一模高三数学答案_2024年2月_01每日更新_15号_2023届辽宁省协作校高三下学期第一次模拟考试全科_2023届辽宁省协作校高三下学期第一次模拟考试数学

参考答案
一1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A
二．9.AB 10.AD. 11.ABD 12.ABD
 1 1
三． 13. 14.0.76 15.[ ,12] 16. ( , )
9 3 3
21
2
四、解答
17. 【 解 答 】 （ 1 ） 因 为 cos2 Acos2Bcos2C 1sinBsinC 所 以
sin2 Asin2Bsin2CsinBsinC ，
b2 c2 a2 1
由正弦定理可得a2 b2 c2 bc，所以cosA  ，因为A(0,)，
2bc 2

则A ． 5分
3
 1  
（2）由题意AM  (AB AC)，
2
则  A  M  2  1 (  A  B    A  C  )2  1 (b2 c2 bc) 1 [(bc)2 bc] 1 [(bc)2 ( bc )2] 27 ，
4 4 4 4 2 4
 3 3 3 3
则|AM | ，即ABC 的中线AM 的最小值为 ．当且仅当 bc3 取最小值
2 2
10分

18.（12分）解：(1)因为DAB ，且AP AB1,故BP1,在PDC中，
3
2
PD DC 1,PDC  , 所 以 PC  3 ， 在 BPC
3
中,BP1,PC  3,BC 2所以BPPC，又因为BE PC,BPIBE  E,BE,BP
平面BPE，所以PC 平面BPE 4分
(2) 选①
取BP中点为O,因为BE  PE,故EOBP,由（1）得EOPC,BPIPC  P,所以

EO平面ABCD，所以EAO为AE与平面ABCD所成的角，即EAO ,ABP为
4
3
等边三角形，边长为1，所以EO AO ,EBP为等边三角形 6分
2
（解法1） 取PE中点M ，过M 作MN EC于N ,连接NB,BM
因EBP等边,所以BM EP，由（1）知BM PC EPIPC  P，所以BM 平面EPC
由MN EC,故BN EC,BNM 是二面角PECB的平面角, 8分
13
在直角EPC中,EP1,PC  3,点M 是EP的中点，所以MN  ,在直角BMN
4
3
2
中tanBNM  2, 10分
3
4
5
所以余弦值为 12分
5
uur uuur uuur
解法2：以O为原点，OA,OP,OE为在x,y,z轴正方向建立空间直角
坐标系得
1 1 1 3
P(0, ,0),B(0, ,0),C( 3, ,0),E(0,0, ) ,
2 2 2 2
uur uuur uuur
1 3
EP(0, , ),PC ( 3,0,0),BC ( 3,1,0)
2 2
ur uur 1 3
ur  n EP0  y  z 0
设n (x ,y ,z )是平面EPC 的法向量,则ur 1 uuur ,2 1 2 1 ，
1 1 1 1
n PC 0 
1   3x 0
1
ur
取n (0, 3,1) 8分
1
uur uur 1 3
uur  n BE 0  y  z 0
设n (x ,y ,z )为平面EBC的法向量,uur 2 uuur ,2 2 2 2 ，
2 2 2 2
n BC 0 
2   3x  y 0
2 2
uur
取n (, 3,1)
2
9分
ur uur
ur uur n n 5
设n，n 所成的角为，则cos ur1 uu2r  ， 11分
1 2 |n ||n | 5
1 2
5
二面角的余弦值为 12分
5
3
选②取BP中点为O，由（1）得EO平面ABCD，设D到平面EPC 的距离为h,h ，
4
1
由已知得ABC等边三角形，BP1，设EO x 则EP x2 
， 4
V V 1 1
因为 EPDC DEPC，即 S EO S h，
3
PDC
3
EPC
21 1 1 1 3
即  PDDCsin1200EO  EPPCh，可求得x
3 2 3 2 2
3
可求得EO , 6分
2
以解法下同①的解法
19.解：（1）当 时， ，
1
当  时=，1  1 =  1 =2
−1 1 1
经  检≥验2，   =时   ，−   −1 =也符  +1合−上  式，=   +1 =  2 + 
1
所以数列  的=通1项公式  1为=2 ……………3分
1
（2）易知  ，  两边取倒数得  ：  =  2 +  ，整理得： ，
1   +2 1 1
∴   >是0以首项为  ，  +1公=比  为  2的等比数列   +，1+1=2   +1
1 1
∴   +1 ，  ∴1+1=2 …………6分
1  −1 1
（3）由   （+11）（=22）×问2可知欲比   较=2  −1 与 的大小，
1 1
即比较 与 的大小   +1 =2  +1 −1   =  2 + 
+1 2
当 时， ， ，有3>2；
2 −1  + 
1+1 2
当 时, ， ，有7>6；
=1 2 −1=3 1 +1=2
2+1 2
当 时, ， ，有15>12；
=2 2 −1=7 2 +2=6
3+1 2
猜想 ，下面证明 …………8分
=3 2 −1=15 3 +3=12
+1 2
方法一 2 .当 −n1  >4 时  + 
2n11(11)n+11C0 C1 C2 Cn1Cn Cn112C0 2C1 2C2 1
n+1 n+1 n+1 n1 n1 n+1 n1 n1 n1
=22(n1)(n1)n1n2 n
所以对于任意的 都成立 ，进而 < . ……………12分
方法二.令 f(x)  2∈x  1+1x2 x，则   +1  
f(x)2x1ln22x1, f(x)2x1(ln2)2 22x1(ln e)2 22x12当x 4,
时，
f(x)2x120， f(x)在x 4,
单调增，
1
f(x) f(4)2x1ln22x125 24170, f(x)在x 4,
单调增，
2
f(x) （f 4）241142 4110，所以2x11x2 x0，即2x11x2 x
所以对于任意的 都成立 ，进而 < . ……………12分
方法三  ∈  +   +1  
3下面用数学归纳法证明①当 时,显然成立
当 时,显然成立
=1
②假设  =2 时（ k  2 ），猜想成立，即 成立，
+1 2
那么当  =  时， 2 −1>  + 
+2  +1  +1
=  +1 2 −1= 2∙2 −1= 2∙(2 −1)+1
2 2
因为
>2∙(  +  )+1=2  +2  +1
2 2 2
对任意的 且 上式都大于0，
2  +2  +1 −[  +1) +  +1 =  −  −1
所以有  ≥2  ∈  +
+2 2
综上所述， 对于任意的 都成立，进而 < .……………12分
2 −1>(  +1) +  +1
+1 2
2 −1>  +   ∈  +   +1  
20解：(1)
杯数
日期代码
…………………2分
根据散点图，知y＝c＋dln x更适宜作为y关于x的回归方程模型．………………3分
(2)令u＝ln x，则y＝c＋du.
7
x y nxy
1 1 235.1－7×22.7×1.2
由已知数据得d ˆ  i1 ＝ ≈14.2
7 13.2－7×1.2×1.2
x2 nx2
i
i1
cˆ＝ y－d ˆ u＝22.7－14.2×1.2≈5.7，
所以 yˆ ＝5.7＋14.2u.
故y关于x的回归方程为 yˆ ＝5.7＋14.2ln x. ………………6分
（此问计算过程中若算得d ˆ 是14.22，算得cˆ是5.6，回归方程为 yˆ ＝5.6＋14.2ln x也算
对）
4进而由题意知，令5.7＋14.2ln x>35，整理得ln x>2.1，即x>e2.1≈8.2，
故当x＝9时，即到第9天才能超过35杯． …………………………7分
(3)由题意知，这7天中销售超过25杯的有4天，则随机变量X的可能取值为0，1，2，3
0 3 1 2
4  3 1  4  3 12
3 3
=0 =  7 =35   =1 =  7 =35
2 1 3 0
4  3 18  4  3 4
3 3
则随  =机2变量=X  的7 分=布35列为   =3 =  7 =35
X 0 1 2 3
P
1 12 18 4
……………12分
35 35 35 35
21.解（1）由题意，A a,0，A a,0，设Dx ,y x a，
1 2 0 0 0
则 x 0 2  y 0 2 1，所以y2  b2  x2 a2①，
a2 b2 0 a2 0
y y y2
因为直线DA 、DA 的斜率之积为3，所以 0  0  0 3，
1 2 x a x a x2a2
0 0 0
b2
将式①代入化简得： 3②， ……………2分
a2
又双曲线C的右焦点为F2,0，所以a2 b2 4，结合式②解得：a1，b 3，
y2
双曲线C的方程为x2  1. ……………4分
3
TA TQ
(2)因为 A,B,Q,P 四点共圆，所以 TPATBQ,TAP∽TQB ,且  ,所以有
TP TB
|TA||TB||TP||TQ|. ……………5分
设直线AB的方程为 yk (xm)n，A(x ，y )，B(x ，y )，设m1x x ，
1 1 1 2 2 1 2
将 直 线 AB 方 程 代 入 C 的 方 程 化 简 并 整 理 可 得 ，
(3k2)x2 (2k2m2kn)xn2 2kmnk2m2 30，
1 1 1 1
由已知得3k2 0，且0
1
2k2m2kn n2 2k mnk2m2 3
由韦达定理有，x x  1 1 ,xx  1 1 ， ……………7分
1 2 3k2 1 2 3 k2
1 1
又由A(x,k x kmn),T(m,n)可得|AT| 1k2(x m)，
1 1 1 1 1 1
同理可得|BT| 1k2(x m)，得
1 2
3m2 n2 3
|AT||BT|(1k2)(x m)(x m)(1k2)(xx m(x x )m2)(1k2) ，
1 1 2 1 1 2 1 2 1 3k2
1
5设直线PQ的方程为 yk (xm)n,P(x ,y ),Q(x ,y )，设m1x x ，
2 3 3 4 4 3 4
(1k 2)(3m2 n2 3)
同理可得|PT||QT| 2 ， ……………10分
3k 2
2
1k2 1k 2
由已知得3m2 n2 30 又|AT||BT||PT||QT|，则 1  2 ，化简可得k2 k 2，
， 3k2 3k 2 1 2
1 2
又k k ，则k k ，即k k 0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．
1 2 1 2 1 2
…12分
22.（1）证明：由题意， ，定义域为 ∞,
2
恒  成=立2，   所  +以  +在  ∞上(为0,增+函数) …………………1分
' 2
易知   =  +，2故  +1> 0   ，(0,+ )
若  1 都 = 大 2 于1，  则  1 +   2 =4=2  1 ，不合题意，
同理  1,  2 都小于1时  也  不1 满 + 足   2 >2  1 =4
设  1,  2 ，欲证 ，即证
即证 0<  1 ≤1≤  2 ，即  证1+  2 ≥2  2 ≥2− ，  1
即证   2 ≥  2−  1 ， 4−   1 ≥  2−  1 ………………………………3分
构造函4数≥  2−  1 +   1 ， ，
=  2−  +  (  )  ϵ(0 1]
' ' ' 2 2
=  2−  +   = = +2  +1−[ +2(2−  )+1]
2− 
2 2 4  −4 1
=  +  −2+4  −4   −2 +4  −1 =4  −1   −2 +1
2 2
−2  +1 4  −1
=4  −1 = >0
所以 在区间 ， 上单调递增，所以 ，进而原不等式得证.
−2   −2
………………………6分
(0 1]   ≤  1 =2  1 =4
（2）由 ，令 ，则 ，故 …………7分
−1 1 1
下面证明  ：(  )=  时+符2合   题(  意) ，  =1  1 =1+2  ≥ 0  ≥−2
当 时  ，≥−2 ， ……………8分
−1 1 2  −1 2
以下  ≥证−明2：   =  +  ln，  +2   ≥  +  ln  − 
−1 2
构造函数  +  ln  −  ≥，0
−1

则  (  )=  +ln  −  ．
−1  −1 2  −1
'  (  −1) 1  (  −1)+  −  (  −1)  − 
令  (  )=  2 ，+则  −1=  2 ，=  2
−1 '  −1
令 ，可得 ；令 ，可得 ，
(  )=  −   (  )=  −1
' '
于是  (  )>在0 上  递>减1，在  (  )∞<上0 递增，0于<是  <1 ， ……………10分
可得当 时， ，当 时， ，
(  ) (0,1) (1,+ )  (  )≥  (1)= 0
' '
6
0<  <1  (  )<0  >1  (  )>0所以 在 上递减，在 ∞上递增，故 ，
综上可  (知  )，实(0,数1)b的取值范围(1,+ ) ∞．  (  )≥…  (…1)…=…0……………12分
[−2,+ )
7