ ）．
A．9种 B．11种 C．15种 D．30种
7．设实数x，y满足 ， ， ，则 的最小值为（ ）．
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
8．已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）
9．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千
克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）．
A．频率分布直方图中a的值为0.04
B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20
C．这100名学生体重的众数约为52.5
D．据此可以估计该校学生体重的75％分位数约为61.25
10．已知圆 ，下列说法正确有（ ）．
A．对于 ，直线 与圆O有两个公共点
B．圆O与动圆 有四条公切线的充要条件是
C．过直线 上任意一点P作圆O的两条切线 ， （A，B切点），则四边形 的面积
的最小值为4
D．圆O上存在三点到直线 距离均为1
11．已知函数 ，下列命题正确的有（ ）．
A． 在区间 上有3个零点
B．要得到 的图象，可将函数 图象上的所有点向右平移 个单位长度
学科网（北京）股份有限公司C． 的最小正周期为 ，最大值为1
D． 的值域为
12．设椭圆的方程为 ，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段
的中点．下列结论正确的是（ ）．
A．直线 与 垂直
B．若点M坐标为 ，则直线方程为
C．若直线方程为 ，则点M坐标为
D．若直线方程为 ，则
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知夹角为 的非零向量 ， 满足 ， ，则 __________．
14．定义在R上的函数 ， ，满足 为偶函数， 为奇函数，若
，则 __________．
15．设x，y均为非零实数，且满足 ，则 __________．
16．正三棱锥 的高为 ，M为 中点，过 作与棱 平行的平面，将三棱锥分为上下两
部分，设上、下两部分的体积分别为 、 ，则 __________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
学科网（北京）股份有限公司17．（本小题10分）
已知各项均不相等的等差数列 的前五项和 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 为数列 的前项和，求 ．
18．（本小题12分）
为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A、B、
C三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种
植三次．在每次种植A后，会有 的可能性种植B， 的可能性种植C；在每次种植B的前提下再种植A的
概率为 ，种植C的概率为 ，在每次种植C的前提下再种植A的概率为 ，种植B的概率为 ．
（1）在第一次种植B的前提下，求第三次种植A的概率；
（2）在第一次种植A的前提下，求种植A作物次数X的分布列及期望．
19．（本小题12分）
如图，在平面四边形 中， ， ， ．
（1）试用 表示 的长；
（2）求 的最大值．
20．（本小题12分）
在长方体 中， ， ．点E是线段 上的动点，点M为 的中点．
学科网（北京）股份有限公司（1）当E点是 中点时，求证：直线 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长．
21．（本小题12分）
若 ．
（1）当 ， 时，讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 有两个极值点 ， ，证明： ．
22．（本小题12分）
如图，椭圆 的焦点分别为 ， ，A为椭圆C上一点，
的面积最大值为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若B、D分别为椭圆C的上、下顶点，不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于P、Q（P在上方，Q在下方，
且均不与B，D重合）两点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，求 面积的最大值．
数学答案和解析
1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D
9．ACD 10．BC 11．BC 12．BCD
3．2 14．1 15．1
16．
学科网（北京）股份有限公司解：如图（a），连接 并延长 交于点D，连接 并与 的延长线交于点E，
过E作 ，分别与 、 交于点F，G，
则平面 就是过 且与棱 平行的平面．
（a） （b）
如图（b），过点M作 ，
由平行线性质与中位线定理得 ，
设 ，则 ， ， ， ．
故 ，故 ，
设点A到面 距离为h．
因此 ．
故答案为： ．
17．【解析】（1）设数列 的公差为d，
则 ，即 ．
又因为 ，所以 ．所以 ．（5分）
学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ，（7分）
所以 ．（10分）
18．【答案】解：设 ， ， 表示第i次种植作物A，B，C事件，其中 ，2，3．
（1）在第一次种植B的情况下，第三次种植A的概率为
．（4分）
（2）由已知条件，在第1次种植A的前提下：
， ， ，
， ， ，（6分）
因为第一次必种植A，则随机变量X的可能取值为1，2，
，
，
所以X的分布列为：
X 1 2
P
（8分）
．（12分）
19．解：（1）因为 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，（2分）
在 中， ，
所以 ．（5分）
（2）在 ， ，
所以 ．（8分）
因为 ，所以 ，
当 时，取到最大值 ．
故 的最大值是 ．（12分）
20．（1）证明：取 的中点N，连结 ， ， ，
， ，
∴四边形 为平行四边形，可知 ．（2分）
平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．（4分）
（2）解：设 ，如图建立空间直角坐标系．
学科网（北京）股份有限公司， ， ， ，（6分）
， ， ， ，（7分）
平面 的法向量为 ，由 及 得 ，
平面 的法向量为 ，
由 及 得 ，（10分）
，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ．（12分）
21．（1）解：因为 ，
所以当 ， 时，
．（1分）
令 ，解得 或2．
若 ，则当 或 时， ；当 时， ．
所以函数 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司在 上单调递减，在 上单调递增．
若 ， ，故函数 在 上单调递增．
若 ，当 或 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．（4分）
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．（6分）
（2）证明：当 时， ．
因为函数 有两个极值点 ， ，所以方程 有两个正根 ， ，
所以 ，且 ，即 ．（8分）
由题意得
．（10分）
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ．（12分）
22．【答案】解：（1） ，
∴ ， ，故椭圆C的方程为 ．（4分）
学科网（北京）股份有限公司（2）依题意设直线 的方程为 ， ， ，
， ，
联立方程组 消元得： ，
∴ ， ，（6分）
，
由 得： ，
两边同乘 ，得 ，
即 ．（8分）
将 ， ，
代入上式得：
，
整理得： ，所以 或 （舍），（10分）
，
当且仅当 时等号成立，满足条件，
学科网（北京）股份有限公司所以 面积的最大值为 ．（12分）
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