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3.3.2 抛物线的简单几何性质 （同步练习）
一、选择题
1.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离
为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝8，则线段
AB的中点到y轴的距离为( )
A.4 B. C.3 D.
3.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B两点，它们的横坐
标之和等于5，则这样的直线( )
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条
C.有无穷多条 D.不存在
4.抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|
FA|＋|FB|等于( )
A.2 B.3 C.5 D.7
5.已知直线 l过抛物线 C的焦点，且与 C的对称轴垂直，l与C交于A，B两
点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为( )
A.18 B.24 C.36 D.48
6.从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛
物线的焦点为F，则△PMF的面积为( )
A.5 B.10 C.20 D.
7.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(2,0)且与C交于A，B两点，|
BF|＝.
若|AM|＝λ|BM|，则实数λ＝( )
A. B.2 C.4 D.6
8.(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离可以
是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
9.直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________
10.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于
点N.若M是FN的中点，则|FN|＝________
11.已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________
12.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准
线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________
13.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到
焦点的距离为6.则抛物线C的方程为________；若抛物线C与直线y＝kx－2
相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则k＝________
三、解答题
14.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A
为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
15.已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．
(1)求证：l与C必有两交点．
(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．
16.点M(m,4)(m>0)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，F为其焦点，已知|FM|＝5.
(1)求 m 与 p 的值．(2)以 M 点为切点作抛物线的切线，交 y 轴于点 N，求
△FMN的面积．参考答案：
一、选择题
1.A 2.D 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.BCD
二、填空题
9.答案：(3,2) 10.答案：6 11.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
12.答案：48 13.答案：y2＝8x，2
三、解答题
14.解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x ，y)，由题意知M，
0 0
∵|AF|＝3，∴y＋＝3，
0
∵|AM|＝，∴x＋＝17，∴x＝8，代入方程x＝2py 得8＝2p，解得p＝2或p＝4.
0
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
15.(1)证明：联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，
所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点．
(2)解：设A(x ，y)，B(x ，y)，则＋＝1， ①
1 1 2 2
将y＝kx ＋1，y＝kx ＋1，代入①，得2k＋＝1，②
1 1 2 2
由(1)可得x＋x＝，xx＝－，代入②得k＝1.
1 2 1 2
16.解：(1)由抛物线定义知，|FM|＝＋4＝5，所以p＝2.所以抛物线的方程为x2＝4y，又由
M(m,4)在抛物线上，所以m＝4.故p＝2，m＝4.
(2)设过M点的切线方程为y－4＝k(x－4)，代入抛物线方程消去y得，x2－4kx＋16k－16
＝0，
其判别式Δ＝16k2－64(k－1)＝0，所以k＝2，切线方程为y＝2x－4，
切线与y轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0,1)，
所以S ＝|FN|·m＝×5×4＝10.
△FMN
